2026年高考数学一轮复重难点培优06解三角形中几个秒杀公式(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 射影定理（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 张角定理（★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 正弦平方差公式（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 正切恒等式（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 托勒密定理（★★） PAGEREF _Tc3897 \h 5
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 6
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 6
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 9
1、射影定理
，，
将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.
2、张角定理
在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有．
证明：因为，所以，于是等式两边同除以得．
3、张角定理与角平分线的长
特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，则
化简得到，即 注：张角定理在在解答题中使用之前需要推导．
4、正弦平方差公式
证明：
5、正切恒等式
当时，.
证明：，且
则
6、托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如下图 ,若四边形 ABCD 内接于圆 O ,则有 AB∙CD+AD∙BC=AC∙BD 证明: 利用余弦定理即可
∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O,
∴∠BAD+∠BCD=π
∴cs∠BAD+cs∠BCD=0
在 △ABD 中,由余弦定理得
BD2=AB2+AD2−2∙AB∙AD∙cs∠BAD（1）
在 △CBD 中,由余弦定理得
BD2=CB2+CD2−2∙CB∙CD∙cs∠BCD（2）
∴（1）×CB∙CD+（2）×AB∙AD 得
BD2=AB∙ADCB2+CD2+CB∙CDAB2+AD2AB∙AD+CB∙CD
由于AB∙ADCB2+CD2+CB∙CDAB2+AD2=ABCB+ADCDCBAD+CDAB
所以BD2=ABCB+ADCDCBAD+CDABAB∙AD+CB∙CD
同理AC2=ABAD+CBCDCBAD+CDABABCB+ADCD
∴AC2BD2=CBAD+CDAB2
即 AB∙CD+AD∙BC=AC∙BD
广义托勒密定理: 在四边形 ABCD 内,有 AB∙CD+AD∙BC≥AC∙BD , 并且仅当四边形 ABCD 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。


题型一 射影定理
1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（ ）
A．30°B．90°C．45°D．60°
3．（24-25高三下·广东东莞·月考）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 .

题型二 张角定理
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD长度为_____________.
2．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____________.
3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．

题型三 正弦平方差公式
1．设分别为的内角的对边，已知，且，则的大小为_____________.
2．在中，角的对边分别为，已知，则的大小为_____________.
3．在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______.

题型四 正切恒等式
1．在中，若，则=（ ）
A. B. C. D.
2．在中，若，则=_______.
3．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
4．在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，
则的最小值是（ ）
A.4 B. C. D.8

题型五 托勒密定理
1．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．16C．D．12
2．平面四边形 ABCD 中, BC=CD=2,ABBD=34,∠ABD=90∘ ,则 AC 的最大值为______.

3．如图 ,在平面四边形 ABCD 中, AB=1,BC=3,AC⊥CD,CD= 3AC ,当∠ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为______.
4．已知平面四边形 ABCD 是由△ABC与等腰直角△ACD拼接而成,其中∠ACD=π2,AC=CD,AB=35BC=1 ,则当点B到点D的距离最大时,角B的大小______.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90B．60C．45D．30
3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．
4．（多选题）已知为锐角三角形，且，
则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
5．函数的最大值为______________.
6．在中，角的对边分别为，若的大小成等比数列，且，则角B的弧度数等于 .
7．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 .
8．已知AD是的角平分线，，，，则 .
9．若，则的范围为 .
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ．
11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
12．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.
（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.
13．如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM， ，则cs∠BCM的值为多少？
14．如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问：
(1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求；
(3)求面积的最大值．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．在中，若，求的取值范围.
2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；
(3)已知，且，，求的最大值
3．古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．