专题2.6 函数的图象（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc28905" 【题型1 作出函数的图象】 PAGEREF _Tc28905 \h 2
\l "_Tc15698" 【题型2 函数图象的识别】 PAGEREF _Tc15698 \h 4
\l "_Tc2202" 【题型3 根据函数图象选择解析式】 PAGEREF _Tc2202 \h 5
\l "_Tc30891" 【题型4 借助动点研究函数图象】 PAGEREF _Tc30891 \h 7
\l "_Tc18539" 【题型5 利用图象研究函数的性质】 PAGEREF _Tc18539 \h 9
\l "_Tc30786" 【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】 PAGEREF _Tc30786 \h 10
\l "_Tc20135" 【题型7 利用图象求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc20135 \h 11
1、函数的图象
【知识点1 函数的图象的作法与识别】
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数图象的应用的解题策略】
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2x+2+3x−3．

(1)画出fx的图象；
(2)求不等式fx<6的解集．
【变式1-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数f(x)=|2x+1|+|x+m|（其中m∈−1,0）．

(1)在给定的平面直角坐标系中画出m=−12时函数fx的图象；
(2)求函数fx的图象与直线y=3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m的值．
【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像：
(1)y=x−2
(2)y=2x−2．
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=x+1−2x−1.
(1)请画出函数fx的图象，并求fx≥1的解集；
(2)∀x∈0,+∞，fx>ax+b，求a+b的最大值.
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）函数fx=x3csx的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数fx=x2−4x的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024·山东·模拟预测）函数fx=ex−e−x1−x2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）函数fx=x3−2x−1lnx的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2024·湖南·二模）已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=−2x2x−1B．fx=−2x2x+1
C．fx=−2xx−1D．fx=−2xx2−1
【变式3-1】（2024·天津·二模）函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）
A．fx=lnxx2+1B．fx=ex−e−xx2
C．fx=x2−1xD．fx=lnxx
【变式3-2】（2024·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）．
A．fx=ex+1ex−1B．fx=ex−1ex+1C．fx=x23x4−1D．fx=x3x4−1
【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）函数y=fx的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．y=f1−12xB．y=−f1−12x
C．y=f4−2xD．y=−f4−2x
【题型4 借助动点研究函数图象】
【例4】（2024·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A→B→C→D运动，x表示动点P由A点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y=fx的大致图像是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A−B−C−M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=fx的图象的形状大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位：米），若y=ft，则ft的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·湖南·一模）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为( )
A．B．
C．D．
【题型5 利用图象研究函数的性质】
【例5】（2024·四川南充·二模）已知函数fx=3x，则函数y=fx−1+1的图象（ ）
A．关于点1,1对称B．关于点−1,1对称
C．关于点−1,0对称D．关于点1,0对称
【变式5-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数y=fx的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数fx的定义域为−4,4
B．函数fx的值域为0,5
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的y∈0,+∞，都有唯一的自变量x与之对应
【变式5-2】（23-24高一上·广西钦州·期中）定义在−5,5上的偶函数fx在0,5上的图象如下图，下列说法不正确的是（ ）

A．fx仅有一个单调减区间
B．fx有两个单调减区间
C．fx在其定义域内的最大值是5
D．fx在其定义域内的最小值是−5
【变式5-3】（23-24高一上·湖北黄石·期中）记实数x1,x2,⋅⋅⋅,xn中的最大数为maxx1,x2,⋅⋅⋅,xn，最小数为minx1,x2,⋅⋅⋅,xn，则关于函数fx=minx+1,x2−x+1,−x+6的说法中正确的是（ ）
A．方程fx−1=0有三个根B．fx的单调减区间为−∞,12和52,+∞
C．fx的最大值为72D．fx的最小值为34
【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为[−2，4]，其图象如图所示，则xfx≤0的解集为（ ）
A．x|−2≤x<−1B．x|−1≤x≤0
C．x|1≤x≤3D．x|0≤x≤4
【变式6-1】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数fx在0,+∞上的图象如图所示，则不等式x2fx>2fx的解集为（ ）
A．−2,0∪2,2B．−∞,−2∪2,+∞
C．−∞,−2∪(−2，0)∪(2，2)D．−2,−2∪0,2∪2,+∞
【变式6-2】（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知定义在R上的奇函数fx恒有fx−1=fx+1，当x∈0,1时，fx=−14x3+34x，已知k∈−15,−110，则函数gx=fx−kx−12在−1,6上的零点个数为（ ）
A．4B．5
C．3或4D．4或5
【变式6-3】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数fx=x+12,x∈0,322−fx−32,x∈32,+∞，则fx>lg2x的解集是（ ）
A．12,1B．1,2
C．12,2D．12,1∪1,2
【题型7 利用图象求参数的取值范围】
【例7】（2024·河北石家庄·三模）给定函数fx=x2+x,gx=x+1x，用Mx表示fx,gx中的较大者，记Mx=maxfx,gx．若函数y=Mx的图象与y=a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是
．
【变式7-1】（2024·陕西西安·一模） fx=ex+1,x≤01x,x>0，若y=ffx+1−k有两个零点，则k的取值范围是 .
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=lg2x−1,x>13x−1,x≤1，若关于x的方程f(x)=m有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【变式7-3】（2024·天津红桥·一模）设函数f(x)=lg2(x−1),13，若f(x)=a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1一、单选题
1．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数fx=x3+tx的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=csx与y=lgx的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数f(x)=x2,x≥0,1x,x<0,g(x)=f(−x)，则函数g(x)的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）函数y=fx在区间−3,3的大致图象如图，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=2xsinxx2+1B．fx=2xcsxx2+1
C．fx=3xx2−1D．fx=4xcsxx2+1
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线l在初始位置与等边△ABC的底边重合，之后l开始在平面上按逆时针方向绕点A匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间t的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数fx是定义在R上周期为4的奇函数，且fx=x,0≤x<1−x+2,1≤x≤2，则不等式xf(x−1)<0在(−2,2)上的解集为（ ）
A．(−2,−1)B．(−2,−1)∪(0,1)
C．(−1,0)∪(0,1)D．(−1,0)∪(1,2)
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数y=fx−2的图象关于直线x=2对称，对任意的x∈R，都有fx+3=fx−1成立，且当x∈−2,0时，fx=−x，若在区间−2,10内方程fx−lgax+2=0有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,22B．2,22C．22,23D．22,23
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数fx=x3−mxm∈R的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·安徽合肥·一模）已知a>0，函数fx=xa−axx>0的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·山东日照·三模）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点Bx,y的轨迹方程是y=fx，则（ ）
A．方程fx=2在−3,9上有三个根
B．f−x=−fx
C．fx在6,8上单调递增
D．对任意x∈R，都有fx+4=−1fx
三、填空题
12．（2024·上海宝山·一模）设a、b为常数，若a>1,b<−1，则函数y=ax+b的图象必定不经过第 象限.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=xx−1,gx=ex−1−e−x+1+1，则fx与gx的图象交点的纵坐标之和为 ．
14．（2024高三·全国·专题练习）设奇函数f(x)的定义域为−5,5．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是 ．
四、解答题
15．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数f(x)=x−x,x∈[−1,2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如−3.05=−4，2.1=2.
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象;
(3)根据图象写出函数f(x)的值域.
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f(x)=|2x−3|+|x+1|−5．
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若直线y=k(x+1)与f(x)的图象所围成的三角形的面积为152，求实数k的值．
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=x+3−x−2．
(1)画出fx的图像，并直接写出fx的值域；
(2)若不等式fx≤3a2−4a+1恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x+a+x−2a∈R，且fx≤1有解．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取最大值时，作出gx=3fx−2x−2−3的图象，并求gx的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
19．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x.
（1）求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；
（2）根据图象写出函数f(x)的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程f(x)=aa∈R解的个数.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题
2022年天津卷：第3题，5分
2022年全国甲卷：第5题，5分
2022年全国乙卷：第8题，5分
2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分
函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象函数性质、解不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.