2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第11讲：拓展四：导数中的隐零点问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第11讲：拓展四：导数中的隐零点问题(精讲)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了不含参函数的隐零点问题，含参函数的隐零点问题，函数零点的存在性等内容，欢迎下载使用。
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
1．（河南省新未来2024-2025学年高二下学期6月质量检测数学试题）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围；
(3)若在定义域上单调，求整数的最大值．
2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，恒成立，求的值；
(3)若在区间上存在零点，求的取值范围.
3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，直接写出的单调区间；
(3)当时，，，求的取值范围.
4．（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．
(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当为整数时，若恒成立，求的最小值.
6．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数在处取得极值.
(1)设（其中），讨论函数的单调性；
(2)若对，都有，求的取值范围.
7．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论在上的零点个数.
8．（24-25高二下·天津河北·阶段练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围.
(3)证明不等式：
9．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，．
(1)若，判断的单调性；
(2)若，求a的值；
(3)已知，．若，证明：．
10．（2025·上海·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：恒成立.
(3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由.
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
12．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
第11讲：拓展四：导数中的隐零点问题
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
1．（河南省新未来2024-2025学年高二下学期6月质量检测数学试题）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围；
(3)若在定义域上单调，求整数的最大值．
【答案】(1) 的极小值为，无极大值
(2)且
(3)1
【分析】直接对 求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值.
分析 的单调性和极值，结合图像判断参数 的范围.
函数 在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数 的最大值.
【详解】（1）函数 的定义域为 ,
，
，
又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0；
所以在单调递减，在单调递增；
所以 的极小值为；无极大值.
（2）函数 可因式分解为：
显然， 是一个零点.
零点由 和方程 的解组成.
令，求导：，
令导数为零：；
又因为在R上单调递增，
所以在小于0，在大于0，
所以在单调递减，在单调递增，
所以.
又，，; 当 ，；
的解的个数：
当 ，有两个解： 和一个在 ；
当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ；
当 ，有一个解（)；
当 ，无解.
讨论的零点个数：
总是零点；
分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点；
当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点；
当 ，有与两个零点；
当 ，只有一个零点.
因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且.
（3）函数 ，定义域为 .
求导：，
化简得：，
在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增；
当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0，
而时，，所以这种情况不成立；
所以只可能在定义域上单调递增；
所以对恒成立，
即恒成立，
令 ，则只需
求导：，
易知在上单调递增，且,
,所以存在,使，
所以在上小于0，在大于0；
所以在上单调递减，在单调递增；
所以,又代入得
,
又，所以,
又且，
所以.
故整数的最大值为1.
2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，恒成立，求的值；
(3)若在区间上存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间.
(2)-1
(3).
【分析】（1）由题可得，令，通过研究单调性可得的单调区间；
（2）由题可得是在区间上的最小值，据此可得，随后验证
满足题意即可；
（3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况.
【详解】（1）当时，，，则.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，
所以当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由，得，.
因为当时，恒成立，
所以是在区间上的最小值，
即当时，是的极小值点，
所以，解得.
当时，.
令，则.
由（1）知，
所以当时，
恒成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.
又，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，符合题意.
故.
（3）因为，所以，
由（1）知.
又当时，，
所以当时，，
所以当时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
故当时，，
此时在区间上无零点，不符合题意，舍去.
当时，令，
则.
当时，，单调递增.
又，当时，，所以存在，使.
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增.
因为，当时，，
所以当时，在区间上有唯一零点.
综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于单次求导无法判断单调性的函数，可通过多次求导，判断函数单调性；对于恒成立问题，常转化为求解函数最值；对于零点问题，常由函数单调性结合零点存在性定理解决.
3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，直接写出的单调区间；
(3)当时，，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用点斜式方程即可求解；
（2）对函数求导，令，即可求得的单调递增区间；令，即可求得的单调递减区间；
（3）当时，，原不等式可化为，故即可.设，对求导，研究函数的单调性，求的最小值即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，∴，，∴.
∴曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，∴.
令，解得；令，解得，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）当时，，∴.
∵对恒成立，∴对恒成立，
即对恒成立，∴.
设，则.
∵，∴，.
令，，则，
∴在上单调递增.
又，，
∴由零点存在性定理可知：，使得，即，
∴时，，，在上单调递减；
时，，，在上单调递增.
∴当时，取得最小值.
∴，即的取值范围为.
4．（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数．
(1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解；
（2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围.
（3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解.
【详解】（1）
时，，
函数在区间上是凹函数．
（2），
，
若在区间上为凹函数，
则在上恒成立，
，即在上恒成立，
在上恒成立，
当时，显然成立，下面讨论的情况，
令，则，
时，在上为增函数，
由，得，即，
即时，恒成立，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，则，
故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为．
（3），
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又，
存在，使，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
当时，的最小值为，
由，有，
，又恒成立，，
且的最大值为3．
5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当为整数时，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，在上单调递增．
(3)1．
【分析】（1）当时，对求导，求出，在由导数的几何意义即可得出答案.
（2）对求导，分和，讨论与的正负即可得出的单调性；
（3）将题意转化为在恒成立，设，求出的最大值即可得出答案.
【详解】（1）当时，，∴，
∵，∴，
∴曲线在处的切线方程为：．
（2）的定义域为，
，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，令，得，令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
（3）∵，∴，即
设，则，
设，则，
设，则，
令，得；令，得．
∴时，为增函数，时，为减函数，
∴，即，∴在上为减函数.
∵，
∴，使，
∴时，，从而，为增函数；
时，，从而，为减函数；
∴的最大值为
由得，
∴，
∵，∴，
∴
∴整数的最小值为1．
6．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数在处取得极值.
(1)设（其中），讨论函数的单调性；
(2)若对，都有，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对求导，讨论参数，结合导数的区间符号确定单调性；
（2）将原不等式化为，即恒成立，构造函数并求导研究最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，则，即，检验证满足题设，
由，且，
所以，
当时，，则时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，则和时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，在上单调递增，
当时，则和时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题设，即，
由，满足上述不等式恒成立，同时在恒成立，
令且，则，
对于，其开口向上且对称轴为，，
所以存在唯一使，即，
，即时单调递减，
，即时单调递增，
而，（注意），
所以，故.
7．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论在上的零点个数.
【答案】(1)
(2)当时， 在 上有 个零点；当 时， 在 上有 个零点
【分析】（1）利用导数求得，又，可求切线方程；
（2）求导得，分和讨论的变化情况，确定的单调性，进而确定零点的个数.
【详解】（1）函数 ，
当时，，，
所以切点为，
求导得，，
所以切线的斜率为0，切线方程为：，即；
（2）由题，所以是函数的一个零点；
因为，所以，
所以 ，所以是奇函数，所以函数的零点关于原点对称，
所以只需研究的零点个数即可，
当时，，所以，所以当函数在内没有零点，
当时，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，所以，
又，所以，
可得，所以在上单调递增，
又，所以在上无零点，
则在上只有1个零点；
当 时，，令，
则，
在上单调递增，所以，
若时，，即，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
故至多有1个根，令，则，则，
令，当时，，
当，，所以在在上无解，
当时，求导可得，
所以在上单调递减，又，，
当时，，所以在时，方程有解，
即存在，使，
即，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，又，
所以在有1个零点，即函数在有1个零点，
所以当时，有三个零点，
综上所述：当时， 在 上有 个零点；
当 时， 在 上有 个零点.
8．（24-25高二下·天津河北·阶段练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若对任意 不等式 恒成立，求a的取值范围.
(3)证明不等式：
【答案】(1)函数有极大值，无极小值；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解；
（2）将题设等价转化成对任意恒成立，再利用导数工具求出函数的最大值即可得解；
（3）令，利用导数工具二次求导研究函数的最小值情况即可得证.
【详解】（1）当时，函数，
所以函数定义域为，，
所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以函数有极大值，无极小值；
（2）对任意不等式恒成立，
所以对任意恒成立，
因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，所以；
（3）证明：令，则，
故恒成立，
所以函数即为上的增函数，又，
所以存在使得，
所以当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
又为增函数，
所以，
所以.
9．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，．
(1)若，判断的单调性；
(2)若，求a的值；
(3)已知，．若，证明：．
【答案】(1)在上单调递增，在上递减
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，利用导数研究单调性即可求解；
（2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，即，令，利用导数研究最小值即可求解；
（3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解.
【详解】（1）由题意有：，因为，
令，解得：，所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，则，即，
代入可得：，
令，（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即，
当时，恒成立，即在上单调递增，
又，所以当，，不恒成立，故不成立.
综上所述，；
（3）令，，
所以，令，，
所以在上单调递增，因为，，
所以在上存在唯一零点，令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，得证.
10．（2025·上海·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：恒成立.
(3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由.
【答案】(1)极大值，无极小值；
(2)证明见解析；
(3)存在唯一的点对关于对称，理由见解析.
【分析】（1）应用导数求函数极值即可；
（2）问题化为证明，构造，，并应用导数证明不等式即可；
（3）假设存在，设，，，进而有，构造并利用导数研究其零点情况，即可得结论.
【详解】（1）由题设，可得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
故函数有唯一的极值点，当时取得极大值.
（2）当时，，
令，，则，
令，则，
当时，，于是在上严格递增，
所以，于是在上严格递增，
故，即，
所以，原不等式成立.
（3）存在唯一的点对关于对称，证明如下：
假设存在，设，，，
于是，，即，
设，则，
显然，即存在，其中，
令，则，即在上单调递减，
于是时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减.
且，，，
于是，存在唯一的使得，即存在唯一的点对、满足题意.
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可；
（2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围；
（3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式.
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．
（2）由题意，在内恒成立．
，，．
令，则，
在区间上单调递增，
，即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间上单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．
12．（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求得，分和，两种讨论，函数的最大值，从而求解；
（2）根据题意，转化为分离参数得在上恒成立，设函数，利用导数，求得函数的最小值，进而的取值范围．
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且．
若，则，在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
其最大值为，解得，
显然符合题意，所以的值为1．
（2）解：对任意，恒成立，即在上恒成立，
设，可得，
设，可得，
所以在上单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以，
构造函数，则．
又由函数在上是增函数，所以，
由在上单调递减，在上单调递增，
可得，
所以，解得，所以的取值范围是.