2026年高考数学一轮复重难点培优06立体几何中的最值(范围)、探索性及新定义问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)(1)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优06立体几何中的最值(范围)、探索性及新定义问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)(1)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 已知线面角、二面角求其他量（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 夹角、距离的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 平行、垂直关系中的探索性问题（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 距离中的探索性问题（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 夹角中的探索性问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 10
\l "_Tc326" 题型六 折叠条件下问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 12
\l "_Tc11957" 题型七 新定义问题（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 14
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 16
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 16
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 23
1、用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题
探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程(不等式)的解的问题,考查了化归、转化的数学思想,培养了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.
2、用向量的坐标运算解决几何问题
用向量的坐标运算解决几何问题,使几何问题代数化,以数助形,体现了数形结合的思想.同时本题还运用了方程的思想,通过列方程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量的坐标运算”是“几何”与“代数”间的一座新的桥梁.
这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定证明.
3、对于存在判断型问题：通常应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.
4、对于位置探究型问题：通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.


题型一 已知线面角、二面角求其他量
1．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面.
(1)证明：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.
2．（25-26高三上·河北保定·月考）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.

(1)设平面平面，证明：；
(2)已知在同一个球面上，且球心在平面上.
（i）证明：平面平面；
（ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长.
4．（2024·浙江温州·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，平面.
(1)求证：；
(2)若二面角的正弦值为，且，求.

题型二 夹角、距离的最值（范围）问题
1．如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.

(1)证明：；
(2)若，动点在矩形内（含边界），且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成角为，求的取值范围.
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值．
3．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：；
(2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
(3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围．
4．（24-25高三下·山西·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
5．（2025·云南·模拟预测）在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积；
(3)求二面角的余弦值的最小值．
6．（2025·河北张家口·二模）如图，四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，且，，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥体积的最大值；
(3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值.
7．（2025·山西·二模）中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.
(1)证明：、、、共面；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.

题型三 平行、垂直关系中的探索性问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接．
(1)若平面平面，求证：；
(2)若平面平面．
（ⅰ）求二面角的大小；
（ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
3．（2025·广西南宁·三模）等腰梯形ABCD中，，，，点E为中点（如图1）．将沿折起到的位置，点O，F分别为的中点（如图2）．
(1)求证：平面平面；
(2)如果，平面平面，那么侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由．
4．（25-26高三上·安徽·开学考试）三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求三棱锥外接球表面积；
(3)设靠近的四等分点为F，D是平面内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．

题型四 距离中的探索性问题
1．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）.已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离；
4．（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由.

题型五 夹角中的探索性问题
1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．
2．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.

(1)求二面角的余弦值；
(2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，二面角的大小为．
(1)求线段的长．
(2)若，且，则在线段上是否存在点，使得直线BE与平面PDC所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
4．（2025·山东临沂·一模）在中，，如图将沿翻折至.

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角大小为.
（i）求与平面所成角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在内（不含边界）是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离；若不存在，请说明理由．

题型六 折叠条件下问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.
(1)若点为的中点，求证：平面；
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值.
2．（23-24高三上·湖北·月考）如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面．
(1)证明：；
(2)点M满足，若二面角的余弦值为，求．
3．（2025·四川南充·三模）如图，在等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成.

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在边长为2的菱形ABCD中，，将沿着BD折起，连接AC，使得．
(1)求证：平面平面；
(2)若点M为棱CD的中点，求二面角的余弦值．
5．（2025·河南·二模）如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.
(1)求图2中的长度；
(2)求图2中直线与所成角的余弦值；
(3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由.

题型七 新定义问题
【技巧通法·提分快招】
1．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.
(1)用混合积性质证明：与是异面直线；
(2)若点，求的长的最小值；
(3)若为坐标原点，直线，求的坐标.
2．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
3．（24-25高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．
(1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，．
①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；
②求二面角的平面角的正弦值；
(2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率．
4．（24-25高三上·河南南阳·期末）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.
(1)若平面，，且，求实数的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；
(3)记集合中所有点构成的几何体为.
①求的体积的值；
②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
3．（24-25高三上·广东·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．
(1)若，证明：；
(2)若，，且直线与平面所成角的余弦值为，求．
4．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
5．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在三棱柱中，，，
(1)求证：；
(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
6．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.

(1)证明：；
(2)证明：；
(3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
7．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为

(1)证明：平面；
(2)求点到平面与到平面的距离之比；
(3)若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围
8．如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
9．（24-25高三下·江苏盐城·月考）直三棱柱，已知∠ABC为直角，，，线段上有一点M，线段存在一点N，使得面MAB．
(1)求CN长；
(2)若二面角所成角余弦值为时，求AB长．
10．（24-25高三上·湖北襄阳·月考）如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上．
(1)若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
11．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，；
①求与平面所成的角；
②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
12．在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一般式方程.
(2)求到直线的距离.
(3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
13．（24-25高三下·云南临沧·月考）如图，在正三棱柱中，，，动点在上，动点在上，且满足，，为的中点．
(1)当时，求与底面所成角的正切值；
(2)当平面平面时，求的值；
(3)是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
14．（2025·四川乐山·三模）如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当直线与平面所成的角为时，求的值.
15．（25-26高三上·贵州·月考）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）.
(1)当点N为线段AD的中点时，求证：平面；
(2)线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为．
16．（24-25高三下·河南新乡·月考）如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，、是圆台上底面圆上的两点，是的中点，，.
(1)证明：平面．
(2)求四面体的外接球的表面积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
17．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点.

(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值；
(3)求点到直线的距离的最小值.
18．（2025·湖北武汉·一模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，.
(1)求三棱锥外接球的表面积.
(2)设为线段上的点.
（i）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切
值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
(1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
(2)求二面角的余弦值的最小值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．如图，在圆柱中，点为底面圆周上四点，为圆柱的一条母线，为的中点，．
(1)若，，证明：平面；
(2)若，，且二面角的余弦值为，求．
2．（24-25高三上·广西河池·期末）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
3．（24-25高三下·浙江宁波·月考）如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为.
(1)当时，时.
（i）证明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范围.
4．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）.如图，正方形的边长为分别为边上的点.
(1)若是等边三角形，求的面积
(2)的周长为，
（i）求的大小：
（ii）若是的中点，设为的面积，将沿折成直二面角，求当取最小值时，直线与平面所成角的正弦值.
6．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为．
(1)求证：平面；
(2)求点的轨迹长；
(3)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
7．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的大小；
(3)如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值.
1、利用空间向量证明平行关系的方法和步骤
（1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上.
（2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.
（3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
2、利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤
（1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
（2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明.
（3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直.
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明.
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对.