2026年高考数学一轮复重难点培优14导数中的新定义问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优14导数中的新定义问题(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共3页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 曲率问题（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 牛顿法（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 凹凸函数（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 拐点、不动点、稳定点（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 二元函数（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 9
\l "_Tc326" 题型六 切线相关新定义问题（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 10
\l "_Tc11957" 题型七 其他导数新概念定义（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 12
\l "_Tc17557" 题型八 其他导数新运算定义（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 13
\l "_Tc28054" 题型九 其他导数新性质定义（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 14
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 15
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 15
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 22
一、新定义问题的解题思路
1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。
2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。
3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。
二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步
1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
三、导数新定义问题的方法和技巧
1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.


题型一 曲率问题
1．（24-25高三下·广东东莞·月考）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 .
2．（23-24高三下·河南·月考）（多选题）定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数在处的曲率半径为1
C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2
D．若曲线在处的弯曲程度相同，则
3．（24-25高三上·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)若函数，求曲线在点处的曲率.
(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.

题型二 牛顿法
1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（ ）

A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为
C．
D．
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
(1)根据牛顿迭代法，求；
(2)求与的关系式；
(3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．
3．（24-25高三上·安徽六安·月考）从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.

(1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)；
(2)如图，设函数；
(i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?
(ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和.

题型三 凹凸函数
1．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.

关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
2．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数的凹凸性；
(2)在锐角中，求的最小值；
(3)若个正数满足，证明:.

题型四 拐点、不动点、稳定点
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点D．在区间上单调递减
2．（24-25高三上·山东烟台·期中）（多选题）设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
3．（24-25高三上·湖南娄底·期末）（多选题）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，求函数的不动点的个数．
5．（23-24高三下·陕西西安·月考）“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
已知曲线C：.
(1)求C的拐点坐标；
(2)证明：C关于其拐点对称；
(3)设为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
6．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
(1)若既有极大值又有极小值，求m的取值范围；
(2)当时，①求的对称中心；
②计算的值.
7．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
8．（23-24高三下·重庆·月考）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点．
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数．

题型五 二元函数
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
3．（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件．
(1)求的值；
(2)当时，比较和0的大小；
(3)若为的极大值点，求的取值范围．
附：参考公式：



题型六 切线相关新定义问题
1．已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
2．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由;
(3)当时，求证：函数为“函数”.
3．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
(1)当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”.
(1)若，求其“上切线”的方程；
(2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围；
(3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”.
5．（24-25高三上·江苏苏州·月考）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
(1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
(2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
(3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.

题型七 其他导数新概念定义
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
2．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
3．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线.
(1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程；
(2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线.
4．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”．
(1)判断是否为的“－函数”，并证明；
(2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）；
(3)若，，，，证明：是的“－函数”．

题型八 其他导数新运算定义
1．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
2．（2025·河北·模拟预测）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
(1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
(3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
3．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数）
(1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值.

题型九 其他导数新性质定义
1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.
2．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①；②；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①；②；③；
(3)且，，恒成立.
①直接写出解析式；
②求的取值范围.
3．阅读下列材料：
定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i）且；
（ii）对于任意的，有；
（iii）．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差．
(3)若函数，证明：．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A．B．
C．D．
2．定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
3．（23-24高三上·江西·月考）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）（多选题）琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，有
B．若，有
C．若，则
D．若，则
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）（多选题）假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A．直线与曲线双切
B．直线与曲线单切
C．直线与曲线交切
D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切
6．（24-25高三上·辽宁·期中）（多选题）设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ）
A．若有极值点，则
B．若当时，有极值，则对应的拐点为或
C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为
D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则
7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ）
A．函数在无数个点处的曲率为1
B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同
C．函数的曲率恒为1
D．若函数在与处的曲率半径相同，则
8．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
9．（24-25高三下·江苏·月考）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.
(1)求曲线在处的曲率；
(2)已知正弦曲线，
①求的曲率的平方的最大值；
②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔().简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.
11．（24-25高三上·湖北·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数，的凹凸性；
(2)在中，求证：；
(3)若个正实数满足，求证：.
12．已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
（3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
13．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，函数只有两个零点；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求.
14．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
15．（24-25高三上·福建漳州·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
16．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
17．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
18．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）在数学中， 布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础， 得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔． 具体来说就是： 对于满足定义域为 的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点． 已知 且，函数 ．
(1)若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点；
(2)设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围．
19．（24-25高三上·河南·月考）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)证明：对任意，，不等式恒成立；
(2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称：
(3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：.
20．（2025·四川南充·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令.
(1)当时，求的近似解，；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和；
(3)当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：.
21．（24-25高三上·广西·月考）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，.
(1)试探究集合和的关系，并证明你的结论.
(2)函数.
①若的“不动点”有两个，求的取值范围；
②若（），讨论集合的子集的个数.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
2．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”．
(1)若为“函数”，求实数的取值范围；
(2)已知函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：为“函数”．
3．（24-25高三上·山东泰安·月考）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
4．（24-25高三上·河南·期中）已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数.
(1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由；
(2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，为“切线上界”函数.
5．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”．
(1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
(3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
6．（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newtn＇smethd）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）