2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练53　抛物线（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练53　抛物线（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知A为抛物线C，已知抛物线C，已知抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·山东济南一模)抛物线y=x2+2x+2的焦点坐标为( )
A.(-1,32)
B.(-1,54)
C.(1,32)
D.(1,54)
2.(2025·河南开封二模)抛物线y=-14x2的准线方程为( )
A.y=1
B.y=-1
C.x=116
D.x=-116
3.(2025·河北石家庄二模)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2B.3
C.4D.6
4.(2025·安徽亳州期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线2x-y-4=0与C交于P,Q两点,则△FPQ的面积为( )
A.2B.3
C.6D.8
5.(2025·河北张家口一模)已知抛物线C:x2=y的焦点为F,过点F的直线l交C于P1,P2两点,若l的一个方向向量为(1,tan α),α∈(0,π2),则|P1P2|=( )
A.1+cs2αB.1+sin2α
C.1+tan2αD.1sin2α
6.(多选题)(2025·安徽蚌埠一模)已知点P在抛物线y2=2px(p>0)上,点M坐标为(2,0),O为坐标原点.若△OPM是等腰直角三角形,则p的值可以为( )
A.4B.2
C.1D.12
7.(2025·福建莆田二模)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶O离水面3 m,水面宽6 m.水面上升1 m后,水面宽度是 m.
8.(2025·江苏苏锡常镇一模)已知抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-8y的焦点分别为F1,F2,一条平行于y轴的直线分别与C1,C2交于A,B两点.若|AF1|=|BF2|,则四边形AF1F2B的周长为 .
综 合 提升练
9.(2025·北京大兴三模)已知P(x,y)是准线为l的抛物线x2=4y上的一个动点,PM⊥l于点M,点Q(22,0),则|PM|+|PQ|的最小值是( )
A.1B.2C.3D.4
10.(2025·福建厦门二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一动点,M为PF的中点,O为坐标原点,则tan∠MOF的最大值为( )
A.22B.1
C.2D.2
11.(多选题)(2025·浙江杭州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点A,M为抛物线上的点,且满足|OM|=|OF|(O为坐标原点),过点M作l的垂线,垂足为N,AM与NF交于点Q,则( )
A.直线NF的斜率为定值
B.tan∠MFA=2tan∠NFA
C.cs∠MFA=|MQ||AQ|
D.|NQ||QF|=|AN||AM|
12.(2025·河南许昌二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为k的直线交C于A,B两点,若1|AF|+1|BF|=1,则C的准线方程为 .
13.(15分)(2026·江苏南通高三模拟)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点(点A在第一象限).
(1)若∠AFO=120°,|AF|=4,求p的值;
(2)设点M为抛物线准线与x轴交点,求kMA+kMB.
创 新 应用练
14.(2025·山西太原期末)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线y=k(x-1)交该抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则△OAB(O是坐标原点)的面积为( )
A.2B.22C.4147D.877
15.(2025·山东临沂2月模考)点M(x1,m)在直线y=nx+n(n∈N*)上,点N(x2,m)在抛物线y2=4x上,记M,N两点间的最小距离为dn(M,N),若∏i=1nai=a1a2a3…an,则∏n=22 025dn(M,N)= .
参考答案
1.B 解析 y=(x+1)2+1,因为y=x2的焦点为(0,14),所以y=(x+1)2的焦点为(-1,14),则y=(x+1)2+1的焦点为(-1,54).故选B.
2.A 解析 由y=-14x2可得x2=-4y,抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且p=2,故其准线方程为y=p2=1.故选A.
3.D 解析 设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+p2=12.因为点A到y轴的距离为9,即xA=9,所以12=9+p2,解得p=6.故选D.
4.B 解析 y2=4x,2x-y-4=0⇒(2x-4)2=4x⇒x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.由图,P(4,4),Q(1,-2),则|PQ|=32+62=35.
又由题可得F(1,0),则点F到直线PQ的距离为d=|-2|22+12=25,则△FPQ的面积为12|PQ|·d=12×35×25=3.故选B.
5.C 解析 由题得F(0,14),所以直线l的方程为y=xtan α+14,代入C:x2=y得4x2-4xtan α-1=0,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=tan α,x1x2=-14,所以y1+y2=x1tan α+x2tan α+12=tan2α+12,所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=y1+y2+12=tan2α+1.
6.CD 解析 因为点M(2,0),O(0,0),点P在抛物线y2=2px上,故点O不可能是直角顶点.当∠PMO=90°时,因为△OPM是等腰直角三角形,所以PM=OM=2.则xP=2,将其代入y2=2px,得y2=4p,即y=±2p.由题意2p=2,解得p=1.当∠OPM=90°时,因为△OPM是等腰直角三角形,所以OP=PM.
因为M(2,0),故xP=yP=1,即P(1,1),代入y2=2px,解得p=12.
综上,p的值可以为1或12.故选CD.
7.26 解析 以拱桥顶点为原点,建立如图所示平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意,抛物线过点(3,-3),所以2p=93=3,所以抛物线方程为x2=-3y.水面上升1 m,则y=-2,此时x2=6,解得x=-6或x=6.所以水面宽度为26 m.
8.12 解析 (方法一)设直线AB的方程为x=t(t≠0),则A(t,t24),B(t,-t28),|AF1|=t24+1,|BF2|=t28+2.因为|AF1|=|BF2|,所以t24+1=t28+2,解得t=±22,所以|AF1|=|BF2|=3.又|F1F2|=1+2=3,|AB|=84+88=3,所以四边形AF1F2B的周长为12.
(方法二)设A(x1,y1),B(x1,y2),则x12=4y1,x12=-8y2,所以y1=-2y2.由抛物线定义可得|AF1|=y1+1,|BF2|=2-y2.由|AF1|=|BF2|可得y1+1=2-y2,即y1+y2=1.所以y1=2,y2=-1,所以|AF1|=|BF2|=3.又F1(0,1),F2(0,-2),则|F1F2|=3,|AB|=|y1-y2|=3,所以四边形AF1F2B的周长为|AF1|+|BF2|+|F1F2|+|AB|=3×4=12.
9.C 解析 由题意,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),
由抛物线的定义可得|PM|=|PF|,
则|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|=(22)2+1=3,当且仅当F,P,Q三点共线时等号成立,即|PM|+|PQ|的最小值是3.故选C.
10.B 解析 当P为原点时,tan∠MOF=0,如图,由对称性不妨设点P在第一象限,设P(t24,t),t>0,而F(1,0),则M(t2+48,t2),因此tan∠MOF=t2t2+48=4tt2+4≤4t2t2·4=1,当且仅当t=2时等号成立,所以tan∠MOF的最大值为1.故选B.
11.ACD 解析 设∠MFO=θ,因为|OM|=|OF|,所以θ∈(0,π2),如图,则|MF|=|MN|=|AF|-|MF|sin(π2-θ),所以|MF|=p1+csθ=2|OF|·cs θ=pcs θ⇒cs2θ+cs θ-1=0,显然θ为定值,即∠MFO为定值,又∠MFN=∠MNF=∠NFO,所以∠NFO=θ2,也为定值,故直线NF的斜率为定值.
由A选项可知,∠MFA=2∠NFA,所以tan∠MFA=tan 2∠NFA=2tan∠NFA1-tan2∠NFA,又∠NFA∈(0,π4),所以1-tan2∠NFA∈(0,1),显然B错误.由A选项知,NF为∠MFA的平分线,则|MQ||AQ|=|MF||AF|=|MF|2|OF|=cs θ=cs∠MFA.由|OM|=|OF|=|OA|知,∠AMF=π2,故∠NAM=∠MFA=θ,所以|AN||AM|=cs θ.易知△NQM∽△FQA,故cs θ=|MF||AF|=|MN||AF|=|NQ||QF|,所以|NQ||QF|=|AN||AM|.故选ACD.
12.x=-1 解析 易知F(p2,0),直线AB的方程为y=k(x-p2)(k≠0),
由y2=2px,y=k(x-p2),得k2x2-(k2+2)px+k2p24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=(k2+2)pk2,x1x2=p24,所以1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=2p=1,解得p=2,所以C的准线方程为x=-1.
13.解 (1)因为点A在第一象限,∠AFO=120°,则p>0,焦点F(p2,0),准线方程为x=-p2,kAB=3,所以设点A(xA,2pxA),B(xB,-2pxB),直线lAB:y=3(x-p2),联立y2=2px,y=3(x-p2),得12x2-20px+3p2=0,解得xA=3p2,xB=p6,由|AF|=xA+p2=2p=4,得p=2.
(2)由题知焦点F(p2,0),点M(-p2,0),设点A(y122p,y1),B(y222p,y2),直线lAB:x=my+p2,联立y2=2px,x=my+p2,得y2-2mpy-p2=0,所以y1+y2=2mp,y1y2=-p2,
则kMA+kMB=y1y122p+p2+y2y222p+p2=2p(y1y12+p2+y2y22+p2)=2p·y1(y22+p2)+y2(y12+p2)(y12+p2)(y22+p2)=2p·y1y2(y1+y2)+p2(y1+y2)(y12+p2)(y22+p2)=2p·-p2·2mp+p2·2mp(y12+p2)(y22+p2)=0.
综上,kMA+kMB的值为0.
14.B 解析 因为直线y=k(x-1)过定点(1,0),抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0),所以p2=1,解得p=2,所以抛物线为y2=4x,联立y2=4x,y=k(x-1),消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.因为直线y=k(x-1)交该抛物线于A,B两点,所以k≠0,Δ=(2k2+4)2-4k2·k2>0,即k≠0,Δ=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=2+4k2,又|AB|=8,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8,所以x1+x2=6,所以2+4k2=6,解得k=±1,所以直线AB的方程为y=±(x-1),即y=±(x-1),所以O(0,0)到直线AB的距离d=|±(0-1)-0|1+1=22,所以△OAB的面积为12|AB|·d=12×8×22=22.故选B.
15.1 0132 025 解析 已知点M(x1,m)在直线y=nx+n(n∈N*)上,则将点M代入直线方程可得m=nx1+n.①
点N(x2,m)在抛物线y2=4x上,则将点N代入抛物线方程可得m2=4x2.②
因为M,N两点纵坐标相同,所以|MN|=|x2-x1|.
由①可得x1=m-nn,由②可得x2=m24,则|MN|=m24-m-nn=m24-mn+1.
令t=m2,则|MN|=t2-2tn+1=(t-1n) 2+1-1n2.
因为(t-1n)2≥0,所以当t=1n时,|MN|取得最小值,|MN|min=1-1n2.因为n∈N*,所以1-1n2≥0,则dn(M,N)=|MN|min=1-1n2=n2-1n2=(n-1)(n+1)n2.
∏n=22 025dn(M,N)=1×322×2×432×3×542×…×2 024×2 0262 0252,可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分,约分后可得∏n=22 025dn(M,N)=12×2 0262 025=1 0132 025.
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