2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练46 抛物线（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练46 抛物线（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C:y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4,则m=( )
A.14B.8C.18D.4
答案:C
解析:抛物线C的方程可化为x2=1my(m>0),因为点A(a,2)到抛物线C的准线的距离为4,
所以14m+2=4,解得m=18.
2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有一个相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( )
A.y2=±22xB.y2=±2x
C.y2=±4xD.y2=±42x
答案:D
解析:由已知得双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).
设抛物线C的方程为y2=±2px(p>0),则p2=2,所以p=22,所以抛物线C的方程为y2=±42x.故选D.
3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为( )
A.1B.2C.3D.4
答案:C
解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点为F12,0,F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.
4.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( )
A.y2=12xB.y2=-12x
C.x2=-12yD.x2=12y
答案:D
解析:过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.
5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是( )
A.4B.33C.43D.8
答案:C
解析:由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,
∵AF的斜率为33,∴AF的倾斜角为30°.
∵AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,
故△AHF为等边三角形.
设Am,m24,m>0,过F作FM⊥AH于点M,
则在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴m24-1=12m24+1,解得m=23,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是12×4×4sin 60°=43.故选C.
6.已知直线l:y=kx-k(k∈R)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线C的焦点,若2FM=MN,则实数k等于( )
A.±33B.±1C.±3D.±2
答案:C
解析:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线C的焦点F.当k>0时,如图所示,
过点M作MM'垂直于准线x=-1,垂足为M',由抛物线的定义,得|MM'|=|MF|,易知∠M'MN与直线l的倾斜角相等,由2FM=MN,得cs∠M'MN=|MM'||MN|=12,
则tan∠M'MN=3,故直线l的斜率k=3.当k0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM0).所以yA=62p,故kAB=62p-034p-p2=26,故选项A正确;
选项B,直线AB的方程为y=26(x-p2),联立y=26(x-p2),y2=2px,消去y得24(x-p2)2=2px,整理得12x2-13px+3p2=0,
即(4x-3p)(3x-p)=0,解得x=3p4或x=p3.
因为点A的横坐标为3p4,所以点B的横坐标为p3,从而其纵坐标为26(p3-p2)=-6p3,
所以|OB|=(p3) 2+(-6p3) 2=7p3,
所以|OF|=p2≠|OB|.故选项B错误;
选项C,|AB|=34p+p3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C正确;
选项D,由选项A,B知,A(34p,62p),B(p3,-63p),所以OA·OB=(34p,62p)·(p3,-63p)=p24-p2=-34p20,得t>0或t0,得t>0或t0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)联立,从而有4x2-5px+p2=0.
由题意知,Δ=25p2-16p2=9p2>0,方程有两个不等实根,所以x1+x2=5p4.
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,则有x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,
则有A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),
则OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22).
又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),
整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
16.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为π6的直线l1与抛物线E相交于A,B两点,且|AB|=12,过点F且斜率为3的直线l2与抛物线E相交于C,D两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若点A和C均在第一象限,求证:抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.
(1)解:抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点坐标为Fp2,0,直线l1的方程为y=33x-p2,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=33x-p2,y2=2px,整理得x2-7px+p24=0,
所以x1+x2=7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p=12,
所以p=32,所以抛物线E的方程为y2=3x.
(2)证明:由(1)可知抛物线E的准线方程为x=-34,焦点F34,0,所以直线l1的方程为y=33x-34,
代入抛物线的方程,得13x2-72x+316=0,
可得x1x2=916,则y123·y223=916,即y1y2=-94.
直线l2的方程为y=3x-34,设点C(x3,y3),D(x4,y4),
由y=3x-34,y2=3x,整理得16x2-40x+9=0,x3x4=916,可得y3y4=-94.
所以直线AC的斜率为y1-y3y123-y323=3y1+y3,可得直线AC的方程为y-y1=3y1+y3x-y123,同理可得直线BD的方程为y-y2=3y2+y4x-y223,
准线方程为x=-34.
将准线方程代入直线AC的方程,得y=y1y3-94y1+y3,将准线方程代入直线BD的方程可得y=y2y4-94y2+y4.
由y1y3-94y1+y3-y2y4-94y2+y4=y1y3-94(y2+y4)-y2y4-94(y1+y3)(y1+y3)(y2+y4),
上式的分子为y1y2y3+y1y3y4-94y2-94y4-(y1y2y4+y2y3y4-94y1-94y3)=-94y3-94y1-94y2-94y4-(-94y2-94y4-94y1-94y3)=0,
得直线AC,直线BD与准线交于同一点,即抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.
三、探究创新
17.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过直线y=x-2上任一点引抛物线的两条切线,切点为A,B,则点F到直线AB的距离( )
A.无最小值
B.无最大值
C.有最小值,最小值为1
D.有最大值,最大值为5
答案:D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线上,所以x12=4y1,x22=4y2.
以A为切点的切线方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-y1.①
同理,以B为切点的切线方程为y=x22x-y2.②
设直线y=x-2上任一点P(x0,y0),
将P(x0,y0)的坐标代入①②,得y0=x12x0-y1,y0=x22x0-y2,所以直线AB的方程为y0=x2x0-y,即y=x02x-y0.
又y0=x0-2,所以y=x0x2-1+2.因为直线AB过定点C(2,2),
所以当CF⊥AB时,F(0,1)到直线AB的距离的最大值为(2-0)2+(2-1)2=5,
当直线AB过点F时,距离的最小值为0.