2022届高三数学二轮复习课件：专题五　第2讲　概率、随机变量及其分布

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(2)互斥事件的概率计算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率计算公式:P(B)=1-P(A).
对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
(4)相互独立事件概率计算公式:P(AB)=P(A)·P(B).
误区警示要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.(2)基本事件不同,在P(A|B)中,事件B包含了基本事件总数;在P(AB)中,包含所有基本事件的仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
2.两种特殊分布(1)超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
(2)二项分布一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.名师点析1.超几何分布的模型是不放回抽样,要注意明确其中参数M,N,n的含义.2.二项分布的条件是独立性与重复性.
3.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用下表表示.
名师点析1.离散型随机变量的分布列的两个性质:(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.
2.期望公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi.
[例1-1](2021·河北保定二模)河图洛书是华夏文化的源头,两幅图案玄奥神妙,博大精深.它始于上古时期,伏羲就是根据【河图】推演出了先天八卦图,后写出了《易经》.河图上,排列成数阵的白点和黑点,蕴藏着无穷的奧秘.白点表示奇、阳,黑点表示偶、阴.此一白一黑,既含阴阳、天地运行之道,又寓五行、四象变化之理.一六在后,象北方壬癸水,玄武星象;三八在左,象东方甲乙木,青龙星象;二七在前,象南方丙丁火,朱雀星象;四九在右,象西方庚辛金,白虎星象;五十在中,象中央戊己土,表示时空奇点;而中间五点,又象太极含四象;中一点,又象太极含一气.若从这十个点数中任选两个数,则选取的恰好是两个奇数的概率为(　　)
[例1-2](2021·山东聊城三模)在某次脱贫攻坚表彰会上,共有36人受到表彰,其中男性多于女性,现从中随机选出2人作为代表上台领奖,若选出的两人性别相同的概率为 ,则受表彰人员中男性人数为(　　)A.15B.18C.21D.15或21
规律方法古典概型求解的关键点(1)解答古典概型问题,关键是正确求出基本事件的总数和A包含的基本事件的个数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的总数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求A所包含的基本事件的个数的求法与基本事件的总数的求法的一致性.
(1)(2021·黑龙江哈尔滨三中月考)甲、乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为:甲、乙两人先各抽三张扑克牌,每局比赛双方同时各出一张牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一样大两人各得1分,每张牌只能出一次,共比赛三局.若甲抽到的三张扑克牌分别是A1,A2,A3,乙抽到的三张扑克牌分别是B1,B2,B3,且这六张扑克牌的大小顺序为A1>B1>B2>A2>A3>B3,则三局比赛结束后甲得4分的概率为(　　)
(2)(2021·山东泰安三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数),数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是　　　　　. 
(2)30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个.其中阴性素数有5,11,17,23,29共5个,阳性素数有7,13,19共3个.
命题角度1　条件概率[例2-1](2021·广东汕头三模)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为(　　)
规律方法条件概率的3种求法
(1)(2021·湖南五市教研教改共同体联考)有一批种子的发芽率为0.9,发芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)D.0.9
(2)(2021·辽宁大连一模)我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没,“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种,事件A表示选出的两种中有一药,事件B表示选出的两种中有一方,则P(B|A)=(　　)
答案 (1)A　(2) D
解析 (1)设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽,并成活而成长为幼苗),则P(A)=0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.9×0.8=0.72.
命题角度2　相互独立事件的概率
[例2-4](2021·江苏苏州中学园区校月考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　. 
答案 0.18　解析 前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是P=0.108+0.072=0.18.
规律方法求相互独立事件和n次独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的“和”事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的“积”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨别n次独立重复试验的基本特征:①同一个试验独立重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
答案 (1)C　(2) D
命题角度1　超几何分布[例3-1](2021·北京石景山期末)在学期末,为了解学生对食堂用餐满意度情况,某兴趣小组按性别采用分层随机抽样的方法,从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分,满分为100分.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.随后,兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:
男生评分结果的频数分布表
女生评分结果的频率分布直方图
为了便于研究,兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下:
(1)求a的值;(2)为进一步改善食堂状况,从评分在[50,70)的男生中随机抽取3人进行座谈,记这3人中对食堂“不满意”的人数为X,求X的分布列;(3)以调查结果的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取一名学生,求其对食堂“比较满意”的概率.
规律方法求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.
解 (1)因为(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为:
(3)设事件A=“随机抽取一名学生,对食堂‘比较满意’”.因为样本人数为200,其中男生共有80人,所以样本中女生共有120人.由频率分布直方图可知,女生对食堂“比较满意”的人数共有120×0.020×10=24,由频数分布表,可知男生对食堂“比较满意”的共有16人.
(2021·陕西西安八校联考改编)某中学高一(1)班在接种了“新冠疫苗”之后,举行了“疫情防控,接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前21名同学的成绩排序如下:男生　203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.女生　200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.已知前7名女生的平均得分为221分.(1)①求x的值;②如果在竞赛成绩高于205分的学生中按性别分层随机抽样抽取6人,再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗,感恩祖国”主题班会中心发言人,求这3人中有女生的概率;
(2)如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会,用ξ表示4人中成绩超过235分的人数,求ξ的分布列和数学期望.
解 (1)①由题中数据可知,前7名女生的平均得分为
解得x=4.②竞赛成绩高于205分的女生有6人,男生有12人,
(2)竞赛成绩高于220分的学生共有11人,成绩高于235分的学生共有3人,由题意可知,随机变量ξ的可能取值有0,1,2,3,
所以随机变量ξ的分布列如下表所示:
命题角度2　二项分布[例3-2](2021·海南临高模拟)动车和BRT(快速公交)的出现,方便了人们的出行,并且带动了我国经济的巨大发展.根据统计,在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多,为了调查乘客对出行方式的满意度,研究人员随机抽取了500名乘客进行调查,所得情况统计如下所示:
(1)若从样本中任取1人,求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率;(2)记满意为10分,一般为5分,不满意为0分,根据表中数据,计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差;(3)以样本中这500名乘客属于每个年龄层的频率代替1名乘客属于该年龄层的概率,若从所有乘客中随机抽取4人,记年龄在30~50岁的乘客人数为X,求X的分布列及数学期望.
规律方法破解有关二项分布的“四关”
(2021·山东威海检测)2020年,在第七次全国人口普查过程中,普查员对管辖区域内普查对象是否在家、何时在家等情况并不了解,“敲门无人应”成了普查员在工作中面临的最大难题,而国家电网公司在“网上国网”APP中推出的“e普查”辅助工具成为人口普查的“得力助手”.使用“e普查”扫描管辖范围内居民电表,获取该户“用电码”,红、橙、绿三色分别表示近一个月未用电、间歇用电、正常用电,以精准识别空置户、“候鸟”户、正常户三类情况.下表通过“e普查”统计了某小区的情况:
若空置户不需要入户调查,普查员甲根据上面的数据,按照显示的橙、绿两色分层抽取该小区5户用户,进行入户核实情况,若普查员甲到每家“候鸟”户中调查一次成功的概率为 ,到每家正常户中调查一次成功的概率为 ,且各户之间调查一次是否成功相互独立.(1)求普查员甲到这5户中调查一次成功4户的概率;(2)设普查员甲到这5户中调查一次成功的户数为X,求X的分布列和数学期望E(X).