湘教版（2024）九年级数学上册 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 章末核心要点分类整合（课件）

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章末核心要点分类整合第二章 锐角的正弦、余弦、正切 2. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤(1)审清题意， 将实际问题抽象为数学问题；(2)画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题；(3)根据条件， 结合图形， 选用适当的锐角三角函数解直角三角形， 得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.专题一 锐角三角函数链接中考 >> 锐角三角函数的有关计算，主要是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质. 这类问题一般属于中档题，小题和大题都会涉及. [中考·内江] 如图2-1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan ∠EFC=______ .例1 解题秘方：根据折叠的性质和勾股定理求出CF和CE的长， 再由正切的定义求解. 专题二 特殊角的三角函数值链接中考 >> 一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零指数幂、绝对值、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查. 例2 专题三 解直角三角形链接中考 >> 解直角三角形主要是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角. 解决这类问题，关键是要结合图形的性质，灵活运用锐角三角函数，一般都是以解答题的形式考查.[中考·乐山] 如图2-2，在△ABC中，∠ABC=45°， ∠ACB=60°，AC=2.(1)求AB的长；(2)求点C到线段AB的距离.例3解题秘方：过顶点A作对边的垂线，“化斜为直” 构造直角三角形是解题关键.  专题四 解直角三角形的应用链接中考 >> 利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题. 一般都是以解答题的形式考查.[中考·陕西]如图2-3，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C处的海拔高度. 他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得点C处的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得点C处的仰角α =45°，AB=10 m. 求山顶C处的海拔高度. (小明身高忽略不计，参考数据：sin 42°≈ 0.67，cos 42°≈ 0.74，tan 42°≈0.90)例4解题秘方：解题的关键是添加辅助线， 构造直角三角形， 设参数构建方程解决问题．解：如图2-3，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D.设BD=x m，因为AB=10 m，所以AD=AB+BD=(x+10)m.在Rt △BCD中，∠CBD=α =45°，所以CD=BD·tan 45°=x m .在Rt △ACD中，∠CAD=42°，所以CD=AD·tan 42°≈ (0.90x+9)m .所以x ≈0.90x+9， 解得x ≈90.所以CD≈90 m .1 600+90=1 690 (m) .答：山顶C处的海拔高度约为1 690 m .专题五 建模思想专题解读>> 在解决与角度、线段长度有关的实际问题时，通常构造含有已知边、角的直角三角形，建立常见的解直角三角形的模型，利用锐角三角函数进行计算，进而解决问题.【“子母”型】例5 [中考·吉林]图2-4 ①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”. 如图2-4 ②，某直升机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873 m，从直升机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD (结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75).例5解题秘方：通过作辅助线， 将两个俯角放到两个直角三角形中， 构造解直角三角形的基本模型—— “子母” 型， 利用公共的直角边解直角三角形. 【“背靠背”型】例6 小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，如图2-5，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内)．例6 解题秘方：过点B作BE⊥CD于点E，构造解直角三角形的基本模型—— “背靠背” 型，然后利用“背靠背” 型中公共的直角边解直角三角形. (2)在Rt △BED中，∠DBE=37°，所以DE=BE·tan 37°≈40 3×0.75≈51.9(m).所以DC=DE+CE≈51.9+40≈92 (m) .答： 大厦的高度CD约为92 m.专题六 转化思想专题解读>> 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常常根据已知量和未知量之间的关系建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数学的转化思想.[新考向数学文化中考•乐山]我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？例7词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推进10 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺．(假设秋千的绳索拉得很直)解题秘方：本题由《西江月》词牌引申出数学问题， 关键是理解题意， 构造直角三角形， 将其转化为解直角三角形问题.(1)如图2-6 ①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度.解：(1)如图2-6①，过点A′作A′B⊥OA于点B.设秋千绳索的长度为x尺，所以OA=OA′=x尺.由题意可知AB=5-1=4 (尺)，A′B =10 尺，所以OB=OA-AB= (x-4)尺.在Rt △OA′B中，由勾股定理得A′B2+OB2=OA′2，所以102+(x-4)2=x2， 解得x=14.5.答： 秋千绳索OA的长度为14.5 尺.(2)如图2-6 ②，将秋千从与竖直方向夹角为α 的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β 的地方OA″，两次位置的高度差PQ=h. 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α ，β 和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．  B 2  解：如图，作DM⊥AB于点M，作EN⊥AB于点N，作DG⊥EN于点G，则四边形AFEN和四边形MNGD都是矩形，所以AN=EF=1.2 m，EN=AF=10 m，DG=MN，DM=NG， 题型2：测宽问题4. [期末·株洲荷塘区]小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽， 测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD， 测得河对岸点A的俯角α 为8.5°，CD与BM的夹角β 为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10 m.已知CD=1.6 m，点A， B， C， D，M， N在同一平面上， 点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB. 求河宽AB. (参考数据：sin 8.5°≈0.15，cos 8.5°≈0.99，tan 8.5°≈0.15，sin 78.5°≈0.98，cos 78.5°≈0.20，tan 78.5°≈4.92)解：如图，延长DC交AN于点H，易知DH⊥AN.在Rt△BCH中，∠BCH=β=78.5°，所以CH=CB·cos 78.5°≈10×0.2=2(m)，BH=CB·sin 78.5°≈10×0.98=9.8(m). 题型3：堤坝问题5. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB 的坡度i=3∶4. 已知斜坡CD 的长度为20 m，∠C=18°，求斜坡AB的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈ 0.32).解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADEF为矩形，所以DE=AF.     题型5：跨学科问题7. [中考·安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处.     (1)sad 60°=________；(2)sad 90°=________；1   重点题型 解直角三角形常见应用举例第二章 锐角的正弦、余弦、正切荣老师告诉你：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造直角三角形，在构造时, 依据角(视角和方向角等) 或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至多个直角三角形.类型一 “一角一线”型(构造一个直角三角形)如图1， 某飞机于空中A处探测到目标C， 此时飞行高度AC=1 200 m， 从飞机上看地平面指挥台B的俯角α =43°. 求飞机A与指挥台B的距离(结果取整数，参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈ 0.73，tan 43°≈ 0.93) .例1解题秘方：本题考查的是俯角的概念，结合图形利用锐角三角函数解直角三角形. 类型二 “ 一角两线”型(构造一个直角三角形和一个矩形)[中考·长春]如图2，为了测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27 m 的C处，用高1.5 m 的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°. 求纪念碑的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 47°≈ 0.731，cos 47°≈0.682，tan 47°≈1.072).例2解题秘方：解题的关键是作辅助线， 构造含已知角的直角三角形， 通过解直角三角形解决问题.解：如图2， 过点D作DE⊥AB于点E.易得四边形BCDE是矩形.所以DE=BC=27 m，BE=DC=1.5 m，由题意得∠ADE=47°.在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE≈27×1.072=28.944 (m)，所以AB=AE+BE≈28.944+1.5≈30.4(m) .答： 纪念碑的高度约为30.4 m.类型三 “两角一线”型[中考·兰州]如图3 ①是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸. 例3某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑高度的实践活动，具体过程如下，如图3 ②，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°，∠BAD=53°，AB=18 m. 求“龙”字雕塑CD的高度(B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1 m).(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈ 0.79，tan 38°≈ 0.78，sin 53°≈ 0.80，cos 53°≈ 0.60，tan 53°≈ 1.33)解题秘方：在两个直角三角形中， 通过解直角三角形解决问题. 类型四 “两角两线”型习近平总书记于2021 年指出，中国将力争2030 年前实现碳达峰，2060 年前实现碳中和. 甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数. 于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.例4 解：如图4， 连接DF交AH于点G.由题意得GH=CD=EF=1.6 m，DF=CE=182 m，DF⊥AH.设DG=x m， 则FG=DF-DG=(182-x)m.在Rt △ADG中，∠ADG=45°，所以AG=DG·tan 45°=x m .