2027届高三数学一轮复习试题规范练55抛物线（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练55抛物线（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了抛物线y=18x2的焦点坐标是，已知抛物线C，已知点A在抛物线C等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.若抛物线C的焦点到准线的距离为3,且抛物线C的开口朝左,则抛物线C的标准方程为( )
A.y2=-6xB.y2=6x
C.y2=-3xD.y2=3x
2.(2025·安徽皖江模拟)抛物线y=18x2的焦点坐标是( )
A.(0,2)B.(0,-2)
C.(-2,0)D.(2,0)
3.(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C的方程为x2=my,则“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2025·新疆模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=8x上,且圆C过定点(2,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为( )
A.相交B.相切
C.相离D.相切或相离
5.(2025·山东济南模拟)以坐标原点为焦点,直线y=2为准线的抛物线的方程为( )
A.x2=-4y-4B.x2=-4y+4
C.x2=4y+4D.x2=-2y+2
6.(2025·广西南宁模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3,则p的值为( )
A.1或8B.1或9
C.2或8D.2或9
7.(2025·江苏灌云模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为( )
A.2-3B.2±3
C.4-23D.4±23
8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两点,且∠AFB=60°,则|AB|=( )
A.2B.22C.23D.4
9.(2023·全国乙,理13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P(1,4)为抛物线C上方一点,M为抛物线C上一动点,|MP|+|MF|的最小值为10,则p= .
综合提升练
11.(2025·湖南郴州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,H(m,4)(m>p2)是抛物线C上一点,以点H为圆心的圆与直线x=p2相切于点T.若sin∠HFT=35,则圆H的标准方程为( )
A.(x-4)2+(y-4)2=9B.(x-4)2+(y-4)2=16
C.(x-2)2+(y-4)2=4D.(x-3)2+(y-4)2=9
12.(2026·河北衡水模拟)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,l是抛物线C的准线,N是抛物线C上一点且位于第一象限,直线FN的斜率为正数,且直线FN与圆A:x2+y2-6x+6=0相切,过点N作l的垂线,垂足为P,则△PFN的面积为( )
A.23B.4C.43D.163
13.已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
A.1B.2
C.3D.4
14.(多选题)(2025·八省联考,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则( )
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为23
15.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
16.过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C:(x-2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,若△FMN为等边三角形,则p的值为 .
参考答案
课时规范练55 抛物线
1.A 解析 设抛物线C的标准方程为y2=-2px(p>0),由题意得p=3,所以抛物线C的标准方程为y2=-6x.故选A.
2.A 解析 y=18x2,即x2=8y,则p=4,则其焦点坐标为(0,2).故选A.
3.D 解析 若抛物线x2=my经过点(4,1),则m=16,所以抛物线的方程为x2=16y,则抛物线的焦点坐标为(0,4),故充分性不成立;若抛物线C的焦点为(0,2),则m4=2⇒m=8,所以抛物线的方程为x2=8y,则42≠8×1,即抛物线x2=8y不经过点(4,1),所以必要性不成立.
故“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.A 解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+2=0相切.
又因为抛物线y2=8x的图象在x轴的右侧,所以圆C与直线x+1=0相交.故选A.
5.B 解析 不妨设点P(x,y)为抛物线上一点,由题意可知,点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离,所以x2+y2=|y-2|,化简得出x2=4-4y,即抛物线的方程为x2=-4y+4.故选B.
6.B 解析 由题意不妨设点A的坐标为(x0,3),代入y2=2px(p>0)得9=2px0,则x0=92p.由抛物线定义x0+p2=5,即92p+p2=5,解得p=1或p=9.故选B.
7.D 解析 由题可知焦点(12,0),准线方程为x=-12,设等边三角形的边长为a,所以acs 30°+1=a或1-acs 30°=a,则a=4±23.故选D.
8.D 解析 由抛物线定义可知|BF|=|AB|,因为∠AFB=60°,
所以△ABF为等边三角形,故|AF|=|AB|=|BF|,∠BAF=60°,所以∠AFO=60°.
设准线l与x轴的交点为P,则|PF|=2,故|AF|=|PF|cs60°=4,所以|AB|=4.
9.94 解析 因为点A(1,5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=-p2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+54=94.
10.12 解析 设点M在抛物线C的准线上的射影为D,则|MF|=|MD|,要使|MP|+|MF|取最小值,即|MP|+|MD|取得最小值,当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|取得最小值,由4-(-p2)=10,解得p=12.
11.A 解析 过点H作HM垂直于直线x=-p2,垂足为M,则|HF|=|HM|=m+p2,|TH|=m-p2.
由sin∠HFT=35,得m-p2m+p2=35,解得m=2p.
由H(m,4)是抛物线C上一点,得2pm=16.
因此p=2,m=4,|TH|=3,H(4,4),所以圆H的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=9.故选A.
12.C 解析 由题意可知F(1,0),l:x=-1,∵圆A:(x-3)2+y2=3,∴圆心A(3,0),半径r=3.
如图,设H为直线FN与圆A的切点,则|AH|=3,AH⊥FN,|AF|=2,
∴sin∠HFA=|AH||FA|=32,则∠HFA=π3,kFN=tan∠HFA=3,
∴直线FN:y=3(x-1).
联立y=3(x-1),y2=4x,即3x2-10x+3=0,解得x=13(舍去)或x=3,∴N(3,23),∴|PN|=3-(-1)=4,
∴S△PFN=12×4×23=43.
故选C.
13.D 解析 由抛物线y2=8x知,焦点F(2,0),准线方程为l1:x=-2,根据题意作图如下.
记点P到直线l:4x-3y+12=0的距离为|PA|,到准线l1:x=-2的距离为|PB|,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,所以点P到直线l:4x-3y+12=0和准线l1:x=-2的距离之和为|PF|+|PA|,且点F(2,0)到直线l:4x-3y+12=0的距离为d=|8-0+12|5=4,
所以d1+d2的最小值为4.故选D.
14.ABC 解析 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以p2=2,解得p=4,故A正确;设M(x0,y0),由M在抛物线C上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+p2≥p2=|OF|,故B正确;因为以M(x0,y0)为圆心且过F的圆的半径为|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,y0x0-2=tan 60°=3,且y02=8x0,不妨令y0>0,所以3y02-8y0-163=0,解得y0=43(负值舍去).所以△OFM的面积为S△OFM=12|OF|×|y0|=43,故D错误.故选ABC.
15.x=-32 解析 由题意,不妨设P(p2,p),Q(x,0).因为PQ⊥OP,所以PQ·OP=(x-p2,-p)·(p2,p)=p2(x-p2)-p2=0,即p2x-54p2=0,得x=52p.又|FQ|=6,即52p-12p=6,解得p=3,所以抛物线C的准线方程为x=-32.
16.4 解析 如图,过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C:(x-2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N.△FMN为等边三角形,则在直角三角形MCF中,∠CMF=π2,∠MFC=π6.
因为|CM|=2,|CF|=2+p2,
所以sin∠MFC=|MC||CF|,即22+p2=12,得p=4.