2026年高考数学一轮复重难点培优07导数中的零点问题(含隐零点)(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优07导数中的零点问题(含隐零点)(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 判断函数零点的个数（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 讨论函数零点的个数（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 证明函数零点的个数（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 根据零点个数求参数范围（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 利用隐零点解决最值（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 利用隐零点判断零点个数（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc11957" 题型七 利用隐零点证明不等式（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 13
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注：函数单调+存在零点=唯一零点
3、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
4、针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间.


题型一 判断函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1B．3C．5D．7
2．（24-25高三上·四川·期中）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（24-25高三下·河南·月考）函数的零点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2025·广西河池·二模）关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．函数没有零点B．函数只有1个零点
C．函数至少有1个零点D．函数有2个零点
5．函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（23-24高三上·山东·月考）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或3B．0或1C．1或2D．2或3﹒
7．（多选题）函数的零点个数可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（多选题）（24-25高三下·山东青岛·开学考试）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．有三个零点
B．零点均分布在内
C．零点为，，
D．零点为，，

题型二 讨论函数零点的个数
1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论方程的根的个数．
2．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)讨论的零点个数．
3．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
4．已知函数.
(1)当时，求证；
(2)讨论的单调性；
(3)讨论零点个数.
5．已知．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若恰有1个极大值点和1个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断零点的个数．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.

题型三 证明函数零点的个数
【技巧通法·提分快招】
1．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
2．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，
(1)当时，求的对称中心；
(2)证明：有唯一零点
3．（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将，，，按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在内无零点.
5．（2024·广西钦州·三模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：在上有3个零点.

题型四 零点个数求参数范围
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·山东日照·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·四川成都·二模）已知函数且与函数且有两个不同交点，则的取值范围是 .（其中为自然对数的底数）
9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数有2个零点，，且，则实数的取值范围是 ．

题型五 利用隐零点解决最值
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 .
5．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
6．（2024·四川自贡·一模）函数的最小值为.
(1)判断与2的大小，并说明理由：
(2)求函数的最大值.
7．（23-24高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.

题型六 利用隐零点判断零点个数
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)记，若，试讨论在上的零点个数．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
3．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围；
(2)若，判断的零点个数.
5．已知函数，.函数，求的零点个数；
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.

题型七 利用隐零点证明不等式
1．设，，证明：；
2．（2025·四川雅安·二模）已知函数.
(1)若，，求的单调区间和极值；
(2)若，证明：当时，.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：对，使得.
4．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
5．（2025·河北·模拟预测）已知函数．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)求在上的最大值；
(3)若存在，使得，证明：．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数．
(1)当时，求在区间上的零点个数；
(2)当，时，求证：．
7．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若，函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
6．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知函数，，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·广东广州·月考）（多选题）已知，则函数的零点的个数可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．有唯一零点
B．
C．，使得有三个不等实根
D．，使得有六个不等实根
9．（2024·江西新余·模拟预测）（多选题）关于的方程的实根个数可能为：（ ）.
A．B．C．D．
10．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
11．（23-24高三下·安徽黄山·月考）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 .
12．（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 .
13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
14．（23-24高三下·浙江·开学考试）设函数.
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：至多只有一个零点.
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
(3)求证：若，有且仅有一个零点.
16．（23-24高三下·北京延庆·期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；
(3)求的零点个数．
17．（2025·江西九江·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
18．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
19．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在，使得，求证：；
(3)当时，判断的零点个数，并作出证明．
20．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
21．（24-25高三下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数．
22．（24-25高三下·福建漳州·月考）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)当时，证明：.
23．已知函数的导数分别为．
(1)若存在直线与的图像分别在处相切，求证：．
(2)若，求的取值范围．
24．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若在区间内存在极值点，求的取值范围；
(3)证明：当时，在区间内有且仅有3个零点．
参考数据：．
25．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：时，；
(3)判断函数的零点个数.
2．（2025·陕西·二模）已知函数.
(1)若，求的极值.
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根.
（i）证明：；
（ii）求的最大值.
3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数．
(1)若，求在的值域；
(2)证明：存在唯一的极值点，且；
(3)若恒成立，证明：．
4．（24-25高三下·天津南开·月考）已知函数，.设为的导函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：有且仅有一个极值点；
(3)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
求函数的零点个数时，常用的方法有：
（1）直接根据零点存在定理判断；
（2）将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；
（3）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
1、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简:
（1）要么消除最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到最值式的估计.
1、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
2、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.