初中数学2.4 解直角三角形的应用集体备课课件ppt

这是一份初中数学2.4 解直角三角形的应用集体备课课件ppt，共120页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时流程，知识点，仰角和俯角问题，感悟新知，答案C等内容，欢迎下载使用。
仰角和俯角问题坡角、坡度问题方向角问题利用解直角三角形解决实际问题
解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用
注意当实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
特别解读仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.
解题秘方：过仰角的顶点向教学楼作垂线， 构造直角三角形，解直角三角形即可得解.
1-1.[期末·岳阳云溪区]如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道( B，C在同一水平面上)，为了测量B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A处，在A处观察B 地的俯角为30 °，则B，C 两地之间的距离为________．
[中考·乐山] 如图2.4-2，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶点A的仰角为30°，她朝石碑前行5 m 到达点D处，又测得石碑顶点A的仰角为60°，那么石碑的高度AB=_______m(结果保留根号).
解题秘方：本题图中含等腰三角形和直角三角形， 利用相关知识求解.
2-1.[中考·武汉]某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B 的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120 m的P处，测得A处的俯角为45°，B 处的俯角为22 °，则A，B之间的距离是________m(tan 22°取0.4).
特别提醒1. 坡度是一个比，不是角度，坡角是一个角度，要注意二者的区别.2. 坡度通常写成“1∶m”的形式，比的前项为1，后项m 可以是任意正实数.
[期末·常德武陵区] 如图2.4-3，某水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽BC=6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α(精确到0.1°)和坝底AD的长.
解题秘方：有关坡度问题的求解， 通常是通过作高构造直角三角形. 本题需过梯形上底的两个顶点分别作下底的垂线， 将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形进行求解.
特别提醒1. 方向角通常以南北方向线为主，分南偏东(或西)和北偏东(或西)，观察点不同，所得的方向角也不同，但各个观察点的南北方向线是分别互相平行的.2. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形来求解.
如图 2.2-4 所 示，灯塔 A 周围9 n mile内有暗礁． 一渔船由东向西航行至 B 处，测得灯塔 A 在北偏西58°方向上，继续航行 6 海里后到达 C 处，测得灯塔 A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据： sin 32° ≈ 0.530， cs 32° ≈ 0.848， tan 32° ≈0.625， sin 58° ≈ 0.848， cs 58° ≈ 0.530， tan 58° ≈ 1.600)
解题秘方：根据题意作 AD ⊥ BC，构造直角三角形，设AD=x n mile ，根据等腰直角三角形的性质用 x 表示出 CD，根据正切的定义用 x 表示出 BD，结合图形列方程求解．
解：如图2.4-4，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB=90°. 设AD=x n mile.由题意知∠ABD=90 °- 58 °=32 °，∠ACD=90°-45°=45°，BC=6 n mile，所以∠CAD=90°-45°=45°= ∠ACD.所以CD=AD=x n mile. 所以BD=BC+CD= (6+x) n mile.
方法总结：求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一般都是求出暗礁中心到航线的距离，或城市中心(目标中心)到台风移动路径的距离，或学校到噪声源移动路径的距离，将这些距离与暗礁半径或台风影响半径或噪声影响半径比较大小，距离小于或等于半径有影响，距离大于半径没有影响 .
4-1.五一期间，小红参加某社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向( 如图所示)，然后沿北偏东60°方向走100 m 到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B 之间的距离( 结果精确到0.1 m).
利用解直角三角形解决实际问题
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.
2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：
特别提醒1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3. 问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.
[中考·河南] 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M. 如图2.4-5 是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H. 经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF=11 m，BH=20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m).
解题秘方：将实际应用问题转化为解直角三角形问题．
[中考·宿迁] 小明和小军两名同学对某河流的宽度进行测量，如图2.4-6，两人分别站在同侧河岸上的点A，B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A，B，C在同一水平面内)，小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60 m，求此河流的宽度(参考数据：sin 42°≈ 0.67，tan 42°≈ 0.90，sin 61°≈ 0.87，tan 61°≈ 1.80)．
解题秘方：本题考查了解直角三角形的实际应用， 正确构造直角三角形是解题的关键 .
方法点拨解直角三角形的实际应用问题的求解方法：1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
6-1.[中考·内蒙古]如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端 A，B 的距离为 _______m(结果保留根号)．
利用解直角三角形构造“ ”式模型解实际问题
解题秘方：建立数学模型后，作高AD，用 “化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解 .
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
解：由题意得∠NAC=80°，∠BAS=25°，所以∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=180°-80°-25°=75°.又∠ABC=45°，所以∠BCA=180°- ∠CAB-∠ABC=180°-75°-45°=60°.因此，行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为 60°.
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
方法总结异侧双直角三角形的求解方法：方法一 : 先解已知条件较多的直角三角形 ,再结合已知条件解另一个直角三角形 .方法 二 : 用重合边表示出共直线的直角边 ,根据两边关系列方程求解 .
如图 2.4-8，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE=30°，从B点沿河岸FE的方向走 40 m 到达D点，测得∠CDE=45°.
解题秘方：通过作高， 构造 “双直角三角形” 模型， 通过解直角三角形解决实际问题 .
(1)求河两岸之间的距离是多少米(结果保留根号)；
方法点拨同侧双直角三角形的求解方法：利用解直角三角形用公共高表示出另外两条直角边的长度，再利用方程思想求得公共高的长度 .
如图 2.4-9，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路 l 上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东 30°方向上，继续行驶 500 m 后到达B处，测得桥头D在北偏东 45°方向上 . 已知大桥CD长 300 m，求桥头C到公路 l 的距离(结果保留根号).
解题秘方：通过作辅助线构造“ ”式模型， 通过解直角三角形解实际问题， 根据题意选择合适的锐角三角函数是解题的关键 .
技巧点拨本题的图形特征是两个直角三角形有公共直角，且除公共直角的顶点外没有其他公共顶点 . 解题的关键是利用两个直角三角形中直角边长之间的和、差关系建立方程 .
利用解直角三角形测量高度
类型 1 从同一点看不同位置测量高度无人机在实际生活中的应用越来越广泛 . 如图 2.4-10，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点 80 m，点A处的俯角为 60°，楼顶C点处的俯角为 30°. 已知点A与大楼的距离AB为 70 m(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．
解题秘方：在同一点处的两条不同视线在两个不同的直角三角形中，利用解直角三角形求出高度．
解：如图 2.4-10，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，易知四边形CQHB是矩形，所以QH=BC，BH=CQ.由题意得 AP=80 m，AB=70 m，易得∠PAH=60°，∠PCQ=30°，
关键点拨本题由平行线的性质将两个俯角借助内错角转化到两个直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性质解决问题．
类型 2 从不同点看同一位置测量高度[立德树人 爱国教育 中考·怀化]为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈 . 大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量 .
解题秘方：先利用三角形外角的性质和等角对等边求出DN，再在Rt △DNE中利用正弦的定义求出DE，最后不要忘记加上CE.
解：由题意，得CE=BN=AM=1.5 m，MN=AB=35 m，∠DEM=90°，∠DNE=60°，∠DME=30°.因为∠DNE是△DMN的外角，所以∠MDN= ∠DNE- ∠DMN=30°.所以∠DMN= ∠MDN. 所以DN=MN=35 m .
关键点拨本题中测角仪的顶 端 M，N 所 在直线垂直于纪念碑，这是一个隐含条件，利用解直角三角形和矩形的性质解决问题．
类型3 从不同点看不同位置测量高度[中考·盐城] 如图2.4-12，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m 的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m 至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为______m(精确到1 m，参考数据：sin 37°≈ 0.60，cs 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75).
关键点拨解题关键是构造直角三角形，根据正切的定义求出相关线段的长，最后利用线段的差求解.
如图2.4-13，在某一海域执行护航任务的某军舰正由东向西行驶，在航行到B 处时，发现灯塔A 在军舰的正北方向500 m 处；当该军舰从B 处向正西方向行驶到达C处时，发现灯塔A在军舰的北偏东60°的方向上. 求该军舰从B 处行驶到C 处的路程(结果保留根号).
在解直角三角形的应用题时，对方位角理解不清导致错误
诊误区：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方位角，本题因对方位角的概念理解不清而导致错误.
[新考向数学文化中考·湖南]如图2.4-14，图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥ l.
利用解直角三角形解决古算术问题
若BC=4 dm，OB=12 dm.∠BOE=60°，则点C到水平线l 的距离CF为__________dm(结果用含根号的式子表示)．
试题评析：本题主要考查解直角三角形，利用等面积法求解， 延长BC是解题的关键.
[中考·青岛] 学校综合实践小组测量博学楼的高度. 如图2.4-15，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19 m 高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15 m到达C点，
利用解直角三角形解决仰角、俯角问题
试题评析：本题考查了解直角三角形的实际应用， 正确构造直角三角形是解题的关键.
利用解直角三角形解决坡度、坡角问题
试题评析：本题考查了坡度的实际应用， 将已知量与所求量转化到同一个直角三角形中， 运用解直角三角形进行求解是解题的关键.
[中考·长沙] 如图2.4-17，某景区内两条互相垂直的道路a，b 交于点M，景点A，B在道路a 上，景点C在道路b 上. 为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b 上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上. 已知AB=800 m.
利用解直角三角形解决方位角问题
试题评析：本题主要考查解直角三角形在方位角问题中的应用， 熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
(1)求∠ACB的度数；
解：由题意可得∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.所以∠BCM= ∠CBE=60°， ∠ACM=∠CAF=30°.所以∠ACB= ∠BCM- ∠ACM=60 °-30°=30°.
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号).
5. [情境题生活应用中考·上海]某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，如图，已知扫描仪(线段AB) 的竖直高度为2.7 m，某人(线段CD)身高为1.8 m，只有当∠A=53°时，该人才能开门，那么该人与扫描仪的水平距离为______m(精确到0.1 m，备用数据： sin 53°≈0.8，cs 53°≈0.6，tan 53°≈1.33).
6. [新考向传统文化中考·宁夏]如图①是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图②是其示意图. 已知管状短流AB=2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC=DE=11 cm，∠ABE=120°，∠CBE=80°.
7. [母题中考· 眉山教材P82 习题T1]一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12 n mile 到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________n mile．
8. [情境题实践活动中考•湖南]某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：(1)求线段CE和BC的长度；
(2)求底座的底面ABCD的面积.
解：过点A作AM⊥GH于点M，如图所示.则四边形ABEM是矩形，所以AM=BE=4 m，AB=ME.
9.[模拟·长沙] 在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动. 如图，小星在A处测得旗杆顶端C的仰角为30°，小麓在B处测得旗杆顶端C的仰角为45°，已知两人所处位置的水平距离MN=33 m，A处距离地面的垂直高度AM=4 m，B处距离地面的垂直高度BN=3 m，点M，F，N在同一条直线上.
解：由题意得∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，所以四边形AMFD和四边形BNFE为矩形.所以DF=AM=4 m，EF=BN=3 m，所以DE=DF-EF=4-3=1(m).
(2)求旗杆CF的高度(结果保留根号) .
10. [中考·湖南] 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l 于点B，D，AB=19 dm，CD>AB. 在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE=13 dm，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥ l.
(1)如图①，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l 时，点E到直线AB的距离EG等于12 dm，求该连衣裙MN的长度；
(2)如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l 的距离约为多少分米(结果保留整数，参考数据： sin 76.1°≈0.97，cs 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04)？