2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练5 基本不等式的应用（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练5 基本不等式的应用（含解析），共13页。试卷主要包含了旅游博主小胡自驾出行周游世界等内容，欢迎下载使用。
考点一 利用基本不等式求最值
1.(2025·北京五中模拟)若函数f(x)=x+1x-a(x>a)在x=3处取最小值,则a=( )
A.1B.2
C.4D.2或4
2.(2025·黑龙江绥化模拟)已知a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2,则a+b的最小值为( )
A.32B.23
C.3+22D.2+32
3.(2025·河北沧州模拟)已知正实数m,n满足mn=2,则1m+2n+92m+n的最小值为( )
A.22B.3C.32D.4
4.(2026·安徽淮北模拟)若a,b>0,且a+b-9=ab,则ab的最大值为 .
考点二 利用基本不等式解决实际问题
5.(2026·浙江宁波模拟)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:N(h)=m3ℎ+4(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,则F(h)的最小值是 万元.
素能综合练
6.(2026·湖南长沙模拟)若x>1,则2x+8x-1的最小值是( )
A.6B.4
C.10D.22
7.(2025·吉林长春模拟)已知00(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是 .
参考答案
课时规范练5 基本不等式的应用
1.B 解析 因为x>a,所以x-a>0,所以f(x)=x+1x-a=(x-a)+1x-a+a≥2(x-a)·1x-a+a=2+a,当且仅当x-a=1x-a,即x=a+1时,等号成立,所以a+1=3,解得a=2.
2.C 解析 因为a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2,
所以a-1+b-22≥(a-1)(b-2)=2,所以a+b≥3+22,当且仅当a-1=b-2,即a=1+2,b=2+2时,等号成立.故选C.
3.C 解析 根据题意,mn=2,可得n=2m,则1m+2n+92m+n=1m+m+92m+2m,设1m+m=t,则t≥2,原式为t+92t≥2t×92t=32,当且仅当t=322时,等号成立.
4.81 解析 因为a,b>0,所以ab=a+b-9≥2ab-9,当且仅当a=b=9时,等号成立,即ab≤9,故ab≤81.
5.108 解析 因为不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元,
所以N(0)=m4=10,解得m=40.
又由题可得F(h)=30N(h)+9h=1 2003ℎ+4+9h=1 2003ℎ+4+3(3h+4)-12≥21 2003ℎ+4·3(3ℎ+4)-12=108,当且仅当1 2003ℎ+4=3(3h+4),即h=163时,等号成立.
6.C 解析 ∵x>1,∴x-1>0,对2x+8x-1进行变形可得2(x-1)+8x-1+2,根据基本不等式,得2(x-1)+8x-1+2≥22(x-1)×8x-1+2=8+2=10,当且仅当2(x-1)=8x-1,即x=3时,等号成立,∴当x=3时,2x+8x-1取得最小值,最小值为10.
7.A 解析 因为00,则1m+n≤12mn,故2mnm+n≤mn,当且仅当m=n时,等号成立.综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时,等号成立).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.故选B.
11.ABC 解析 因为a+b=a+b+2ab≤a+b+(a+b)=2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A正确;因为1a+4b=(a+b)·(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,当且仅当b=2a=23时,等号成立,故B正确;因为(1+a)(1+b)≤(1+a+1+b2)2=94,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C正确;因为a=1-b,00(x>-1)恒成立,即m>-(4x+1x+1),因为x>-1,则x+1>0,则4x+1x+1=4(x+1)+1x+1-4≥24-4=0,当且仅当4(x+1)=1x+1,即x=-12时,等号成立,则-(4x+1x+1)≤0,故m>0.