2022高考数学一轮复习课时规范练33基本不等式及其应用（含解析）

课时规范练33　基本不等式及其应用

基础巩固组

1.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2,则(　　)

A.p是q的充分条件但不是必要条件

B.p是q的必要条件但不是充分条件

C.p是q的充要条件

D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

2.(2020辽宁实验中学五模,文9)已知正实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=的最大值为 (　　)

A.-1 B.- C.-4 D.-2

4.(2020重庆高三模拟,文4)已知a,b>0,a+2b=2,则的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.[2,+∞)

C.[+1,+∞) D.[2,+∞)

5.设正实数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为(　　)

A. B.3 C. D.

6.(2020吉林联考,理5)若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为(　　)

A.2 B.2 C.4 D.2

7.(2020贵州六盘水模拟,理4)已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为(　　)

A.8 B.9 C.12 D.16

8.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　. 

9.经过长期观测,某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(单位:千辆/时)与成正比,其中v(单位:千米/时)是汽车的平均速度.则该公路段在交通繁忙的时段内,汽车的平均速度v为　　　　　时,车流量最大. 

10.(2020安徽合肥第二中学月考)已知a>0,b>0.

(1)若=4,求ab的最小值;

(2)若a+b=1,求的最小值.

综合提升组

11.(2020新高考全国1,11改编)已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论不成立的是(　　)

A.a2+b2≥ B.2a-b>

C.log2a+log2b≥-2 D.

12.设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为(　　)

A.8 B.4+2

C.5+2 D.4

13.设x>0,y>0,且x+y+xy=2.

(1)求x+y的取值范围;

(2)求xy的取值范围.

创新应用组

14.(2020湖南常德一模,文15)已知在正项等比数列{an}中,存在两项am,an,满足=2a1且a6=a5+2a4,则的最小值是　　　　　. 

15.(2020江苏昆山高级中学月考)已知2x+5y=8.

(1)当x>0,y>0时,求xy的最大值;

(2)当x>-1,y>-2时,若不等式≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.

参考答案

课时规范练33　基本不等式及其应用

1.D　由a,b是正实数,不一定得到a+b>2,如a=b=1.反之,由a+b>2,不一定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.

故p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.

2.B　∵正实数x,y满足x2-xy+y2=1,

∴(x+y)2=3xy+1≤3×2+1,化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,当且仅当x=y=1时取等号.

则x+y的最大值为2.

3.D　∵a<0,b<0,a+b=-2,∴=-(a+b)=-2+≤-=-2,当且仅当a=b=-1时取等号.故y=的最大值为-2.故选D.

4.C　由题意得,+1≥2+1=+1,

当且仅当,即a=2-2,b=2-时等号成立.故选C.

5.A　因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以×6=[(x-y)+(x+5y)]=10+≥(10+2)=,当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A.

6.C　因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log4(x2y)=1,所以x2y=4(x>0,y>0),

则x2+y≥2=4,当且仅当x2=y=2时,等号成立,故x2+y的最小值为4.故选C.

7.B　由题意,得=1,则x+y=(x+y)=5+≥5+2=9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,所以x+y的最小值为9.故选B.

8.　由5x2y2+y4=1,

得x2=.

所以x2+y2=y2+y2=y2≥2.

当y2,即y2=,x2=时,上式取等号,

所以x2+y2的最小值为.

9.30　设y=(k≠0).

∵v>0,∴y=.∵v+≥60,∴y≤.当且仅当v=,即v=30(千米/时)时,车流量最大.

10.解(1)因为a>0,b>0,由=4≥2,则≥1,所以ab≥1,当且仅当a=,b=2时取等号,所以ab的最小值为1.

(2)因为a>0,b>0,a+b=1,所以(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时取等号,所以的最小值为9.

11.C　∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;

∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,

∴2a-b>2-1=,故B正确;

∵a+b=1≥2,∴ab≤,log2a+log2b=log2ab≤log2=-2,当且仅当a=b=时,等号成立,故C错误;∵a+b=1≥2,∴2≤1,()2=a+b+2≤2,∴,当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确.故选C.

12.B　∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,

∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2·2+ab+cd=4+3ab+cd≥4+2=4+2.当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=,c=d=时取等号,

∴a2+b2+m的最小值为4+2.

故选B.

13.解(1)∵2=x+y+xy≤x+y+,当且仅当x=y=-1时取等号.∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0,

∴x+y≤-2-2或x+y≥-2+2,又x>0,y>0,∴x+y≥-2+2,又x+y<2,∴x+y∈[2-2,2).

(2)∵2=x+y+xy≥2+xy,当且仅当x=y=-1时取等号.

∴+2-2≤0,∴-1-≤-1+,

又x>0,y>0,∴0<≤-1+,∴0<xy≤4-2,

∴xy∈(0,4-2].

14.　在正项等比数列{an}中,设公比为q,因为a6=a5+2a4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

因为存在两项am,an满足=2a1,所以2m+n-2=4,所以m+n=4,

所以(m+n)=5+≥5+2=,

当且仅当m+n=4,,即m=,n=时取等号.所以的最小值是,故答案为.

15.解(1)因为x>0,y>0,2x+5y=8,

所以有xy=·2x·5y≤2=×2=,当且仅当2x=5y,即x=2,y=时,取等号,所以xy的最大值为.

(2)因为2x+5y=8,所以2(x+1)+5(y+2)=20,而x>-1,y>-2,

所以,即+2,

当且仅当时取等号,即x=,y=-时,取等号,

因此min=,由题意得m2+4m≤,解得-≤m≤.故m的取值范围为-.