数学七年级下册（2024）立方根精品第1课时导学案及答案

这是一份数学七年级下册（2024）立方根精品第1课时导学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
通过类比推理，了解立方根的概念，
区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根.
【学习重点】会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根.
【学习难点】求千以内的完全立方数的立方根.
【自主学习】
请问图片中展示的物品是什么? 若这个物体的体积为 216 cm²，思考如何求此物体的棱长.
(1) 它的形状有什么特点?

(2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题?

(3) 你能找出一个数，使它的立方等于216 吗?

【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算：23 ＝_____； (−2)3 ＝_____；
(0.5)3＝_____；(-0.5)3 ＝_____；
(23)3＝_____； (−23)3＝_____；03＝_____.
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗?
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗?
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗?
平方根 导学案（教学过程）
本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。
一、复习铺垫，导入新课（5分钟）
1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。
二、探究新知，突破核心（15分钟）
本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。
1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。
2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。
3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。
4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。
三、实操巩固，强化技能（10分钟）
本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。
1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。
2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。
3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。
四、拓展应用，深化理解（10分钟）
本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。
1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。
2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。
3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。
五、总结提升，梳理收获（5分钟）
1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。
2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。
3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。
整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。
思考 4：开立方与立方是什么关系?
知识要点 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的_______或________．
开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（ ）；
因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －，所以－ 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ ）.
你能发现正数的立方根有什么特点吗 ? 负数呢 ? 0 的立方根是多少 ?
立方根的性质
性质1：正数的立方根是正数；
性质2：负数的立方根是负数，
性质3：0的立方根是0.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；平方根是它本身的数只有 0.
【典型例题】
例1 求下列各数的立方根.
(1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4) 12527
【练一练】1. 求下列各数的立方根.
(1) ﹣27； (2) 338 (3) 0.216； (4) -5.

课堂检测
1.27的立方根为 ( )
A. ±3 B. 3 C.-3 D. 9
2. 下列说法正确的是 ( )
A.正数有2个立方根 B-8的立方根是±2
C.负数没有立方根 D.-1的立方根是-1
3. 将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 ( )
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D.5cm
4. 计算：
(1) 3 78−1 ＝________ ；(2) 3(−4)3 ＝_________；(3)－3−216 ＝_________.
5. 求下列各式中的x：
(1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729.
6. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
参考答案
【自主学习】
(1) 是个正方体，各棱长相等 (2)根据体积求棱长 (3) 体积＝棱长3棱长＝6 cm
【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算 8 -8 0.125 -0.125 - 0
思考 1 正数的立方和平方结果均为正数，0的平方和立方结果都是0，负数的平方是正数，立方是负数.
思考 2：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根．
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗?
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
思考 4：开立方与立方互为逆运算.
填一填 1 0.4 0.4 -2 -2 − − 0 0
【典型例题】
例1 －2 7 －4
【练一练】1.-3 0.6 3−5
课堂检测
B 2.D 3.A 4. (1)－ (2)－4 (3) 6
5. (1)解：x＝－0.3. (2)解：x＝11.
6.解：设正方体的棱长为a cm，则依题意得a3 ＝ 9×3×4×2 ＝ 216，
解得a＝6.故这个正方体的棱长为 6 cm.