2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题五统计与概率 微专题19　离散型随机变量的分布列与数学期望

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【考情提示】1.离散型随机变量的分布列与数学期望是概率统计板块的绝对核心基础,几乎每年必考,常作为解答题的第一问,或与二项分布、超几何分布结合考查.2.二项分布是考查频率最高的离散型分布模型,超几何分布考查频率低于二项分布,但也有出现.3.正态分布在新高考中重要性显著提升.
1.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.2.离散型随机变量的均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.(4)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(5)D(X)=E(X2)−(E(X))2.(6)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).(7)若X是随机变量,则Y(Y=aX+b)也是随机变量.
3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1−p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1−p).4.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
重点1　二项分布[例1]智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6年的为优质品.现用A,B两种不同品牌的智能门锁做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示,以试验结果中各组的频率作为相应的概率.
(2)通过多年统计发现,A品牌智能门锁每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:年)的关系如下表:
若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
(3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮,且最多投篮n次,设随机变量Y为投篮的次数,证明:E(Y)