2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优01直线和圆中常见的最值范围问题(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第八章平面解析几何重难点培优01直线和圆中常见的最值范围问题(复习讲义)(学生版+解析)，共46页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 斜率的几何意义应用（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 两点间的距离公式几何意义应用（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 点到线的距离（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 两平行线间的距离（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 将军饮马问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 点与圆的位置关系（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc11957" 题型七 直线与圆的位置关系（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 7
\l "_Tc17557" 题型八 圆与圆的位置关系（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 8
\l "_Tc28054" 题型九 圆的参数方程（★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 12
一、常用距离公式
1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：．
2、点到直线的距离公式：点到直线的距离．
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：．
二、三点共线最值问题
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.
2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).
3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.
三、点与圆的位置关系最值（范围）问题
1、若点M在圆内，则MNmin=MN1=r−OM，MNmax=MN2=r+OM；
2、若点M在圆外，则MNmin=MN1=OM−r，MNmax=MN2=r+OM；
3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PEmin=P1F=d−r，PEmax=P2F=d+r.
四、代数式的几何意义最值（范围）问题
1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率；
2、形如，可以转化为点和点的距离的平方；
3、形如，可以转化为动直线纵截距
五：直线与圆的位置关系最值（范围）问题
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为
六、：圆的参数方程（供了解）
圆的标准方程x−a2+y−b2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：x=rcsθ+ay=rsinθ+b (θ是参数).


题型一 斜率的几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
1．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ．
2．（2025高三下·天津·专题练习）已知实数满足，则点的轨迹为 ，的取值范围为
3．（24-25高三下·河北沧州·月考）在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ．
4．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 .

题型二 两点间的距离公式几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
1．函数的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的最大值为 .
4．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 .

题型三 点到线的距离
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
2．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．
3．若函数与的图像有交点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知点 在直线 上，过点 的两条直线与圆 分别相切于 两点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知为圆上一动点，则的最大值为 ．
6．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 .
7．在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是 .

题型四 两平行线间的距离
【技巧通法·提分快招】
1．直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（ ）
A．0B．1C．D．
2．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．两平行直线、分别过点，，它们分别绕旋转，，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是

题型五 将军饮马问题
【技巧通法·提分快招】
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ．
4．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 .
5．已知圆，直线，为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为 .
6．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 .
7．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．

题型六 点与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
1．已知圆上一点，则的最大值为 .
2．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ．
3．已知实数满足关系：，则的最小值 ．
4．已知满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

题型七 直线与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．直线被圆截得的最短的弦长为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
7．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 .

题型八 圆与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·江西宜春·月考）已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 .
3．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 .
4．（2024·河北保定·二模）已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为 .
5．（24-25高三下·上海·月考）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ．

题型九 圆的参数方程
【技巧通法·提分快招】
1．已知实数，满足，则的最大值是 ．
2．已知实数满足．则的最大值是 ．
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .
4．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A．25B．24C．23D．22

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）．
A．3B．5C．D．
2．若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆，点在圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．8D．3
5．已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆与圆相切，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．
7．（25-26高三上·山西长治·月考）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
8．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
11．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 .
13．已知在直线上，则的最小值为 ．
14．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 .
15．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ．
16．已知点，动点P在直线上，则的最小值为 .
17．已知满足，则的取值范围是 .
18．已知函数，则的最小值为 ．
19．，，函数的最小值为 .
20．（24-25高三上·江西宜春·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
21．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
22．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ．
23．设．
(1)求曲线在点的切线方程．
(2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值.
24．若，求下列各式的取值范围
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知曲线E:+=1，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
4．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最大值是
5．在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ．
6．为等边内一动点，且，则的最小值为 ．
7．已知实数满足，则的最大值为 ．
8．已知，，则的最小值为 .
9．已知，，则的最小值为 .
斜率的几何意义的应用
斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中.
点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：．
点到直线的距离公式：点到直线的距离．
直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：．
对称问题的解决方法
（1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y).
（2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，
则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0.
（3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.
（4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0．
1、设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种
（1）
几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2r2-d2.
2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数.
（1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-1k，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
（2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0.
判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d