2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题五统计与概率 微专题16　计数原理与排列组合、二项式定理

这是一份2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题五统计与概率 微专题16　计数原理与排列组合、二项式定理，共47页。PPT课件主要包含了知识精梳·回扣教材，两个计数原理，排列与组合，二项式定理，二项式系数的性质，考法研究·探寻规律，n+1，思路探求，−28，−1680等内容，欢迎下载使用。
【考情提示】1.计数原理与排列组合为高考必考知识,选择、填空高频出现,关注分配、排队、涂色、摸球等模型;2.二项式定理是高考的常规考点,以选择填空题为主,熟记通项公式和灵活应用赋值法是关键.
3.排列数、组合数的公式及性质
【提醒】(1)项数为(n+1);(2)各项的次数都等于n,即a和b的指数的和为n.
重点1　两个计数原理[例1](1)若一个三位数的各位数字之和为10,则称这个三位数为“十全十美数”,如208,136都是“十全十美数”,则“十全十美数”一共有(　　)A.36个B.42个C.48个D.54个
(2)(2025·重庆模拟)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由分类加法计数原理及分步乘法计数原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)·(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”表示把红球和蓝球都取出来,以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球,且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)A.(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2B.(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2C.(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2)D.(1+a3)(1+b)3(1+c+c2)
【解析】选A.第一步,从3个无区别的红球中取出若干球,则有1+a+a2+a3;第二步,从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出,要满足题意,只有1+b3;第三步,从2个有区别的黑球中取出若干个,则有(1+c)(1+c)=(1+c)2.根据分步乘法计数原理,则满足题意的取法是(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2.
【方法提炼】两个计数原理的注意点分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是为了完成一件事,前者是分几类方法(每类方法都可完成),后者需要几个步骤(步骤全了才算完成).分类时,注意不能重复.
对|点|自|测1.(2025·南京模拟)英国数学家弗朗西斯·古德里提出四色猜想(四色定理):任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图,一个地区分为6个行政区域,现给地图上的行政区域涂色(注:人工湖不需要涂色),要求:每个区域涂1种颜色,相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择,则不同的涂色方法有__________种(用数字作答). 
【解析】如图,将6个行政区标上序号,区域1有4种颜色可选,共4种方法;区域2与区域1相邻,不能与区域1同色,有3种颜色可选,共3种方法;区域3与区域1、2相邻,不能与区域1、2同色,有2种颜色可选,共2种方法;
①若区域4与区域2同色,有1种颜色可选,此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法,此时区域6有2种涂色方法;②若区域4与区域2不同色,有1种颜色可选,此时若区域5与区域2同色,有1种涂色方法,区域6有3种涂色方法,若区域5与区域2不同色,有1种涂色方法,区域6有2种涂色方法,所以一共有4×3×2×[1×2×2+1×(1×3+1×2)]=216(种)方法.
2.(2025·聊城模拟)除数函数y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如d(1)=1,d(4)=3,则d(2n)=________;d(2 024)=________. 【解析】2n的正因数为1,21,22,…,2n,共n+1个,故d(2n)=n+1;2 024=2×2×2×11×23,①从中选1个数相乘,有2,11,23,共3种情况,②从中选2个数相乘,有2×2,2×11,2×23,11×23,共4种情况,③从中选3个数相乘,有2×2×2,2×2×11,2×11×23和2×2×23,共4种情况,④从中选4个数相乘,有2×2×2×11,2×2×2×23,2×2×11×23,共3种情况,⑤从中选5个数相乘,有2 024这个因数,另外还有1这个因数,故d(2 024)=3+4+4+3+1+1=16.
重点2　排列、组合基本问题[例2](1)(多选题)(2025·眉山模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是(　　)A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有18种C.甲、乙不相邻的排法种数为70种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
(2)(2025·邢台模拟)运动会期间,将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志愿服务,每名志愿者只能安排去一个场地,每个场地至少需要1名志愿者,且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地,则不同的安排方法种数为(　　)A.72B.96C.114D.124
【方法提炼】解决排列组合问题的常用技巧(1)直接法:特殊元素(或位置)优先法,相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法,定序问题倍缩法.(2)间接法:正难则反.注意:分组分配问题先选后排.
对|点|自|测1.某校举办中学生运动会,某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远,跳高,铅球,跑步4个项目,每名同学只能报1个项目,每个项目至少有1名同学报名,且甲不能参加跳远,则不同的报名方法共有(　　)A.60种B.120种C.180种D.240种
[例4](多选题)若(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则下列正确的是(　　)A.a0=2 024B.a0+a1+…+a2 024=32 024C.a0−a1+a2−a3+…+a2 024=1D.a1−2a2+3a3−…−2 024a2 024=−2 024
【解析】选BC.对于A:令x=0,则a0=1,故A错误;对于B:令x=1,则a0+a1+…+a2 024=32 024,故B正确;对于C:令x=−1,则a0−a1+a2−a3+…+a2 024=1,故C正确;对于D,由(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,两边同时求导得2 024×2×(1+2x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023,令x=−1,则a1−2a2+3a3−…−2 024a2 024=−4 048,故D错误.
令t=x+1,则(1+2t)9=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,设f(t)=(1+2t)9=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,则f'(t)=18(1+2t)8=a1+2a2t+…+9a9t8,令t=1,得a1+2a2+…+9a9=18×38=2×310,又a0+a1+a2+…+a9=39,所以a0+2a1+3a2+4a3+…+10a9=(a1+2a2+…+9a9)+(a0+a1+a2+…+a9)=2×310+39=7×39,故D正确.
2.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(　　)A.12种B.24种C.36种D.48种【解析】选B.因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:3!×2×2=24种不同的排列方式.
4.(2025·北京卷)已知(1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4,则a0=_____;a1+a2+a3+a4=________. 【解析】令x=0,得a0=1,又(1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4,故(1−2x)4=a0+a1(−2x)+a2(−2x)2+a3(−2x)3+a4(−2x)4,令t=−2x,则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4,令t=1,则a0+a1+a2+a3+a4=24,故a1+a2+a3+a4=15.