初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定完美版课件ppt

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2 矩形的性质与判定第三课时矩形的性质与判定的综合运用
北师版数学九年级上册
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
新课导入
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
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如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________________，可使它成为矩形。
∠ABC = 90°或 AC = BD
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
探究新知
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），AC = BD（矩形的对角线相等）AO = CO = AC，BO = DO = BD（矩形的对角线互相平分）.∴AO = BO = DO = BD.∵ED = 3BE，∴BE = OE，又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.∴AE = AD = ×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.∴∠DAE =∠CAD +∠CAN = （∠BAC +∠CAM） = ×180° = 90°.在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，∴BD = CD,又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，∴BD=AE, BD∥AE,∴四边形 ABDE 是平行四边形.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，∴AC = DE, ∴DF = AC.又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
【选自教材P18 随堂练习】
证明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点，∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD ,∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
巩固练习
【选自教材P18 习题1.6 第1题】
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面积.
解: ∵∠ACB ＝ 30°, AC＝BD ＝4，∴AB＝2，BC＝ ．∴S矩形ABCD ＝AB·BC ＝ ．
【选自教材P19 习题1.6 第2题】
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E. 已知∠EAD=3∠BAE， 求∠EAO 的度数.
解:由题意,可得∠EAD ＝ × 90°＝ 67.5°．∵AE⊥BD ，∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,则∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°．
4. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
【选自教材P19 习题1.6 第3题】
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．又∵四边形 ABDE 是平行四边形,∴ BD AE, 则 CD AE．∴四边形 ADCE 为平行四边形．又∵∠ADC ＝ 90°, ∴四边形 ADCE 为矩形．
5. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm， 将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合. 请在图中画出 折痕的长.
【选自教材P19 习题1.6 第4题】
解: 如图,连接 EC．在矩形 ABCD 中,AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝ cm．∴OE ＝ cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
【选自教材P19 习题1.6 第5题】
解: 如图, 连接 PO．在矩形 ABCD 中,AB＝3, AD ＝4,∴AC＝ BD ＝5, OA ＝OD ＝ ．又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ,即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ,∴PE＋PF＝ ．
这节课你们都学会了哪些知识？
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
课堂小结