2026年高考数学一轮复重难点培优06导数中的同构问题及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复重难点培优06导数中的同构问题及其应用(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共4页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 双变量地位等同同构（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 指对同构：和差型（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 9
\l "_Tc26803" 题型三 指对同构：乘积型（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 10
\l "_Tc13512" 题型四 指对同构：商型（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 10
\l "_Tc3897" 题型五 同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题）（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 12
\l "_Tc326" 题型六 同构应用Ⅱ:比较大小（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 18
\l "_Tc11957" 题型七 同构应用Ⅲ:不等式证明（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 22
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 26
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 26
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 46
1、六大超越函数图像
2、同构问题
（1）双变量地位等同同构
①
构造为增函数
②
构造为减函数
③，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可.
④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（2）指对同构（常见于指数、对数混合函数）
①积型：
注：在对“积型”同构时，同左同右取对数
②商型：
③和差型：
3、常见模型识记
（1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
且时，有；当且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
①
②
③
④
（2）其他常见结构
①；
②；
③
④；
（3）凑常数、参数、变量结构
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
④
⑤


题型一 双变量地位等同同构
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间；
（2）由题意可得函数在上为减函数，
，令，讨论
的性质可得实数的取值范围.
【详解】（1）根据题意，函数定义域为，
且，
因为，当时，为减函数；
当时，为增函数；
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为；
（2）不防设，
由，可得，
即，
即函数在上为减函数，
由，
所以在上恒成立，也就是，
令，
恒成立，
所以当时，为减函数，
的最小值为，所以，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围.
2．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：对且，都有．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性；
（2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可．
【详解】（1）
因为，定义域为，
所以．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）
不妨设，则，要证对，都有，
只需证，即需证．
构造函数，则要证，需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对且，都有．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，e为自然对数的底数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，对任意，都有，同时在上存在两个极值点m，n，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）当a = 0时，根据导函数正负分类讨论求出单调区间；
（2）构造函数，结合函数的单调性，再应用极值点个数列不等式计算求参.
【详解】（1）当a = 0时，，
时，,在R上单调递增，
时，，在单调递减，
，在单调递增.
（2）设，因为，
所以化简得，设，则，
则在单调递减，
所以在，，所以恒成立，
设，，则在单调递增，则，
因为在上存在两个极值点m，n，所以有两个根，则在上有两个根，
所以，，
设，，
则，在单调递增，则，在单调递减，所以，
所以，所以，则，
综上.
4．（23-24高三下·辽宁朝阳·月考）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性，注意分类讨论.
（2）把转化为，设，只需根据在上单调递增，求出正实数的取值范围即可.
【详解】（1）由题意：，
且.
由
若即，则，所以在上单调递减，在上单调递增；
若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减；
若即，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；
若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，函数无单调递减区间，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）由得，（，且）
设，
由题意，在单调递增.
因为，
由时，恒成立，得.
又为正实数，所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把转化为，设，然后问题转化成在上单调递增.

题型二 指对同构：和差型
【技巧通法·提分快招】
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【解析】（1）显然，则，.
（2）显然，则
，.
（3），.
（4），，.
（5），.

题型三 指对同构：乘积型
【技巧通法·提分快招】
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）显然，则，.
（2）显然，则，.
（3），.

题型四 指对同构：商型
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答.
【详解】函数，则，
因，则不等式成立必有，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
当时，，于是得，即，令，
当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，
当时，，于是得，即，此时，
函数在上单调递增，，，不等式解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B
2．若，对任意恒成立，求a的取值范围.
【分析】构造函数，原不等式可转化为在上恒成立，利用单调性转化为，利用导数求的范围即可.
【详解】由可得：即为，
因为，故,
令，则在上恒成立，
易知函数在上单调递增，所以只需要
即，令，则，当时，，
所以在上为减函数，所以时，，
即，所以，结合，所以．
3．若证明：
【分析】根据分析法，利用函数的导数，及二次求导结合函数单调性求证即可.
【详解】要证：,
即证：,
令,
, 令，则，
所以在上单调递减，故，即，
在单减，故即证：，即证，
令，则时，，故单调递增，
所以，即成立.
问题得证．

题型五 同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题）
1．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题.
【详解】因为，即，
令，则恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故a的取值范围为.
故选：C.
2．（2025·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得到，又由，得到在上单调递增，得到，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，且，进而得到的单调性和极值（最值），即可求解.
【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
令，则，
令，则，可得，
所以在上单调递减，且，
当时，，，则在上单调递增；
当时，，，则在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，所以.
故选：A．
3．（23-24高三上·四川绵阳·月考）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为 所以，
所以 ，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
因为所以，
则 所以，即，故A正确；故B错误；
因为，所以，
因为，所以不确定，故CD错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】原等式变形为，构造函数，分析单调性可得，等价变形为，根据函数单调性可得的最小值.
【详解】由，得，故.
由题意得，，，
由得，.
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，
∴，即，，
∴，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴当时，取极小值也是最小值，最小值为．
故选：C．
5．（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围.
【详解】由题设有，
当即时，不等式恒成立；
当即时，设，则，
故在上为增函数，而即
因为，故即在上恒成立，
而时，恒成立即恒成立，
故在上恒成立，
设，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故，故，
故，
故选：B.
6．（24-25高三上·湖南常德·月考）若正实数是方程的根，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】利用题干中的方程，构造函数，进行求解.
【详解】由题可知，，即，
令，，在区间上恒成立，
则在上单调递增，
，
因为正实数是方程的根，
所以，即，即.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程同构，构造函数，从而得到.
7．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而.
【详解】，，且，
两边加上得，，
设，则，所以单调递增，
，即，
令，则，
的定义域是，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值即为最大值，，
，.
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解.
8．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围.
【详解】当时，可化为，
令，则，所以在上单调递减．
令，则，所以在上单调递增，
所以，因此当时，．
所以，即．则不等式可化为，
所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为．
故选：A．
【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及同构中的两个变量的大小，从而解决问题.
9．（23-24高三下·河北邢台·月考）若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，转化为，构造函数，分析单调性，将利用单调性转化为在上恒成立，分离参数求解最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
构造函数令，则在上恒成立，
所以，
令，则，
令，得：，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在单调递增，
当在上恒成立时，在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数令，则在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，分离参数求解即可.

题型六 同构应用Ⅱ:比较大小
1．（24-25高三上·江西·期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A选项，当时，；C选项，变形得到，令，则，求导，得到函数单调性，且时，，当时，，因为，所以，即，所以， B选项，由C知，则，即；D选项，因为，所以，得.
【详解】A选项，当时，，因为，所以A错误；
C选项，，由，得，
令，则，
，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，

且时，，当时，，
因为，由，得，即，所以，选项C正确；
B选项，由C知，则，即，所以B错误；
D选项，因为，所以，得，D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：同构变形得到，令，则，结合，得，得到.
2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知正数，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化为，作差法并构造函数，求导利用导数求出函数最值，比较大小，再利用作差法比较大小，即可比较的大小.
【详解】由得，即，所以，
令，，
当时，，在单调递增，
所以，所以，
则有，所以；
由得，即，
所以，
因为，所以，即，故．
故选：A.
【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小.
3．已知实数满足，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】AB选项，令，在内单调递增，由得到；CD选项，举出反例得到CD错误
【详解】对于AB，令，则在上单调递增，
由可得，即，
，故A错误，B正确；
对于C，取，则，且，
又在上单调递增，故，此时，故C错误；
对于D，取，则，且，
又在上单调递增，故，此时，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造，得到，结合函数单调性得到，通过对赋值举反例即可推得CD错误.
4．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选题）已知（且），若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断B；令，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】由，可知或，
又，令，则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当且，此时与题意不符合；
当且时，，故．
令，则，
当时，，在上单调递减，
又，所以，所以，所以，故A正确；
令，则，
记，则，
所以，则，所以在上单调递增，
所以，即，即，所以，即，故B正确；
令，则，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因为，所以当时，，
即，即，故C错误；
令，，则，
令，，则，即在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，即，故D正确．
故选：ABD．
5．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）（多选题）已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】原因变形为，进而变形为，令，求导可得函数在上单调递增，从而可得，可判断A；进而计算可得，判断B；进而得，计算可判断CD.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，
所以，令，求导得，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以，所以，故A正确；
所以，所以，所以，故B错误；
因为，所以，故C正确；
又，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：关键在于由原式变形放缩得到，进而构造函数，通过单调性解决问题.

题型七 同构应用Ⅲ:不等式证明
1．（2025·湖南·二模）已知函数
(1)证明：.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先化简分，得出，再取对数得出，最后构造函数应用导函
【详解】（1），，
当时，；
当时，要证，即证，即证
即证，
构造函数，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，所以，即可得证，所以；
2．已知函数.
(1)若
①求函数的单调区间；
②求证：
(2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围.
【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间；
②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得；
（2）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解；
【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则，
令，可得，
所以在单调递增，且，
当时，，即，在单调递减；
当时，，即，在单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
②证明：令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，且，，
所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
可得，
又由，可得，则，
所以，即.
（2）解：由，可得，则，
令，可得，所以在上递增，
又由，可得，所以，
令，可得，
由，解得，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
3．（2024·贵州·模拟预测）已知函数.
(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线的性质进行求解.
（2）根据已知，利用放缩法建立不等式，再通过构造函数，利用导数的单调性证明不等式.
【详解】（1）由题知：，，即切点为，
所以该点处切线的斜率，则，
故．
（2）由（1）知，则等价于，
故，设，
则，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即当时，，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即，
令，则，由有：，
所以当，则在上为增函数，
因为，所以，由有：，
则，即．
4．设函数．其中，e是自然对数的底数.
(1)若，求证：x >2；
(2)当时，恒成立，求a的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）移项为，构造函数，求导，根据函数单调性可证，从而得证；
（2）不等式转化为，根据函数的单调性可得，，构造函数，根据导数与函数单调性的关系即可求得a的取值范围，从而求得a的最大值．
【详解】（1）因为，所以，
设，则即为，
因为，恒成立，
所以在R上是增函数，
所以，结论成立；
（2）由得，，
由（1）知在R上是增函数，
所以由得，，
所以恒成立，只需，
令，，
则，
①若，即时，恒成立，
故在上是增函数，此时，
所以，结合可得，；
②若，即时，
当时，，故在上是增函数，
当时，，故在上是减函数，
故在处取得极小值，也是最小值，
故，故，
综上所述，，所以a的最大值为l．
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
5．当时，证明
【分析】构造新函数，并利用其单调性和极值去证明不等式即可.
【详解】要证，即证：
构造函数，则
则当时，，单调递增；当时，，单调递减
故当时，求得最小值，则有
由于
故
当且仅当且，即且时等号成立
所以当时，

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三下·河北邢台·月考）若函数，且，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式可利用同构思想构造函数判断函数单调性，即求即可，再利用导数求得可求出.
【详解】易知的定义域为，
由可得，即；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得.
所以正实数的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式恒成立利用指对同构等，通过构造函数转化为求函数极值、最值问题.
2．（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数，定义域为，在其定义域中任取（其中）都满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到，得出在上单调递增，令，得到在上恒成立，得出，设函数，利用导数求得函数单调性，结合，即可求解.
【详解】由，可得，
由于为函数定义域内任取的两个数，且，
所以函数在上单调递增，
令函数，
则在上恒成立，则，
设函数，则，
所以，故，即实数的取值范围为.
故选：A．
【点睛】方法总结：利用导数求解函数或不等式的恒成立（有解）问题的求解策略:
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3．（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案.
【详解】，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.
4．（24-25高三下·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同构函数得出，进而设函数根据函数单调性及最值求解.
【详解】因为，则，
设函数在上单调递增，
且，所以，
所以，
设函数，
当单调递增；当单调递减；
所以当取函数最大值,
故选：C.
5已知，向量与的夹角为，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据向量数量积公式求，再转化不等式，并构造函数，利用导数，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】由条件可知，，，
即恒成立，即，两边同时除以，
整理为，，
设，，
，得，
当，，单调递增，当，，单调递减，
由题意可知，在单调递减，
所以.
故选：D
6．已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
【答案】D
【分析】观察题目中的式子，利用指对数转化将其化为结构相同的形式，再构造函数，根据函数的单调性求得参数的取值范围.
【详解】，
两边同时取对数得，即，
令，则，故在上单调递减，
又，故当时，，即，可得，故的最小值为10．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用同构构造函数，结合函数单调性解题.
7．（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 满足 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将题设条件等价变形为进行放缩移项得到构造函数，利用其单调性即可得到.
【详解】由可得
因，则有即（*）
设，则（*）即，因在上为增函数，故可得：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.
8．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
9．（24-25高三下·湖北黄冈·月考）已知实数 满足，则 的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】 构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，求解.
【详解】 由题意可得，
设，则，
故，即，
令，则，
当时，，在单调递增；
当，，在单调递减.
所以，，
令，则，
当，，在单调递减；
当，，在单调递增.
故，.
由题意可知若，则，故，，
此时且，解得，故.
故选：A.
10．（2024·福建泉州·模拟预测）方程满足的正整数解的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数组
【答案】B
【分析】根据方程变式得到（，），从而构造函数（），利用导数研究函数的单调性判断出的图象变化趋势，结合条件得到且，，即可求解.
【详解】由已知，化简得：，且，，
取对数得：，即，
令（），则，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
且当时，恒成立，又，
因为，，所以且，，
又，为正整数，则，，所以，解得：，
所以满足题意方程的解为，
故该方程的解唯一.
故选：B.
【点睛】关键点睛：构造新函数是解决方程的根和证明不等式常用的方法之一，本题中通过构造“形似”函数，对方程进行变形得到，从而构造函数（）量解决本题的关键.
11．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.
12．若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.
【详解】由不等式，即，
令，即有，
又由，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
令，问题转化为存在，使得，
因为，令，可得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以当时，，
若存在，使得成立，只需且，
解得，因为，所以.
故选：A.
13．（2025·四川成都·三模）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断.
【详解】已知，将等式进行移项可得.
根据对数运算法则，进一步变形为.
因为，则，
所以，
令，对求导可得，所以在上单调递增.
因为，，，
所以，
根据的单调性可知，即，
再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；
若，此时，且，
而，
所以，则，此时，排除A，
若，此时，且，
若时，，必有，排除B；
故选：D.
14．（23-24高三上·山西太原·月考）（多选题）已知且满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为2e
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】BD
【分析】观察等式的结构特征，构造函数，有，结合函数单调性可得，再逐一检验各选项即可得.
【详解】因为，，
所以构造函数，由题意，得，
∵，∴函数是上的增函数，
∴，即，故．
对于A选项，，令，
显然在上单调递增，故无最大值，所以A错误；
对于B选项，由，得，
当目仅当时，取等号，所以的最小值为2e，所以B正确；
对于C选项，，令，显然，在上单调递减，故无最大值，所以C错误；
对于D选项，，当且仅当时，取等号，则的最小值为，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出等式可借助同构思想，设出函数，将原等式转换成，结合单调性从而得出.
15．（2025·安徽合肥·三模）（多选题）已知实数,满足,,，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性.
【详解】对不等式进行变形化简得：，
设.
求导得：.
所以函数在上单调递增.
由，且函数单调递增，可得，即.
对于选项A：
因为，所以平方可得即.A正确.
对于选项B：
取反例，当时，，满足题意.
而，所以B错误.
对于选项C：
取反例，当时，
计算选项C的左边为，右边，
此时，C错误.
对于选项D：
令，求导得，可以看出该导数在上小于0.
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，所以.
由前面可知，所以，所以选项D正确.
故选：AD.
16．（多选题）已知实数且则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】将等式变形为，构造函数，利用其单调性及最值判定两函数的大小，
【详解】原等式，
令，则，
即在上单调递增，显然在上也单调递增，
又，可得，所以，
则有，即，
又，即，
显然D正确，C错误；
由上知，即A正确；
因为取，由D可知，推不出，故B错误.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：对于双变量等式可采用构造函数的方法，本题巧用常用的切线放缩，及指对构造，利用所构函数的单调性计算即可判定大小.
17．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可.
【详解】由，
又，所以.
设，则，
所以在上单调递增.
所以（）.
设（），则，
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为存在正实数x，使得不等式成立，所以.
即的最大值为：.
故答案为：
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
18．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，若函数对任意恒成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合，化不等式为，构造函数，，把问题转化为在上恒成立，求，确定函数的单调性，利用函数的单调性得等价于在上恒成立，构造函数，，利用函数的单调性求出区间上函数的最大值即可.
【详解】由，，有，，
整理得，，即，，
故仅需时，即可；
令，，则等价于，
因为，令，解得，
所以当时，，则在上单调递增，
所以当时，等价于，即恒成立，
令，，则，令，解得，
所以时，，即在上单调递增，
所以，则即可，所以的取值范围为.
故答案为：
19．（2025·山西晋中·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求导，并通过讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性；
（2）由题意可得函数在上单调递增，等价于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范围即为答案.
【详解】（1）的定义域为，
因为，且，
当时，时，时，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，时恒成立，故在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减.
（2）设，由得
即.
设，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
则在上恒成立，
设，，
函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值.
所以，则
则实数的取值范围为.
20．（24-25高三下·河南郑州·期中）已知函数.
(1)解不等式的解集；
(2)若满足关于的方程，求证；
(3)若是函数的零点，求使得不等式成立的整数的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）构造函数研究其单调性，结合即可求解；
（2）将条件化为，再结合的单调性即可得出，最后利用指对互化即可；
（3）先利用同构思想化简题干信息得出，再结合其单调性得出，再构造函数，即可通过其单调性求出，然后求函数的值域，即可求出整数的最小值.
【详解】（1）令，
则，故在上递增，
因， 则，得，
则不等式的解集为.
（2）因为满足，即满足，
则，即，
令，则，
因，则函数在上单调递增，所以，
所以，即；
（3）因为是函数的零点，则，
所以，即，
两边同除以有，
两边同乘以有，
所以，即，
即，
又函数在上单调递增，所以，即，
所以，
令，则，则在上单调递增，
又，，所以，
所以，
所以使得不等式成立的整数的最小值为.
21．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
22．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析.
【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解，即可求出结果；
（2），即，故即证时，>.通过构造函数利用导数证得在单调递增，通过构造证明.即可证明结果.
【详解】（1）由函数可得
令，解得或.
当时，；当时，；
当时，.
故在和上单调递减，在上单调递增.
（2）=
当时，，
要证，即证>.
设则
当时，则在上单调递增，
因为
当时，，，
故只需证明.
令，
则
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，
则在上成立，
故，即成立.
23．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)的极小值为，无极大值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值点、极值的概念，即可求解；
（2）令，利用单调性得到，得到，转化为证明不等式，再由，利用导数得到，进而得到，转化为，令，
设，利用导数证得，得到，进而证得结论.
【详解】（1）解：由函数，可得，
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值；
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
综上可得，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，所以在单调递增，
所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，
只需证明：，即，
即，即，
令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·湖南长沙·月考）若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对不等式变形得到，换元后得到，构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
令，
则，即，
所以，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
要想使得成立，只有时，即时，满足要求，
所以，
由定义域可知：，
解得：，
，A选项正确；
，BC错误.
，D错误；
故选：A.
2．已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案.
【详解】变形为，
即，
其中，，故，
令，则有，
因为在上恒成立，故在上单调递增，
故，两边取对数得：，则，
令，则，故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.
故选：C
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.
3．（23-24高三上·河南·期中）（多选题）已知实数m，n满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可得，即，构造函数，利用其单调性和函数值确定，进而等量代换将双未知量变为单未知量，即可一一求解.
【详解】由可得，，
即，则有，
也即，
设函数，则，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
且当时，；当时，；
因为，所以，
即，所以，即，A正确；
，B错误；
设，在恒成立，
且，
所以存在唯一使得，
由可得，，所以，
，设在上单调递增，
所以，
所以，C正确；
，
设，，
令，，
易得函数在单调递增，且，
所以函数在单调递减，
且，所以恒成立，
所以单调递增，
所以，即，
所以正确，故D正确；
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为，进而构造函数，利用单调性和函数值确定，进而利用等量代换，即可求解.
4．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用同构的方法对进行转化，然后构造函数，利用函数的单调性得到，即，代入，将问题转化为求单变量式子的最小值问题，再次构造函数，利用导数判断函数的单调性即可求解最值．
【详解】由得，即，
设，则，，
当时，，所以在上单调递增．
因为x，y均为正实数，所以，
由，可得，即．
由知，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以．
则．令，
则，所以在上单调递减，
所以，所以，即的最小值为．
故答案为：
5．（24-25高三上·河北衡水·月考）若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】把不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出与的关系，从而把表示为关于的表达式，再通过构造函数求最值即可．
【详解】∵，∴，
∴，即，
令，则有，
设，则，
由得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，即，
∵，∴，当且仅当时等号成立，
∴，即，∴，
设，则，由得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式变形为，通过换元得到，结合函数的单调性分析得，即（当且仅当时等号成立），由此得到，等式变形为，构造函数分析单调性即可得到的最小值.
6．（23-24高三上·山西运城·期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】含参数的单调性讨论问题，求导后分情况讨论根的个数与大小即可.
指对同构问题，将所求不等式变形，构造新函数，再利用单调性求解.
【详解】（1）的定义域是，
令
当时，∵，∴
∴，∴在单调递增
当时，，若，即时，，
∴，∴在单调递减
若，即时，令，
解得，，
易得在单调递减，在单调递增，在单调递减，
综上所述：当时，在单调递增
当时，在单调递减，在单调递增，
在单调递减，当时，在单调递减
（2）由题易得
令，有在为增函数
原式等价于，
即
即，令
由（1）知时，在为减函数，
∴，∴
表达式
图像
极值点
对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解.
加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
如
乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
如