2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题2.5对数与对数函数(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题2.5对数与对数函数(学生版+解析)，共10页。

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\l "_Tc17389" 【题型1 指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc17389 \h 2
\l "_Tc26304" 【题型2 对数的运算】 PAGEREF _Tc26304 \h 3
\l "_Tc18647" 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 PAGEREF _Tc18647 \h 4
\l "_Tc22157" 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 PAGEREF _Tc22157 \h 7
\l "_Tc5734" 【题型5 比较对数式的大小】 PAGEREF _Tc5734 \h 9
\l "_Tc19741" 【题型6 解对数不等式】 PAGEREF _Tc19741 \h 11
\l "_Tc29351" 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc29351 \h 13
\l "_Tc24491" 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 PAGEREF _Tc24491 \h 15
1、对数与对数函数
知识点1 对数运算的解题策略
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
知识点2 对数函数的常见问题及解题思路
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 "" \t "" \ "指数式与对数式的互化" 指数式与对数式的互化】
【例1】（2025·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10n=3，则103m−2n2的值为（ ）
A．649B．83C．43D．223
【答案】B
【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】由2lg2=m可得10m2=2，又因为10n=3，
所以103m−2n2=103m210n=10m2310n=83，
故选：B.
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数x, y满足lg2lg3x=lg3lg2y=1，则x+y=（ ）
A．11B．12C．16D．17
【答案】D
【解题思路】由指对互化公式即可求解.
【解答过程】因为lg2lg3x=lg3lg2y=1，所以x+y=321+231=9+8=17.
故选：D.
【变式1-2】（2025·全国·三模）若a>1，则alglga−lgalga的值是（ ）
A．零B．正数C．负数D．以上皆有可能
【答案】A
【解题思路】b=lga，则a=10b，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.
【解答过程】令b=lga，则a=10b，由a>1得b>0，
所以alglga−lgalga=10blgb−bb=10lgbb−bb=0.
故选：A.
【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件x1a=x2b=x3c，且1a−2b+3c=0的一组x1,x2,x3为（ ）
A．x1=4，x2=3，x3=2B．x1=4，x2=2，x3=3
C．x1=3，x2=9，x3=2D．x1=18，x2=12，x3=2
【答案】D
【解题思路】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可.
【解答过程】设x1a=x2b=x3c=m，∴a=lgx1m，b=lgx2m，c=lgx3m，
∴1a−2b+3c=lgmx1x33x22=0，∴x1x33x22=1，
结合选项，ABC不符合，D符合，
故选：D．
【题型2 对数的运算】
【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a2bB．2abC．a+2bD．2a+b
【答案】D
【解题思路】结合对数运算性质即可得解．
【解答过程】由对数运算性质可得lg12=lg3×4=lg3+lg4=lg3+lg22=lg3+2lg2=2a+b，
故选：D．
【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数lg23的第一位小数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解题思路】设对数lg23的第一位小数位b，第二位小数及以后的值为c，则lg23−1=0.1b+0.01c，利用对数的运算可得5aD．b>a>c
【答案】D
【解题思路】求出a、b、c，利用对数函数、幂函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.
【解答过程】由题意可得a=lg23，b3=9，可得b=913，c=23，
因为对数函数y=lg2x为0,+∞上的增函数，则2=lg24>a=lg23>lg22=1，
幂函数y=x13在0,+∞上为增函数，则b=913>813=2，
故b>a>c.
故选：D.
【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3lg23.4，b=9lg163.3，c=(13)lg20.3，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b
【答案】D
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【解答过程】由题意知b=9lg163.3=312lg23.3=3lg23.3，c=(13)lg20.3=3−lg20.3=3lg2103，
又函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，而3.4>103>3.3，即lg23.4>lg2103>lg23.3，
又y=3x在R上单调递增，所以3lg23.4>3lg2103>3lg23.3，即a>c>b.
故选:D.
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．x>y>zB．x>z>y
C．y>x>zD．y>z>x
【答案】B
【解题思路】法一：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【解答过程】法一：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，所以
令m=2，则x=1,y=3−1=13,z=5−3=1125，此时x>y>z，A有可能；
令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选：B．
法二：设2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=m，所以，x=2m−2,y=3m−3,z=5m−5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x−2,y=3x−3,y=5x−5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，
故选：B．
【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数fx=x⋅ex，a=flg35，b=−flg312，c=fln3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c>b>aB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=f(lg32)，再结合函数的单调性，即可求解.
【解答过程】fx=x⋅ex，定义域为R，关于原点对称，
且f−x=−x⋅e−x=−x⋅ex=−fx，所以函数fx=x⋅ex为奇函数，
所以b=−flg312=f−lg312=flg32，
又fx=x⋅ex,x>0，
任取x1,x2∈0,+∞，且00,则不等式fx≤1的解集为（ ）
A．0,2B．0,1C．−∞,2D．−∞,1
【答案】C
【解题思路】分x≤0和x>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.
【解答过程】由题意可知当x≤0时，0