2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练4　基本不等式（含答案）

这是一份2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练4　基本不等式（含答案），共15页。试卷主要包含了旅游博主小胡自驾出行周游世界等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·河北保定二模)已知x,y是非零实数,则y2x2+9x2y2的最小值为( )
A.6B.12C.2D.4
2.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为( )
A.1B.2
C.4D.不存在
3.(2026·吉林长春模拟)若关于x的不等式x2-ax+20,且a+b=4,则下列结论正确的是( )
A.2a·2b=16B.ab≤2
C.lg2a+lg2b≥2D.1a+1b≥1
7.(多选题)(2026·湖南长沙明德中学高三月考)已知a>0,b>0,若a+2b=1,则( )
A.ab的最小值为18
B.2a+1b的最小值为8
C.a2+b2的最小值为1
D.2a+4b的最小值为22
8.(2026·江西赣州模拟)已知不等式4x+m+1x+1>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是 .
9.(2025·山东泰安模拟)若x,y>0,xy=4x+y+5,则4x+y的最小值为 .
综 合 提升练
10.(2025·浙江嘉兴模拟)已知x+y=1x+4y+8(x,y>0),则x+y的最小值为( )
A.53B.9
C.4+26D.10
11.(2025·河南郑州模拟)已知α∈0,π2,则4+sin2α-sin2α的最大值为( )
A.-2B.-25
C.-3D.-53
12.(多选题)(2025·浙江北斗星盟三模)已知a>0,b>0,则下列说法正确的是( )
A.若ab=a+b+3,则ab≥9
B.a2+4a2+3的最小值为1
C.若a+b=9,则36a+ab的最小值为8
D.若a+5b≤ka+b恒成立,则k的最小值为5
13.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则1|MF1|+1|MF2|的最小值为 .
创 新 应用练
14.(2025·广东深圳模拟)设max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数,已知x,y均为正数,则max{4x,y,1x,9y}的最小值为( )
A.32B.2C.52D.3
参考答案
1.A 解析 y2x2+9x2y2≥2y2x2×9x2y2=6,当且仅当y2x2=9x2y2,即|y|=3|x|时,等号成立,所以y2x2+9x2y2的最小值为6.故选A.
2.C 解析 由基本不等式得ab≤a+b22=4,当且仅当a=b=2时取等号.故选C.
3.A 解析 当x∈[1,5]时,不等式x2-ax+2x+2x,
由不等式x2-ax+2x+2x在x∈[1,5]上有解.
而x+2x≥2x·2x=22,当且仅当x=2时取等号,所以x+2x的最小值为22,
所以a的取值范围是(22,+∞).
故选A.
4.D 解析 因为x0,则1m+n≤12mn,故2mnm+n≤mn,当且仅当m=n时取等号.
综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时取等号).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.
故选B.
6.ABD 解析 对于A,2a·2b=2a+b=24=16,故A正确;
对于B,由4=a+b≥2ab,得ab≤2,当且仅当a=b=2时等号成立,故B正确;
对于C,由B可知ab≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,又函数y=lg2x为增函数,所以lg2a+lg2b=lg2(ab)≤lg24=2,故C错误;
对于D,1a+1b=141a+1b(a+b)=142+ba+ab≥142+2ba·ab=1,当且仅当ba=ab,即a=b=2时等号成立,故D正确.故选ABD.
7.BD 解析 由a>0,b>0,且a+2b=1,
对于A,由ab=12a·2b≤12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为18,故A错误;
对于B,由2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+24ba·ab=8,当且仅当4ba=ab,即a=12,b=14时,等号成立,故2a+1b的最小值为8,故B正确;
对于C,由a+2b=1,可得a=1-2b,则a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1,因为a>0,b>0且a=1-2b,可得00(x>-1)恒成立,即m>-(4x+1x+1),
因为x>-1,则x+1>0,则4x+1x+1=4(x+1)+1x+1-4≥24-4=0,
当且仅当4(x+1)=1x+1,即x=-12时等号成立,则-(4x+1x+1)≤0,故m>0.
9.20 解析 4xy=4(4x+y+5)≤4x+y22,当且仅当4x=y,即x=52,y=10时取等号,即(4x+y)2-16(4x+y)-80≥0,即(4x+y-20)(4x+y+4)≥0,因为x,y>0,所以4x+y≥20,所以4x+y的最小值为20.
10.B 解析 由x+y=1x+4y+8(x,y>0),得x+y-8=1x+4y,
则(x+y-8)(x+y)=1x+4y(x+y)=yx+4xy+5≥2yx·4xy+5=9,
当且仅当yx=4xy,即x=3,y=6时等号成立,令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,解得t≤-1(舍去)或t≥9,
则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.
11.B 解析 由α∈0,π2,得sin α>0,cs α>0,
所以4+sin2α-sin2α=5sin2α+4cs2α-2sinαcsα=-125sinαcsα+4csαsinα≤-12×25sinαcsα·4csαsinα=-25,
当且仅当5sinαcsα=4csαsinα,即sin α=23,cs α=53时等号成立.故选B.
12.AC 解析 对于A,ab=a+b+3≥2ab+3,当且仅当a=b=3时取等号,即(ab-3)(ab+1)≥0,所以ab≥3,所以ab≥9,故A正确;
对于B,a2+4a2+3=(a2+3)+4a2+3-3≥2(a2+3)·4a2+3-3=4-3=1,当且仅当a2+3=4a2+3,即a2+3=2时取等号,显然a的值不存在,故B错误;
对于C,因为a+b=9,所以4(a+b)a+ab=4+4ba+ab≥4+24ba·ab=8,
当且仅当4ba=ab,即a=6,b=3时取等号,则36a+ab的最小值为8,故C正确;
对于D,(方法一)因为a+5b≤ka+b恒成立,且a>0,b>0,所以k≥a+5ba+b恒成立,而a+5ba+b2=a+5b+25aba+b=a+b+4b+25aba+b=1+4×ba+25×ba1+ba,
令t=ba>0,
则1+4×ba+25×ba1+ba可化为1+4t2+25t1+t2,
令m=4t2+25t1+t2>0,则m(1+t2)=4t2+25t,化简得(m-4)t2-25t+m=0,当m=4时,t=255,当m≠4时,该一元二次方程一定有实数根,得到(-25)2-4m(m-4)≥0,解得m∈(0,4)∪(4,5],当m=5时,t=5.
综上,m≤5,故m+1≤6,即a+5ba+b2≤6,故a+5ba+b≤6,
得到k≥6,则k的最小值为6,故D错误.
(方法二)因为a+5b≤ka+b,所以a+25ab+5b≤k2(a+b),所以(k2-1)a-25ab+(k2-5)b≥0,所以(k2-1)ab-25ab+k2-5≥0对∀a>0,b>0恒成立,令x=ab,则(k2-1)x2-25x+k2-5≥0对∀x>0恒成立,当k2-1=0,即k2=1时,(k2-1)x2-25x+k2-5=-25x-40,则--252(k2-1)=5k2-1>0,则Δ=20-4(k2-1)(k2-5)≤0,解得k≥6,故D错误.
故选AC.
13.23 解析 F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以1|MF1|+1|MF2|=16×1|MF1|+1|MF2|(|MF1|+|MF2|)=16×2+|MF2||MF1|+|MF1||MF2|≥16×2+2|MF2||MF1|·|MF1||MF2|=23,
当且仅当|MF1||MF2|=|MF2||MF1|,即|MF1|=|MF2|=3时取等号,
所以1|MF1|+1|MF2|的最小值为23.
14.D 解析 因为x为正数,所以4x+1x≥24x·1x=4,当且仅当4x=1x,即x=12时,等号成立,则max4x,1x≥42=2.因为y为正数,所以y+9y≥2y·9y=6,当且仅当y=9y,即y=3时,等号成立,则maxy,9y≥3.
Max{4x,y,1x,9y}=max{max{4x,1x},max{y,9y}}≥3.
故选D.