【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 54　抛物线（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 54　抛物线（含答案），共9页。试卷主要包含了已知抛物线C，设F为抛物线C，已知直线l1，已知抛物线Γ，设P是曲线C，已知O为坐标原点,抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·山东潍坊一模)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则点M到C的焦点的距离为( )
A.1B.54
C.32D.2
2.(2024·辽宁丹东一模)已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1,则a=( )
A.2B.1
C.12D.14
3.(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上的动点到其焦点F的距离的最小值为1,则p=( )
A.1B.3
C.2D.4
4.(2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2B.22
C.3D.32
5.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1:3x-4y-6=0和直线l2:y=-2,抛物线x2=4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2B.3
C.115D.3716
6.(2024·河北唐山一模)已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与Γ交于A,B两点,与Γ的准线交于C,D两点,若|CD|=221,则|AB|=( )
A.3B.4
C.6D.8
7.(2024·湖南常德一模)已知抛物线方程为y2=16x,焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,设P为抛物线上的点,Q为圆上的一点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.6B.7
C.8D.9
8.(2024·宁夏石嘴山三模)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于C,AE与准线垂直且垂足为E,若|BC|=2|BF|,|AE|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=3x2B.y2=9x
C.y2=9x2D.y2=3x
9.(多选题)(2024·浙江金丽衢十二校一模)设P是曲线C:y2=8x(y>0)上的一动点,点F是C的焦点,A(4,4),则( )
A.F(2,0)
B.若|PF|=4,则点P的坐标为(2,4)
C.|AP|+|AF|的最小值为2+25
D.满足△PFA面积为92的点P有2个
10.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
11.(2024·陕西西安模拟)设P为抛物线C:y2=4x上的动点,A(2,6)关于P的对称点为B,记P到直线x=-1,x=-4的距离分别为d1,d2,则d1+d2+|AB|的最小值为 .
综合提升练
12.(2024·河北石家庄模拟)古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线,如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高PO=2,底面半径OA=2,则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A.2B.3
C.3D.2
13.(2024·安徽合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为( )
A.643B.64
C.803D.80
14.(2025·北京十一学校段考)已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中,也称圆的直径为通径.已知圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,则p=( )
A.12B.1
C.2D.4
15.(2024·浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+1=0相切且与圆x2+y2-4x+3=0外切的圆的圆心坐标 .
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为矩形ABCD的边CD的中点,且OC=CB=4,H为AB的中点.对于任意的n∈N*且n≥2,将线段AH和AD分成n等份,设AH,AD上的分点为Mk和Nk(k=1,2,…,n-1),过AH上的分点Mk作与HO平行的直线lk,lk与直线ONk交于点Ak,利用对称性作出Ak关于OH对称的另一半的点,用光滑曲线把它们连接起来,得到曲线E(过坐标原点O).设T(0,-3),P为曲线E上的一个动点,则|PT|的最小值为 .
17.(15分)(2025·北京顺义检测)如图,已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限上一点,F是抛物线C的焦点,以Fx为始边,FM为终边的∠xFM=60°,且|FM|=4,l为抛物线C的准线,O为原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证:M,O,E三点共线.
创新应用练
18.(2024·浙江杭州模拟)将(2n+1)(n∈N*)个棱长为1的正方体如图放置,其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面ABCD的中心为O,过O的直线l与平面ABCD垂直,以O为顶点,以直线l为对称轴的抛物线y=ax2(a>0)在0≤y≤n+1的部分可以被完全放入立体图形中.若n=1,则a的最小值为 ;若a有解,则n的最大值为 .
答案：
1.B 解析 抛物线C的准线方程为y=-14,又点M在抛物线上且纵坐标为1,所以点M到C的焦点的距离为1-(-14)=54.
2.D 解析 抛物线方程可化为x2=12ay(a>0),由抛物线的焦点到准线的距离为1,可得14a=1,解得a=14.
3.C 解析 由题得F(p2,0),设点P(x,y)为抛物线上一点,则由抛物线的定义知,|PF|=x+p2≥p2,所以1=p2,解得p=2.
4.B 解析 设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以yA2=4.所以|AB|=(xA-3)2+yA2=22.
5.B 解析 由题意可得,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l:y=-1.
设动点P与直线l,l1,l2的距离分别为d,d1,d2,点F到直线l1的距离为d3=|3×0-4×1-6|32+(-4)2=2,则d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且点P在F与l1之间时,等号成立,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.
6.D 解析 由抛物线方程知p2=1,所以F(1,0).不妨设点A在第一象限,如图所示,
直线CD与x轴交于点E,由|CD|=221,则|ED|=21,|EF|=2,所以圆的半径r=(21)2+22=5,所以|AF|=5,由抛物线的定义可得xA+p2=5,所以xA=4,又因为点A在抛物线上,所以A(4,4),所以|AB|=2×4=8.
7.C 解析 由抛物线方程得焦点F(4,0),准线方程为x=-4,
过点P作准线的垂线,垂足为N,因为点P在抛物线上,所以|PF|=|PN|,所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,当点Q固定不动时,P,Q,N三点共线,即QN垂直于准线时|PF|+|PQ|最小,即|QN|最小,又因为点Q在圆上运动,由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1得圆心M(5,1),半径r=1,所以当MN与准线垂直时,|QN|min=|MN|-r=8.
8.D 解析 如图所示,
过点B作准线的垂线,垂足为D,设|BF|=a,则|BC|=2|BF|=2a,由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a,在Rt△BCD中,可得sin∠BCD=|BD||BC|=12,所以∠BCD=30°,在Rt△ACE中,|AE|=3,可得|AC|=3+3a,由|AC|=2|AE|,所以3+3a=6,解得a=1.因为BD∥FG,所以1p=2a3a,解得p=32,所以抛物线方程为y2=3x.
9.AB 解析 因为抛物线C:y2=8x(y>0)的焦点为F(2,0),所以A正确;
由|PF|=4=xP+2,解得xP=2,所以yP=8xP=16=4,即点P的坐标为(2,4),故B正确;
取P(3,26),则|AP|+|AF|=1+(4-26)2+16+4=41-166+25,因为256×6-372=167>0,所以166>37,即40-166=(4-26)20,则直线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,又∠OAP=120°,则在Rt△OAH中,∠OAH=12∠OAP=60°,继而可得|AH|=|OH|3=3t3,所以点A的坐标为(t,3t3),代入抛物线C:y2=8x,可得t23=8t,解得t=24,在Rt△OAH中,|OA|=2|AH|=2×33×24=163,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=643.
14.C 解析 因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直,所以圆(x-2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直,且圆的这条直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,-1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1),即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1),则4=2p,解得p=2.经检验p=2满足题意.
15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圆心坐标(a,b)满足b2=8a即可) 解析 设所求圆心坐标为(a,b),圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.由题意得,a+1=(a-2)2+b2-1,即a-(-2)=(a-2)2+b2,故圆心(a,b)到点(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,所以所求圆心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线,故b2=8a,只要满足该式即可.
16.22 解析 由题意得D(-4,0),A(-4,-4),H(0,-4),Mn-1(-4n,-4),Nn-1(-4,-4n),则直线ln-1:x=-4n(n≥2,n∈N*),直线ONn-1:y=1nx(n≥2,n∈N*),联立两直线方程消去n得曲线E:y=-x24,即x2=-4y.经检验Ak(k=1,2,…,n-1)都在曲线E上.
设P(2t,-t2),则|PT|2=4t2+(3-t2)2=t4-2t2+9=(t2-1)2+8≥8,当且仅当t2=1,即P(2,-1)或P(-2,-1)时取等号,故|PT|min=22.
17.(1)解 过点M作MA⊥l,垂足为A,连接FA,则|MA|=|FM|,因为∠xFM=60°,所以∠FMA= 60°,△MFA为等边三角形,故|FA|=|MA|=4.因为∠FAQ=30°,所以|FQ|=|FA|·sin 30°=2,即p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明 由(1)知抛物线C的焦点F(1,0),kFM=tan 60°=3,直线FM的方程为y=3(x-1).
由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,解得xM=3,xN=13,所以yM=23,yN=-233,点M坐标为(3,23),点E坐标为(-1,-233).因为kOM=233,kOE=233,
所以M,O,E三点共线.
18.4 2 解析 抛物线的一部分y=ax2(a>0,0≤y≤n+1)可以被完全放入立体图形中,当且仅当对任意的k=0,1,2,…,n,在k≤y≤k+1时恒有k-12≤|x|≤k+12成立.
即对任意的k=0,1,2,…,n,有①k-12≤ka,②k+1a≤k+12,对于②,a(k+1)≥4.
这等价于a≥4,且对任意的k=0,1,2,…,n,有k-12≤ka.
对于①,由于当k=0,1时必有k-12≤ka,则当2≤k≤n时,必有k-12≤ka.
即4k≥a(k-1)2,即a≤4k(k-1)2,令k=t+1,即a≥4,且当1≤t≤n-1时,有a≤4(t+1)t2.
当n≥2时,由于4(t+1)t2=4t1+1t关于1t>0递增,故条件①②等价于③a≥4,且a≤4n(n-1)2.
当n=1时,③等价于a≥4,所以a的最小值为4;
若a有解,则③等价于n=1或4≤4n(n-1)2,即(n-1)2≤n,解得3-52≤n≤3+52.
结合n是正整数,知n的最大值为2.