2026年高考数学一轮复重难点培优07概率解答题题型全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优07概率解答题题型全归纳(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共3页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 二项分布与超几何分布（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 正态分布（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 11
\l "_Tc26803" 题型三 条件概率与全概率公式（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 16
\l "_Tc13512" 题型四 概率中的比赛问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 22
\l "_Tc3897" 题型五 概率与其他知识交汇（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 28
\l "_Tc326" 题型六 概率中的决策问题（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 36
\l "_Tc11957" 题型七 马尔科夫链（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 44
\l "_Tc17557" 题型八 概率中的新定义问题（★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 51
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 60
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 60
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 80
一、离散型随机变量分布列均值，方差
（1）
（2）
二、均值和方差的性质
①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
②若与相互独立，则.
③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
三、二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：①由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
②本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
四、超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
五、正态曲线
1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2.正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲 乙
六、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．


题型一 二项分布与超几何分布
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·云南玉溪·期中）玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．
(1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；
(2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解；
（2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望．
【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为，
，
．
（2）乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率，
，
的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为：
的期望．
2．（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望；
(3)
【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；
（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.
（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.
【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布，
所以，，，
故.
3．（2025·甘肃白银·二模）从全校学生中随机选取100人，统计了他们在寒假期间，一周参加体育锻炼的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如图，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．
(1)求a的值，并估计全校学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间位于区间的概率；
(2)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间有关联？
(3)以频率作为概率，从全校学生中随机选取3人，记X表示这3人寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区间的人数，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】(1)；；
(2)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，认为性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间无关联；
(3)分布列见解析，.
【分析】（1）由频率之和为1列式即可计算求解a，再由区间的频率即可得解；
（2）先分别求出位于区间和的人数即可填写列联表，接着零假设并计算卡方值即可根据小概率值的独立性检验得解；
（3）先求出寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区间的概率，进而得，再根据二项分布概率公式和数学期望公式即可计算求解分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意可得，
所以估计全校学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间位于区间的概率为.
（2）位于区间的概率为，故该区间范围的学生有，
位于区间的概率为，故该区间范围的学生有，
故列联表如下：
零假设性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间无关联，
则由表格数据可得，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，即我们推断成立，
所以认为性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间无关联.
（3）由题寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区间的概率为，
则，且，
所以，，
所以的分布列为：
所以.
4．作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为．
(1)若，求的概率；
(2)当为何值时，的概率最大？
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可；
（2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可.
【详解】（1）记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件，
则
，
即的概率为．
（2）由题可知，
设，
则．
令，
得，
解得．
故当时，，
当时，，
又，故当时，取得最大值．
所以当时，的概率最大．
5．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
假设用频率估计概率
(1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
(2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
(3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算；
（2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算；
（3）利用二项分布的概率最值计算.
【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为.
（2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，
则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为，
壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为，
则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为.
（3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则，
则，
假设投中壶2的次数为时最大，则
，即，
解得，因，则，
故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大.

题型二 正态分布
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大
【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率；
（2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润.
【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，.
：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得.
：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得.
：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得.
所以的分布列为：
（2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，.
；
；
.
每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，.
；
；
.
则乙机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.
2．（2025·山西·模拟预测）某款产品的尺寸误差（单位：）服从正态分布，若一件产品的尺寸误差的绝对值不小于，则认为该件产品不合格.
(1)任取一件产品，求这件产品不合格的概率；
(2)在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用泊松分布代替二项分布进行近似计算.设随机变量服从二项分布，若，且，则，，其中.现对某一批产品抽取40件进行检测，若不合格产品超过3件，则认为这批产品不合格.估算这批产品不合格的概率（精确到0.01）.
附：若，则；.
【答案】(1)0.05；
(2)0.14.（注：和均为正确答案）
【分析】（1）根据给定条件，求出合格品概率，再利用对立事件的概率公式计算得解.
（2）由（1）可得，求出，再利用公式结合互斥事件、对立事件的概率公式求解.
【详解】（1）当，时，，则，
所以任意一件产品是不合格的概率为0.05.
（2）记为不合格产品的数量，则，且，
又，且，则，，
其中，
因此
，
所以这批产品不合格的概率为0.14.
（注：最终结果为和均为正确答案）
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，样本中位数为
(2)8186
(3)分布列见解析，
【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可；
（3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
所以.

题型三 条件概率与全概率公式
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·广东·月考）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得；
（2）借助全概率公式与贝叶斯公式计算即可得.
【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，
则，，
故；
（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则，，，，
则，
故．
2．（25-26高三上·福建泉州·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额.
【答案】(1)
(2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额.
【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；
（2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案.
【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，根据题意得，
，，，
，，，
由全概率公式得
；
（2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，
；
，
，
故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额.
3．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求：
(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;
(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;
(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可；
（2）根据全概率公式可得，代入计算即可；
（3）根据条件概率公式，结合计算即可.
【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ，
由题意可知：，，
可得，
所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为.
（2）由题意可得：
，
所以这袋垃圾存在违规混投的概率为.
（3）由题意可得：，
所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为
4．（24-25高三下·福建厦门·月考）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．
(1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求；
(2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）用表示第次摸出红球，再根据古典概型的概率公式求，用条件概率的概率公式求；
（2）利用条件概率的概率公式化简即可.
【详解】（1）用表示第次摸出红球，
由已知得，
，
．
所以．
（2）由（1）可得，即，
猜想：．
证明：由条件概率及，
得，
所以．
5．（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
【答案】(1)
(2)
(3)，，选择方案二更合适
【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；
（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解；
（3）根据两种不同的方案，结合题意，写出不同的期望，比较后即可判断.
【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体，
亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数.
（2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为
故所求概率为
（3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为200，100，
则
，
，
所以.
若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为300，100.
①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
；
②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
所以，
则，
所以，
所以，
则，
所以选择方案二更合适.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率.

题型四 概率中的比赛问题
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·天津·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗，若是平局不需要给小红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜，根据以往的两人比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的小红旗个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）．
【答案】(1)分布列见解析，期望为3.1；
(2)0.48
【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望；
（2）设出事件，并计算出对应事件的概率，利用条件概率公式进行求解.
【详解】（1）X的可能取值为2,3,4，
，，，
故分布列如下：
数学期望为；
（2）设比赛一共进行五局，第一局是乙胜为事件，
比赛一共进行五局，甲最终获胜为事件，
则事件表示第一局乙胜，剩下四局均为甲胜，
其中事件包含三种情况，①第二，三，四局中，乙胜一局，平两局，第五局乙胜，
②第二，三局中，乙胜一局，甲胜一局，第四，五局乙胜，③第二，三，四，五局甲胜，
则，
其中，
故
2．甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为．
(1)求甲获得第二局比赛胜利的概率；
(2)在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率；
(3)已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见详解；
【分析】（1）根据题意分情况列举即可；
（2）结合（1），再利用条件概率公式即可求解；
（3）由题知，对局数最多5局，的取值可以为2，3，4，先分析，的情形并计算概率，再利用概率和为1，确定的概率，写出分布列并计算期望.
【详解】（1）根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为，
，设甲获得第二局比赛胜利为事件，
若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可，
所以，
甲获得第二局比赛胜利的概率.
（2）由题知，
，
所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为.
（3）由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4
时，丙分别在第2局和第4局输了比赛，
所以，
时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛，
所以，
所以，
则分布列为：
.
3．（2025·江苏南京·三模）魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
【答案】(1)分布列见解析；
(2)小王应选择“五局三胜制”
【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从而得解；
（2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解.
【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
4．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．
(1)求队全胜夺冠的概率；
(2)设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见详解；
【分析】（1）由题意可知队参加的三轮比赛并全部获胜，进而即可求出队全胜夺冠的概率；
（2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，计算出每种取值的概率，进而即可得到的分布列，并可求出其数学期望．
【详解】（1）由队全胜夺冠，即队在所有参加的比赛中均获胜，
所以队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，
所以队全胜夺冠的概率为．
（2）依题意可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，
若，即队在第一轮，第二轮均失败，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮获胜，其概率为；
②队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮失败，其概率为；
③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮失败，其概率为，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有三种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为；
②队在第一轮获胜，第二轮获胜，第四轮失败，加赛一场，其概率为；
③队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮失败，其概率为，
所以，
若，队在整个赛事中参赛场次有两种情况：
①队在第一轮获胜，第二轮失败，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为；
②队在第一轮失败，第二轮获胜，第三轮获胜，第四轮获胜，加赛一场，其概率为，
所以，
所以的分布列为：
故的数学期望为．
5．若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求，；
(2)求；
(3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；数学期望为
【分析】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，即可计算，由是不能事件，即得；
（2）先计算，根据条件概率公式即可计算；
（3）利用条件概率分别计算，，，即可得的分布列，最后根据数学期望的公式计算即可.
【详解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以，
因为是不可能事件，
所以；
（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
所以；
（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
又的可能取值为，
所以，
，
，
所以，
，
，
所以的分布列为
所以

题型五 概率与其他知识交汇
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·山西·期末）随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；
(2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设，可得，结合参考数据及公式求，由此可得结论；
（2）由条件确定的可能取值，判断服从二项分布，再求其取各值的概率，由此可得分布列，再利用二项分布期望公式求期望.
【详解】（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，
因为，，，
所以.
把代入，得，
可得，.
所以，
即关于的回归方程为.
（2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且，
，，
，，
，
所以的分布列为
.
2．（2025·安徽六安·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
【答案】(1)分布列见解析，;
(2)；
【分析】（1）根据题意分析可能的取值，求出相应的概率写出分布列，再利用公式求出期望值；
（2）根据题意得出的表达式，利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）可能取值为2，3，4，
， ，.
的分布列为
数学期望.
（2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
所以，
则，
则有，
两式相减，得，
所以.
3．（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，）
记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.
(1)当时，求的值；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得；
（2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，方程无解，即不存在值，使得.
【详解】（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
即方程（*）无解，故不存在值，使得.
4．诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立.
（ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率；
（ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列见解析，数学期望为；
(2).
【分析】（1）（ⅰ）明确甲至多回答了4道题的可能情况即可计算求解；
（ⅱ）求出随机变量取值和各取值相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求数学期望值；
（2）先求出第3道题答对的概率，接着求出答对2道题目胜出的概率，再利用导数工具即可求的最小值.
【详解】（1）（ⅰ）甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道，
所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为；
（ⅱ）由题可得，
，，
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为.
（2）由题可得第3道题答对的概率为，
所以学生甲答对2道题目胜出的概率为，
所以，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
5．（25-26高三上·江苏·期中）某生物检测中心在化验某种动物血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次．
②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验．若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次．
(1)现有份血液样本，其中有份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用份为一组的混合化验法进行化验，记这份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列和均值；
(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为．当时，求的最大值．（参考数据：)
【答案】(1)．
(2)分布列见解析，
(3)8
【分析】（1）确定基本事件空间及符合条件的事件数，利用古典概型求解其概率；
（2）确定随机变量的可能取值，利用独立性计算对应概率，列出分布列并求均值；
（3）分别求出两种化验法的期望，建立不等式并化简，构造函数并利用导数判断其单调性，根据可求得k的最大值.
【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，
则
∴故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.
（2）每组化验的次数可能是或．
记事件“每组化验次数为”，则事件“每组化验次数为”，
∴，，
易知，
，
，
，
∴的分布列为
．
（3），
∵，∴，
∴，
∴，
当时，，即，
两边取以为底的对数，得到，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，∴的最大值为．

题型六 概率中的决策问题
【技巧通法·提分快招】
1．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
【答案】(1)
(2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析
【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果；
（2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可.
【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
所求概率.
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
2．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
【答案】(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
3．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和． 单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意先计算出，，，再由独立重复试验的概率公式求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）记水电站年总利润为，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，从而得到应安装几台发电机.
【详解】（1）依题意可得，，，，
记在未来年中，至多有年入流量超过为事件，
所以．
（2）记水电站年总利润为(单位：万元)，
①安装台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，
对应的年利润，且．
②安装2台发电机．
当时，一台发电机运行，此时，
因此，
当时，两台发电机运行，此时，
因此．
由此可得的分布列如下：
所以．
③安装3台发电机．
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
此时，
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此可得的分布列如下：
所以．
因为，
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机台．
4．（2024·甘肃张掖·三模）为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分．已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立．
(1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求的分布列，利用公式求得数学期望；
（2）先求选取方法2参加比赛，则小王同学得分的数学期望，再进行比较.
【详解】（1）的可能取值为4，7，10，
，
，
所以分别列为：
所以；
（2）如果选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为，
，
，
，
所以，
当时，即，即时，选择方法1，
当时，即，即时，选择方法2，
当时，即，即时，选择两种方法都一样.
5．某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案．
(1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求；
(2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；
(3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可；
（2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案；
（3）对消费金额进行合理分段讨论即可.
【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖，
则抽到14元代金券的概率为，解得或.
（2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则，
得．
因为，
所以．
.
当时，取得最大值，所以．
（3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一．
由（2）可得，当时，．
设消费金额为，
方案一的代金券的数学期望为．
②当消费金额（单位：元）在或或或或内时，
，选择方案二．
③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以．
④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一．
综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一；
当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二；
当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以．
6．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
【答案】(1)
(2)该同学没有希望进入决赛
【分析】（1）由题意分析出超过8分的题型，求出对应的概率，相加即可求解；
（2）设强化训练后法律文书题超过8分的概率为，案例分析题的为，则，求得强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为，结合二次函数的性质求得，令，利用换元法可得，由二次函数的性质和二项分布的数学期望计算公式可得，即可下结论.
【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，，
故所求的概率；
（2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
，
，且，，即，，
则，，
故可得：，，
，
，
令，则在上单调递减，
．
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数，
，
故该同学没有希望进入决赛．

题型七 马尔科夫链
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河南南阳·模拟预测）某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立．
(1)记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望；
(2)记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析；数学期望为.
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望.
（2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证.
【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为，
李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，
当时，两道生活类题目都答错，；
当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对，
即；
当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，，
所以随机变量的分布列为：
所以.
（2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为，
若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为，
所以，
则，而，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以，
的通项公式是.
2．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中.
(1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式；
(3)求证：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望；
（2）首先题意，可得关于数列的递推公式，再通过构造求数列的通项公式；
（3）首先根据（2）的结果，利用数列分组求和即可
【详解】（1）由题意知，.
，
，
；
，
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望为
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，
故有，
变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以
所以数列的通项公式；
（3）由（2）可得；
所以
3．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始.
(1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据排队系统设定分析的情况，然后计算概率求期望即可；
（2）根据排队系统设定得到，，然后构造数列为等比数列，最后利用等比数列的通项公式计算.
【详解】（1）根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3，
则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲，
即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即，
所以X的分布列如下表
.
（2）设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，，
由题意得 ， ①
， ②
由②得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，则代入①中，
得，故第n轮为甲练习的概率为.
4．（25-26高三上·四川宜宾·月考）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立．
(1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若甲同学答对每道题的概率均为因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为
①求证：是等比数列；
②求的最大值．
【答案】(1)分布列见解析，5；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）①对，求出，利用等比数列定义推理得证；②由累加求和得，再按为奇数、偶数分类并结合单调性求出的最大值.
【详解】（1）由答对概率，得答错概率，答对题数，则，的可能取值为3，4，5，6，
，，
，
所以随机变量X的分布列为：
期望.
（2）①对，得分的事件是答最后一题之前已得分且最后一题答错的事件
与答最后一题之前已得分且最后一题答对的事件和，则．
于是，而，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
②由①得，当时，，
而满足上式，因此，
当为正偶数，，数列单调递减，因此；
当为正奇数时，，数列单调递增，因此，而，
所以的最大值为.
5．（25-26高三上·云南昭通·月考）某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．
(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；
(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望；
(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为元
(3)，
【分析】（1）设出相应的事件，条件概率公式和独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）由题意，列出的所有可能的值，并依次求出对应的概率，列出分布列，计算出均值即可；
（3）经分析推得n个小时后正常的概率递推式由此式构造等比数列，求出其通项公式，再根据修复与收益标准依次计算各小时的期望收益，最后利用等比数列的求和公式计算累计期望收益即可.
【详解】（1）设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件．
由题意，，
从而2小时后机器正常的概率为
（2）依题意， 的所有可能的值为
的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元，
从而
的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元，
从而
的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，
则
于是X的分布列为
数学期望为元．
（3）初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为；
同理，n个小时后正常的概率为
即，故
从而数列是首项，公比为的等比数列，于是，
因此．
初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为；
同理，第k个小时期望收益为．
因此n个小时累计期望收益为

题型八 概率中的新定义问题
1．（24-25高三下·江苏南通·月考）为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）：
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关；
(2)证明过程见解析；；
(3)分布列见解析；
【分析】（1）求得卡方值，与临界值进行比较即可；
（2）利用条件概率的概率公式、对立事件的概率公式、以及全概率公式进行化简，再利用表中数据求出，即可；
（3）先求出频率，则服从二项分布，按照二项分布列出其分布列，并求其期望即可.
【详解】（1）提出零假设该药物与预防该疾病无关，
根据表格得出，，
由此推断不成立，
则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关.
（2）由条件可得，
由表中数据可知，，，则.
（3）样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只，
则使用药物且没发病的频率为，
将频率视作概率，则，
则，，
，，
则的分布列为：
期望.
2．（24-25高三下·海南·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值.
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
①设，证明：；
②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率.
附：若随机变量服从正态分布，则.
【答案】(1)0.8186
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意，利用正态分布曲线的性质，求得，结合则，即可求解；
（2）①根据题意，分别求得和，即可得到答案；
②由①得，得到元件正常工作的概率均为，结合独立事件的概率乘法和对立事件的概率计算方法，即可求解.
【详解】（1）解：由电源电压服从正态分布，且的累积分布函数为，
可得，
则.
（2）解：①由题意，可得
，
，
所以.
②由①得，
所以接下来1小时内元件正常工作的概率均为，
为使接下来1小时内系统仍正常工作，元件必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为.
3．若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求，；
(2)求；
(3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；数学期望为
【分析】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，即可计算，由是不能事件，即得；
（2）先计算，根据条件概率公式即可计算；
（3）利用条件概率分别计算，，，即可得的分布列，最后根据数学期望的公式计算即可.
【详解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以，
因为是不可能事件，
所以；
（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
所以；
（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
又的可能取值为，
所以，
，
，
所以，
，
，
所以的分布列为
所以
4．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球.
(1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：；
(3)结合实例，解释协方差的实际含义.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求出总的基本事件数和满足题意的基本事件数，利用古典概型的概率计算公式进行求解即可，
（2）求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，利用数学期望公式及其性质求出的数学期望，求出的分布列，即可得证，或者求解的分布列，进而得数学期望，根据期望的性质化简计算即可求解，
（3）根据的正负，即可结合（2）求解.
【详解】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球的所有情况有（种），
1号球在2号盒子中时，有种情况，1号球在3或4号盒子中时，有种情况
1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种），记“1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件，
则.
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，4，且，
，，
，，
故的分布列为
所以，.
解法一：因为，
所以，
令，则的分布列为
则.
解法二：
因为，所以时，，时，，
则，
时，，则，
时，，则，
故.
.
（3）令，
可知当时，和同时大于或同时小于各自的数学期望；
当时，和相对于各自数学期望的大小情况相反.
因此，刻画了和之间的变化趋势：
如果，表示和的变化趋势相同；
如果，表示和的变化趋势相反.
在第（2）问中，表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合.
【点睛】关键点点睛：求解本题第（1）问的关键是分析1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含哪些情况；求解本题第（2）问的关键是借助的关系，求或对协方差公式进行等价转化；求解本题第（3）问的关键是理解协方差的概念，分析出协方差刻画的问题本质.
5．（23-24高三下·福建莆田·月考）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)，含义见解析
【分析】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡，计算可得，方法一：的取值集合为，求得，计算可求；
方法二：如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求；
（2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论；
（3）由（2）可知，可求得，进而可得.
【详解】（1）事件发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．
所以．
方法1．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，
则的取值为，所以的取值集合为，
所以，
方法2．在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则，，
所以，．
（2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，
有k个个体分裂，则的取值为．
在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则且．
因此．
设的取值集合为，则由全期望公式可知
．
这表明是常数列，所以．
（3）由（2）可知
．
这表明是公差为10的等差数列．
又因为，所以，
从而．
可以看出，随着n的增大而增大，而为定值．
这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．
【点睛】关键点点睛：理解期望与方差的计算公式，以及题意是解题的关键，以及二项分布的应用，属难题.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.

(1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，.
(2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，元
【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出的值，根据正态分布可得出的值，利用原则可求出的值；
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，求出的值，由此可得出所准备的话费充值卡的总金额为元.
【详解】（1）依题意，，
所以，则，所以，，
故
.
（2）参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为
的所有可能取值分别为、、、，
，，
，，
所以的概率分布列如表所示：
所以，
所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元.
2．（2025·河北·模拟预测）已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束．
(1)求比赛四局结束的概率；
(2)在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分甲获胜和乙获胜两种情况求解即可；
（2）由题意可得的可能取值为，并求出相应的概率，进而求解其分布列及数学期望．
【详解】（1）当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场，
则甲获胜的概率为；
当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场，
则乙获胜的概率为，
故比赛四局结束的概率为.
（2）由题意，的可能取值为，
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜，
则；
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜，
则；
当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局，
则；
所以的分布列为
故．
3．（2025·湖北·模拟预测）2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为.
(1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求；
(2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望.
【答案】(1).
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得、，然后利用条件概率公式求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式和期望公式可得；
【详解】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件
，
由题意各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥，
，
.
（2）由题意，，
设第轮两队比分为为事件
各局比赛互不影响，，
由题意，时，时，事件“”，
各轮比赛互不影响，，
所以的分布列为：
.
4．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若，比赛采用3局2胜制．
①求甲获胜的概率；
②设表示比赛结束时需要完成的局数，求的分布列和期望．
(2)若，比赛采用5局3胜制，比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的选手积3分，负者积0分．以取胜的选手积2分，负者积1分．如果甲、乙两位选手约定比赛两场，求甲、乙积分相等的概率．
【答案】(1)①甲胜的概率为；②分布列见解析；期望为
(2)甲、乙积分相等的概率为
【分析】（1）①甲获胜有两种情况，连胜两局或前两局中胜一局，最后一局甲胜，利用独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式计算即可；②由题意可得的取值为2，3；求得对应概率可得分布列，利用期望公式计算即可；
（2）两人各以3:0或3:1赢一局或两人以3:2各赢一局积分相同，计算即可.
【详解】（1）①由已知可得每局比赛甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为．
甲获胜有两种情况，连胜两局或前两局中胜一局，最后一局甲胜，
概率为；
②由题意可得的取值为2，3；
则，，
所以的分布列为：
；
（2）若，则每局比赛甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为．
可得甲以3:0或3:1取胜一局的概率为，
乙以3:0或3:1取胜一局的概率为，
两人各以3:0或3:1赢一局的概率为，
甲以3:2取胜一局的概率为，
乙以3:2取胜一局的概率为，
两人以3:2各赢一局的概率为，
故甲、乙积分相等的概率为．
5．在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.
(1)第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率.
(2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅰⅰ）
(2)
【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算.
（ii）运用贝叶斯公式进行计算.
（2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率.
【详解】（1）（i）已知，则.
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率.
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
.
（ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式.
由前面计算可知，，，代入可得：
.
（2）设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）.
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为.
则；
；
.
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、题，答错第题，其概率为.
答对第、、题，其概率为.
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
.
6．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表：
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望；
(3)小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？
参考公式：.
附：
【答案】(1)列联表见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）根据已知完善列联表，求出卡方值，结合独立检验的基本思想得结论；
（2）由分层抽样确定区间人数，再应用超几何概率的求法求对应概率，写出分布列，进而求期望；
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件，根据已知确定对应概率，应用全概率公式、贝叶斯公式求目标概率.
【详解】（1）提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在与内的人数分别为1、2，
依题意，的所有可能取值分别为0、1、2，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件，
则，，
.
.
7．（2025·山东·模拟预测）甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门 若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分 若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分 第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜．
(1)求两局比赛后甲得分的分布列和均值
(2)求甲获得该场比赛胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，再用分步乘法计数原理求出每种情况的概率，写出分布列并计算期望即可；
（2）设甲获得比赛胜利为事件，根据条件概率及全概率公式可求.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，
设甲先进攻为事件，则乙先进攻为事件，
且，
所以
，
，
．
所以的分布列为
故的均值为．
（2）设甲获得比赛胜利为事件，
则．
由（1）知，，
由全概率公式，
得，
解得．
8．（2024·北京昌平·二模）某行业举行专业能力测试，该测试由三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当项测试成绩合格，且两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当项测试成绩不合格，且两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：
用频率估计概率．
(1)试估计甲参加该专业能力项测试成绩合格的概率；
(2)设表示甲获得的认定分，求的分布列和数学期望；
(3)若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)乙获得的认定分大
【分析】（1）由频率估计概率计算可得；
（2）分别算出机变量的所有可能取值为时的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；
（3）分别算出机变量的所有可能取值为时的概率，再由期望公式求出期望与甲对比即可
【详解】（1）因为甲参加专业能力项测试成绩合格的频率为，
由频率估计概率，估计甲参加专业能力项测试成绩合格的概率为.
（2）设甲参加专业能力三项测试成绩合格分别为事件，
由频率估计概率，可得，
根据题意，随机变量的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（3）乙获得的认定分大.
理由如下：
设乙参加专业能力三项测试成绩合格分别为事件，由频率估计概率，
可得，
设表示乙获得的认定分，随机变量的所有可能取值为，
；
；
；
，
所以，
所以，所以乙获得的认定分大.
9．已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8.
(1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率；
(2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”，根据题意，求得，，结合全概率公式，即可求解；
（2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”，
方法一，根据题意，求得，，进而得到结合条件概率的计算公式，即可求解；
方法二 ，根据题意，求得，，利用贝叶斯公式，得到和，再利用全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”,
根据题意，可得，，
，
故，
，
由全概率公式，得，
所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14.
（2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”，
方法一 由已知，得，，
故，
，
所以，
所以.
所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为.
方法二 由已知，得，，
由贝叶斯公式，得，
同理，，
故，
所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为.
10．（2025·山西·三模）甲工厂有，两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50件零件统计零件尺寸的误差（单位：）如下表：
(1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差服从正态分布．以此次抽取样本的平均数和标准差分别作为，的估计值，规定为一等品，其余为二等品．
（i）若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数；
（ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设第次检测停止的概率为，是否存在最大值？若存在，求取得最大值时的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
参考数据：，．
【答案】(1)平均数为0，标准差为1.79．
(2)（i）680件；（ii）答案见解析
【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差.
（2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于（ii），首先列出的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得的值.
【详解】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为，方差为，则
，
，
所以．
所以这50件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79．
（2）（i）由（1）得零件尺寸的误差服从正态分布，
则，
零件是一等品的概率估计为0.68，，
所以估计其中一等品的件数约为680件．
（ii）第次检测停止，即前次抽到3件二等品，第次抽到第4件二等品，
则当时，．
当时，由， 解得．
所以当时，单调递增；当时，单调递减．
综上，存在最大值.当时，取得最大值．
11．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第次闭合后出现红灯的概率为，求：
(1)求；
(2)求，（，）。
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分析开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率，然后再分别计算在第一次出现红灯和绿灯的情况下第二次出现红灯的概率，最后根据全概率计算公式进行求解即可.
（2）先根据已知条件列出之间的递推关系式，然后构造整理出等比数列，进而可求出结果.
【详解】（1）第二次闭合后出现红灯的概率的大小决定于两个互斥事件，
即第一次红灯后第二次又是红灯，第一次绿灯后第二次才是红灯，于是
.
（2）研究开关第次闭合后出现红灯的概率，则要考虑第次闭合后出现红灯或绿灯的情况，
.
再利用待定系数法，令，整理比较可得.
故为等比数列，所以.
所以.
12．（25-26高三上·重庆·月考）概率论的发展起源于17世纪中叶，最初与帕斯卡提出的“赌徒分金”问题密切相关，“如何分配奖金”这一问题也成为了概率论中的经典问题．现有一俱乐部组织了一场大型的羽毛球对抗赛活动，为了吸引更多的选手参赛，该俱乐部给予参赛选手一定的奖励，并按获胜局数的比例分配奖金，具体规则与方案如下：每场比赛设立奖金600元，最终比赛结束后，由两人按照比分进行分配，如甲乙比分为2：1，则甲乙两人分别获得400元与200元．每场比赛采用五局三胜制，每局比赛获胜者获得1分，失败者获得0分，有选手率先获得3分，则强行终止该场比赛，该选手取得该场比赛的胜利．现有甲乙两人参加对抗赛，根据以往经验，第一局两人获胜概率相同，从第二局开始，若上一局甲获胜则该局甲获胜概率为，若上一局乙获胜则该局乙获胜概率为．
(1)求只比赛三局结束比赛的概率；
(2)若甲乙两人只进行一场比赛，求甲所获奖金高于乙所获奖金的概率；
(3)为了增加比赛的趣味性，俱乐部临时调整方案，在甲乙比赛完三局之后发起线上投票决定是否终止比赛，选项为：“是”或“否”．假如你是投票者之一，在仅知甲乙比分为2：1的条件下，请你从甲所获奖金期望更大的角度做出选择．
【答案】(1)；
(2)；
(3)选“是”．
【分析】（1）由题意可分为两种情况：甲连胜三局，或乙连胜三局，利用独立事件乘法公式求解即可；
（2）由题意知，一场比赛甲所获奖金高于乙所获奖金则甲获胜，甲乙两人比分可为：或或，分别求出概率，再求和即可；
（3）分别求出选“是”和选“否”的期望，进行比较可得.
【详解】（1）由题意可分为两种情况：甲连胜三局，或乙连胜三局．
因为第一局两人获胜概率相同，
从第二局开始，若上一局甲获胜则该局甲获胜概率为，若上一局乙获胜则该局乙获胜概率为，
故概率为.
（2）由题意知，一场比赛甲所获奖金高于乙所获奖金则甲获胜，
甲乙两人比分可为：或或，记事件为第局甲胜，事件第局乙胜．
①当比分为时，即甲连胜三局，概率为；
②当比分为时，概率为
；
③当比分为时，概率为
．
所以，甲奖金高于乙奖金的概率为．
（3）记甲所获奖金为．
①选“是”：终止比赛．
此时元．
②选“否”：继续比赛，此时的可能取值为：450，360，240
记事件，事件，事件，事件．
则有事件，
，故．
则有
，
，
则．
则有，
所以的分布列为：
所以，
综上，，所以，选“是”．
13．（2024·浙江温州·三模）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
(1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）
【答案】(1)
(2)（ⅰ），；（ⅱ）
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可.
【详解】（1）依题意可得抽到的个数字互不相同的概率；
（2）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，，
且（且），
所以
，
依题意的可能取值为，，，
且（且），
所以
；
（ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为，
则，，，为期望（平均数）为，
所以，
消去得，
整理得，解得（负值已舍去），
又，，所以.
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望；
(2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。由期望公式，即可求得数学期望；
（2）结合题意可知只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是可得到，利用错位相减法求和，即可求得答案；
（3）设只游览冰雪大世界的人数为，由此可得游客得到纪念品的总个数，即可得到的表达式，结合题意列出不等式组，利用组合数的计算，即可求得答案.
【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品，
则的可能取值为，
其中，
，
，
，
所以的分布列为
.
（2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，
则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，
于是，
则，
于是，
两式相减，得
，
所以.
（3）设只游览冰雪大世界的人数为，
则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为，
因此游客得到纪念品的总个数，
此时，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，
解得，而，则，则，
所以当取最大值时，.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·河南·开学考试）某考生在做高考数学模拟题第题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有个选项正确．评分标准为：全部选对得分，部分选对得分，选到错误选项得分．设此题正确答案为个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．
(1)若，该考生随机选择个选项，求得分的分布列及数学期望；
(2)为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由．
方案—：随机选择一个选项；
方案二：随机选择二个选项．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望
(2)选择方案一，理由见解析
【分析】（1）根据全概率公式可分别求得考生得分和分的概率，由此可得分布列；由数学期望公式可求得期望值；
（2）结合全概率公式，分别求得每种方案考生得分情况对应的概率，进而求得得分的数学期望，比较两个期望值的大小即可确定应选择的方案.
【详解】（1）设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件，
则，，；
分别记考生得分,分,5分为事件，
，，
；
；
得分的分布列为：
得分的数学期望.
（2）方案一：随机选择一个选项
正确答案是“选两项”时，考生选项，选对得分，选错得分；
正确答案是“选三项”时，考生选项，选对得分，选错得分．
，，
；
；
随机选择一个选项得分的数学期望为；
方案二：随机选择两个选项；
；
；
；
随机选择两个选项得分的数学期望为；
，选择方案一.
2．（24-25高三上·广东·开学考试）在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．
(1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
(2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项，，结合互斥事件、独立事件概率计算即可求解.
（2）将测试者误判分为三种情况，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，
记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，
记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项．
所以1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为．
（2）当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：
①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人，
则；
②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人，
则；
③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人，
则，
又，所以．
3．（2025·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛.
【答案】(1)分布列见解析，2
(2)预测该同学不能进入决赛.
【分析】（1）确定X的所有可能取值，结合计数原理求得概率，即可求解；
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，由获得“巧手奖”的概率结合，构造函数，通过求导确定取得最值，再结合二项分布即可求解.
【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为：1，2，3
所以，，，
故X的分布列为
所以数学期望.
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
.
，且，，也即，故可得：，
设，
，
所以在上单调递增，
.
所以，
该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
，故预测该同学不能进入决赛.
4．已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球．
(1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率；
(2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球．
①求；
②证明：．
【答案】(1)，，；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）求出第一次摸到第1，2，3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条件概率公式依次计算即得.
（2）①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；②利用全概率公式推理即得.
【详解】（1）设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为，
第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，，
，
于是，
所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率；
第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率；
第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率.
（2）①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率，
所以.
②由定义及全概率公式知，
，
所以.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.
5．（2025·湖北恩施·模拟预测）某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
(2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
【答案】(1)1.44；0.4824
(2)分布列见解析，
(3)不合理的，理由见解析
【分析】（1）由加权平均数公式、分层抽样的方差公式即可求解；
（2）的取值为1，2，3，求出对应的概率，可得分布列，进一步得数学期望；
（3）由题意，进一步构造等比数列求得，从而估计员工选择A餐厅的概率和期望.
【详解】（1）由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
；
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
；
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，则抽取3名男员工，2名女员工.
从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为1，2，3.
可得的分布列为：
所以期望；
（3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为，
则可得：.
∴，
∴且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
∴，
∴，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为.
设400名员工选择A餐厅的人数为X，，
所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为（人），
，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的.
6．投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据情境求出离散型随机变量的取值，以及相应的概率，写出分布列，根据期望公式求解即可；
（2）根据递推公式，结合等比数列的定义证得为等比数列，再利用累加法和等比数列前n项和公式求得的通项公式．
【详解】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
因此，数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以，当时，
，
当时，上式也成立，
综上所述：.
7．（24-25高三上·江苏南通·月考）甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.
(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；
(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率.
①求，；
②证明：.
【答案】(1)甲猜测错误.
(2)①，；②证明见解析
【分析】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，由独立事件的乘法公式分别求出若甲与丙比赛，则甲获胜的概率和甲先与乙比赛，则甲获胜的概率再比较大小即可；
（2）①为1减去甲获得连续3次胜利的概率，为1减去甲获得连续3次和4次胜利的概率；②考察，分为情形一、二、三，结合独立事件的乘法公式和全概率公式计算即可；
【详解】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙的技术比丙高，
若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：
若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：
显然，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误.
（2）①，
②考察，
分为情形一：第局甲输；
情形二：第局甲赢，局甲输
情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输
由题意分为三种情形，如下：
情形一 第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
情形二 第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
情形三 第场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为.
由全概率公式得.①
因此.②
①②得，又因为，
所以当，时，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是考察时能够把情况分为三种，再结合全概率计算比较大小.
8．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.
②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.
(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.
(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可；
（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可；
（3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解.
【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，
则，
故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.
（2）每组化验的次数可能是1或6，
记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，
则，
可知，
，
，
所以的分布列为：
（3），
，
所以，
令，则，即，
当时，，两边取以为底的对数，得到，
设函数，则，
当时；当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以的最大值为.
9．已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
(1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
(2)求第3次操作取到红球的概率；
(3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件得出盒中红球的个数的可能值，分别求出概率，即可得出分布列；
（2）方法一：设出第次取到红球的事件，即可求出第3次操作取到红球的概率；方法二：根据（1）中第二次的情况，即可求出第3次操作取到红球的概率；
（3）求出当为奇数和偶数时盒中球的情况，得出递推公式，证明是等比数列，即可求出通项公式，进而得出的前n项和.
【详解】（1）由题意，
的所有可能取值为1,3，
,
故的分布列为
（2）由题意，
（方法一）设事件表示第次取到红球，
则

（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．
（3）由题意及（1）（2）得，
设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，
当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
故．
即
10．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲乙两人各有n张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n轮比赛，在每轮比赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当时，求甲的总得分小于2的概率．
(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，3，…，n，则，记轮比赛（即从第1轮到第轮比赛）中甲的总得分为，乙的总得分为，求和的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？
【答案】(1)
(2)甲得分最小值和最大值的概率都为
(3)答案见解析
【分析】（1）根据排列数公式求乙选卡片的不同顺序，然后列举出所有满足条件的选法，根据古典概型的概率公式可得；
（2）根据甲乙所持卡片数子的特征分析即可得解；
（3）利用所给公式求解可得.
【详解】（1）甲顺序为1，3，5，7，乙选卡片的不同顺序共有4！=24种，而使得甲得分小于2的所有顺序共有12种，
2，4，6，8 2，4，8，6； 2，6，4，8； 2，6，8，4； 2，8，6，4；
4，2，6，8； 4，6，2，8； 4，6，8，2； 4，8，6，2； 6，4，8，2；
6，4，2，8； 8，4，6，2．
由古典概型得甲的总得分小于2的概率为；
（2）甲按照固定顺序1，3，5，7，…，，乙按照2、4，6，8，…，2n，甲得分最小值为0，则概率为．
甲按照固定顺序1，3，5，7，…，，乙按照2n、2，4，6，…，，甲得分最大值为，则概率为．
（3）设随机变量，
则服从两点分布，，且，
由题意可得，
，
因为，
所以随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差不变，总是甲比乙多1分.
【点睛】关键点睛：本题第三问关键在于对所给公式的正确理解，然后直接求解即可.
11．（2025·江苏南通·模拟预测）某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
(1)求的分布列及数学期望；
(2)求的通项公式；
(3)证明：.
参考公式：若，是离散型随机变量，则.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（，2，……，）
(3)证明见解析
【分析】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4，根据独立事件概率乘法公式分别求解随机变量对应的概率即可得分布列，从而得数学期望；
（2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进；
②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可；
（3）第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，记第次得分，则的可能取值为0，2，3，分别求解概率即可计算数学期望，结合指数函数的性质证明结论即可.
【详解】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，
，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4.
，
，
，
，
所以的概率分布为
（分）.
（2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：
①第次在处投篮且投进，这种情形概率为；
②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为.
所以，
故，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
即，，2，……，.
（3）因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，
记第次得分，则的可能取值为0，2，3，
，
，
，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以.
12．某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析
(2)5
【分析】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.
（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，
所以抽取次数的期望值为，
对其求和并结合以及参考数据即可求解.
【详解】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以的分布列如下表：
（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，因此由题意抽取次数的期望值为 ，
，
两式相减得，
所以，
又由题意可得，
所以，即，
注意到当时，有，
且当时，有；
综上所述：的最大值为5.
13．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占．
(1)当时，
①求出3件产品中恰有2件A等品的概率；
②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；
(2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．
（参考数据：，）
【答案】(1)①；②分布列见解析，
(2)145
【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率；
②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件，
则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为；
②当时，A等品有4个，B等品有6个．
X服从超几何分布，，1，2，3，
，，
，，
∴X的分布列为
．
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是．
由于函数在上单调递减，在上单调递增，
而，从而，当时单调递增，
又，．
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是．
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
14．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
【答案】(1)①；②
(2)28
【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可.
（2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果.
【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为：
．
②证明：由题意，所以，所以，
因为，
所以，
即，
所以，即，所以．
（2）由已知得：
，
因为，
所以服从二项分布，，
设，
由得，即，
解得，由得，
所以的估计值为28．
15．向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案．
(1)公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率；
(2)该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由．
参考数据：若，则．．
【答案】(1)0．8186．
(2)方案二，理由见解析
【详解】（1），则，，结合正态分布的性质：和
．
即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186．
（2）设方案一的折扣为，则可以取，，，
，，，
．
设方案二的折扣为，则可以取，，
用，表示游客首次在第位置的概率，
则，，．
由题知，游客到达，位置，只有两种途径，
一种是从位置，掷到偶数，其概率为，
另一种是从位置，掷到奇数，其概率为，
，，．
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．
，，，，，
又，
，，
，，且
，．
第二次到达①位置的概率．
．
，若想要获得最大优惠，游客应选方案二．
16．（25-26高三上·青海西宁·月考）城市生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系，并求出；
（ii）设，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用全概率公式求出单个居民第二天选择路线散步的概率，然后确定4位居民中第二天选择路线散步的人数服从二项分布，最后根据二项分布的概率公式和期望公式计算分布列和期望.
（2）（i）根据前一天选择不同路线时第二天选择路线的概率，推导出与的递推关系，再构造等比数列求出的通项公式；
（ii）先化简，得其通项公式，然后使用错位相减法求出前项和，即可得证.
【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件.
根据题意，，，
则，，，
所以由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率
.
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
故的数学期望.
（2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以.
由此可得，又，
于是数列是首项为，公比为的等比数列.
因此，所以.
（ii）证明：由已知得，
所以，则，
两式相减，得，
所以，又，
所以.
17．（24-25高三下·重庆北碚·月考）一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
【答案】(1)（i）分布列见解析，期望为；（ii）；
(2).
【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解.
（2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得.
【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列为：
的数学期望为
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率为.
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.
18．（25-26高三上·云南·月考）伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题．现有共个元素及共个位置，的对应位置为，定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数，例如．另外，规定．
(1)计算：；
(2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量之间的总体偏差，定义协方差为．当时，记错排的元素个数为，正确排列的元素个数为，求证：；
(3)定义错排概率为随机将共个元素排列在，共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）确定的位置，再利用组合公式即可，可以排在上，再讨论的位置即可得到；
（2）首先分析得的所有可能取值为0，2，3，4，再写出其分布列，然后再计算，，再计算得，最后计算其期望值即可；
（3）首先分析得，记，构造得是以1为首项，为公比的等比数列，求出通项，变形得，最后累加即可证明.
【详解】（1）可以排在上，有种排法，
当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法．
所以．
可以排在上，有种排法．
不妨设排在上，接下来讨论．
当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）．
当不排在上时，可以排在上，有种情况．
若排在上，剩下两个元素只有1种排法．
所以．
（2）易知当时，的所有可能取值为0，2，3，4．
，
，
所以的分布列为：
所以，
于是，
则
，
由的分布列可得随机变量的分布列为：
于是，得证．
（3）根据定义，，
先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，
所以，所以．
不妨记，则，且，
得，
则，又，
故是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
变形得，
则当时，，
将上式累加得，
经检验也符合上式，所以，
所以，得证．
…
…
…
…
0
1
…
…
1、独立重复试验与二项分布
（1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
（2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
（3）列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
（4）求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2、超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
3、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
X
0
1
2
3
P
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
0
1
2
锻炼时间
合计
男生
30
女生
25
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
锻炼时间
合计
男生
30
30
60
女生
25
15
40
合计
55
45
100
P
0
1
2
3
X
壶1
壶2
壶3
投中
未投中
投中
未投中
投中
未投中
高三年级
40
160
90
60
60
90
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
= 1 \* GB3 ①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
= 2 \* GB3 ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
= 3 \* GB3 ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④图像与轴之间的面积为1.
（2）=，=，记作 .
当时，服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
0.72
0.26
0.02
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
0
1000
2000
3000
4000
1、条件概率：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、全概率公式：；
3、贝叶斯公式：一般地，当且时，有
1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算
2、 比赛模式，要考虑以下可能情况：
（1）比赛几局？
（2）“谁赢了”；
（3）有没有平局
（4）赢了的必赢最后一局；
（5）比赛为啥结束？
2
3
4
0.4
0.1
0.5
2
3
4
2
3
4
5
概率统计常与排列组合、函数、数列等知识交汇考查。求解此类问题要充分理解题意，根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化。这类问题的命题方向总的来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题，求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解；
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为某一变量的该函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系，再通过构造特殊数列求通项或求和。
年份代码
中国健身器材市场规模
0
1
2
3
4
2
3
4
0
1
2
3
X
3
4
5
P
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。
1
2
3
0
1
2
3
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
年入流量
发电量最多可运行台数
1
2
3
4200
10000
4
7
10
P
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
0
10
30
0
1
2
3
X
1
2
3
P
X
3
4
5
6
P
X
11
P
0.01
0.27
0.72
发病
没发病
合计
使用药物
10
30
40
没使用药物
25
15
40
合计
35
45
80
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
4
0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
2
3
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分
年龄
次数
每周次
75
55
32
58
每周次
20
34
40
30
每周次及以上
8
8
24
16
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
130
90
220
体育锻炼频率高
70
110
180
合计
200
200
400
0
1
2
0
1
2
测试项
频数
16
15
10
0
2
5
10
生产线
抽取件数
平均误差
标准差
30
0.2
2.1
20
1.1
450
360
240
3
4
5
6
X
1
2
3
P
1
2
3
2
3
4
7
12
1
3
1
3
0
2
3
4
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
1
2
3
4
0
2
3
4
0