2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题2.6函数的图象(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题2.6函数的图象(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc17376" 【题型1 作出函数的图象】 PAGEREF _Tc17376 \h 2
\l "_Tc23659" 【题型2 函数图象的识别】 PAGEREF _Tc23659 \h 7
\l "_Tc19377" 【题型3 根据函数图象选择解析式】 PAGEREF _Tc19377 \h 10
\l "_Tc5400" 【题型4 函数图象的变换】 PAGEREF _Tc5400 \h 12
\l "_Tc28009" 【题型5 根据实际问题作函数图象】 PAGEREF _Tc28009 \h 15
\l "_Tc6229" 【题型6 利用图象研究函数的性质】 PAGEREF _Tc6229 \h 18
\l "_Tc18341" 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 PAGEREF _Tc18341 \h 20
\l "_Tc1646" 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc1646 \h 23
1、函数的图象
知识点1 函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点2 函数图象的应用及其解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=x+1−2x−1.
(1)请画出函数fx的图象，并求fx≥1的解集；
(2)∀x∈0,+∞，fx>ax+b，求a+b的最大值.
【答案】(1)作图见解析，23,2
(2)−2.
【解题思路】（1）分类讨论求得fx=x−3,x1，即可作出图形；
（2）由（1）知fx的图象与y轴交点的纵坐标为−1，且各部分所在直线斜率的最小值为−1，则b≤−1，a≤−1，即可求解.
【解答过程】（1）∵fx=x+1−2x−1，∴fx=x−3,x1.
函数图象如右所示：
由图可知fx≥1的解集为23,2.
（2）由（1）知，fx的图象与y轴交点的纵坐标为−1，
且各部分所在直线斜率的最小值为−1，
故当且仅当b≤−1，a≤−1时，fx>ax+b恒成立，
此时a+b有最大值−2.
即a+b的最大值是−2.
【变式1-1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数f(x)的解析式为f(x)=x+2,x≤−1x2,−12.
(1)求f(3)，f(f(−1))的值；
(2)画出这个函数的图象，并写出f(x)的最大值.
【答案】(1)f(3)=3，f(f(−1))=1
(2)图象见解析，最大值为4
【解题思路】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；
（2）根据图象最高点即可写出最大值.
【解答过程】（1）因为f(x)=x+2,x≤−1x2,−12，
所以f(3)=−3+6=3，f(−1)=−1+2=1，则f(f(−1))=f(1)=1.
（2）
如图，由图象可知，最大值为4.
【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数f(x)=12x−2+12x+1+12x+2．
(1)画出f（x）的图象，并写出f(x)≤6的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足a+b=T，证明：1a2+1+1b2+1≥T10．
【答案】(1)作图见解析，x|−6≤x≤2
(2)证明见解析
【解题思路】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图象，由图象得不等式的解集；
（2）由（1）得最小值T，然后用基本不等式得出ab的范围，再用基本不等式得1a2+1+1b2+1≥2(a2+1)(b2+1)，利用二次函数性质得(a2+1)(b2+1)的范围，从而可得不等式成立，注意等号取得的条件是否一致．
【解答过程】（1）由题，得f(x)=−12x+3,x4,，图象如图所示．
由图可知，f(x)≤6的解集为x|−6≤x≤2．
（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为T=4，则a+b=4．
只需证明1a2+1+1b2+1≥410=25即可．
由已知，a>0，b>0，则4=a+b≥2ab，所以00，C不可能；
对于D，当x=0时，y=−f(4)0，A可能；
对于B，当x=0时，y=−f(1)=0，而当x1，则−f(1−12x)2排除A；
对B选项fx=1−2ex+1，因为ex+1>1，则2ex+1∈0,2，
则fx=1−2ex+1∈−1,1，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C选项的解析式， f(2)=22≈2.8， 而根据函数 f(x) 的图象， 知 f(2)≈1， 排除 C.
故选：D.
【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）．
A．fx=ex+1ex−1B．fx=ex−1ex+1C．fx=x23x4−1D．fx=x3x4−1
【答案】D
【解题思路】根据f0=0排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【解答过程】对于A， fx=ex+1ex−1在x=0处无意义，故A错误；
对于B：fx=ex−1ex+1的定义域为R，故B错误；
对于C：fx=x23x4−1的定义域为x|x≠±1，
且f−x=−x23−x4−1=x23x4−1=fx，则fx为偶函数，故C错误；
对于D，fx=x3x4−1满足图中要求，故D正确.
故选：D.
【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．y=x4−x2B．y=x4−x2
C．y=−x2+2xD．y=−x2+2x
【答案】C
【解题思路】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.
【解答过程】A选项：y|x=1=3>1，故A错误；
B选项：记fx=x4−x2，则f−x=−x4−x2=−fx，故fx为奇函数，
不符合题意，故B错误；
C选项：记ℎx=−x2+2x，则ℎ−x=−x2+2x=ℎx，
故y=−x2+2x为偶函数，
当x≥0时，y=−x2+2x=−x2+2x=−x−12+1，
此函数在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，
且ℎ0=0,ℎ1=1,ℎ2=0，故C正确；
D选项：记gx=−x2+2x，则g−x=−x2−2x≠−gx，
故gx既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C.
【题型4 函数图象的变换】
【例4】（2025高三·全国·专题练习）将函数fx=−x2+1+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【解答过程】∵fx=3−x2,x∈−1,1,x2+1,x∈−∞,−1∪1,+∞，可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.
故选：C.
【变式4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数y=1−1x−1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据函数图象的变换得到答案.
【解答过程】将y=−1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数y=1−1x−1的图象.
故选：B.
【变式4-2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数y=fx，与其相应的y=fx+1的图象如图所示，则（ ）
A．f0=0B．f2=−1C．f99=0D．f100=1
【答案】C
【解题思路】找出y=fx与y=fx+1的关系，再将问题转化为求y=fx+1上某点的纵坐标即可.
【解答过程】函数y=fx+1是函数y=fx向左平移1个单位得到，
因函数y=fx+1的周期T=4，则fx周期也为4，
A选项：f0对应y=fx+1中x=−1的值，由图象知f0=f−1+1=−1≠0，错误；
B选项：f2对应y=fx+1中x=1的值，由图象知f2=f1+1=1≠−1，错误；
C选项：99=4×24+3，则f99=f3，又f3对应y=fx+1中x=2的值，
由图象知f3=f2+1=0，即f99=0，正确；
D选项：100=4×25，则f100=f0=−1≠1，错误．
故选：C．
【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数fx的图象可看作是由函数gx=2x−12x2−4x+3的图象向左平移1个单位长度后得到的，则fx的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解题思路】利用平移变换可得fx=2x2x2+1，判断函数fx的奇偶性，结合赋值法可得结论.
【解答过程】因为gx=2x−12x2−4x+3=2x−12(x−1)2+1，所以fx=2x2x2+1，其定义域为R，
且f−x=2−x2(−x)2+1=2x2x2+1=fx，所以fx为偶函数，故排除BC；
又x>0时，f′x=4x2+2−8x22x2+12=2−4x22x2+12，
当x→0+时，f′x→2，故排除A，
故选：D.
【题型5 根据实际问题作函数图象】
【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解题思路】分x∈0,1，x∈1,2，x∈2,3求出解析式，然后可知图象.
【解答过程】当x∈0,1时，y=x2，是一条过原点的线段；
当x∈1,2时，y=12，是一段平行于x轴的线段；
当x∈2,3时，y=3−x2，图象为一条线段.
故选：A．
【变式5-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A−B−C−M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=fx的图象的形状大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解题思路】求出点P在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【解答过程】当点P在AB上时，y=12×AP×BC=x2，
当点P在BC上时，y=AB×BC−12×AB×BP−12AD×DM−12MC×CP
=1−12x−1−12×12−12×122−x=34−x4，
当点P在CM上时，y=12×AD×PM=1252−x=54−12x，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位：米），若y=ft，则ft的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【解答过程】由题图知，小李从点A到点B的过程中，y的值先增后减，
从点B到点C的过程中，y的值先减后增，
从点C到点D的过程中，y的值先增后减，从点D到点A的过程中，y的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即y的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.
【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间t1=1000÷100+150=4小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为100×4=400千米，
还需要行驶1000−400÷100=6小时才能到达乙地，故排除A选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为150×4=600千米，
只需要再行驶1000−600÷150=83小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.
故选：C.
【题型6 利用图象研究函数的性质】
【例6】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数y=fx的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数fx的定义域为−4,4
B．函数fx的值域为0,5
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的y∈0,+∞，都有唯一的自变量x与之对应
【答案】C
【解题思路】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.
【解答过程】由图知：fx的定义域为[−4,0]∪[1,4)，值域为[0,+∞)，A、B错；
显然fx在[−4,0],[1,4)分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然f(−4)≤y≤f(0)，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C.
【变式6-1】（2025高三下·全国·专题练习）函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）

A．−4,4B．−4,−3∪1,4C．−3,1D．−3,4
【答案】C
【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可.
【解答过程】由题图可知，函数y=fx的单调递增区间为−3,1.
故选：C.
【变式6-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数y=fx的局部图象，则f−2，f1，f0的大小关系为（ ）

A．f0