初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.2 立方根学案及答案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.2 立方根学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根.
2. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力.
3. 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力.
4. 体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯.
【学习重点】会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根.
【学习难点】求千以内的完全立方数的立方根.
【自主学习】
请问图片中展示的物品是什么? 若这个物体的体积为 216 cm²，思考如何求此物体的棱长.
(1) 它的形状有什么特点?

(2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题?

(3) 你能找出一个数，使它的立方等于216 吗?

【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算：23 ＝_____； (-2)3 ＝_____；
(0.5)3＝_____；(-0.5)3 ＝_____；
(23)3＝_____； (-23)3＝_____；03＝_____.
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗?
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗?
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗?
思考 4：开立方与立方是什么关系?
知识要点 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的_______或________．
开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（ ）；
因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －1/8，所以－1/8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（ ）.
你能发现正数的立方根有什么特点吗 ? 负数呢 ? 0 的立方根是多少 ?
立方根的性质
性质1：正数的立方根是正数；
性质2：负数的立方根是负数，
性质2：0的立方根是0.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；平方根是它本身的数只有 0.
【典型例题】
例1 求下列各数的立方根.
(1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4) 12527
【练一练】1. 求下列各数的立方根.
(1) ﹣27； (2) 338 (3) 0.216； (4) -5.

探究点二、互为相反数的两个数的立方根的关系
计算：(1)因为3-8 =____，38 =____，所以 3-8 ___ -38 ；
(2)因为 3-27 =___，327 = ____ , 3-27 ___ -327
(3)因为 3-43 =___， 343 =____，所以 3-43 __ − 343
思考：(1)各题中被开方数有什么关系?
(2)这些数的立方根有什么关系?
(3)根据计算结果，可以得到什么初步结论?
讨论：(1) 3a 表示 a 的立方根，那么 (3a))³ 等于什么? 3a3等于什么?

(2) 3-a 与 -3a 有什么关系?
要点归纳：
结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即______________.
结论2：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数，即_______________.
【典型例题】
例2求下列各式的值:
(1) 3-512； (2) −3-0.001； (3) 3-43.
【练一练】
1.364的算术平方根是_________.
2. 若 32y-1 与 31-3x 的值互为相反数，则 x/y 的值为_____.

探究点三、利用计算器求立方根
由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
【典型例题】
例3 用计算器求下列各数的立方根：2197，3.
用计算器计算:
(1) 31331＝_______，3343 ＝_______，30.512＝_______ .
(2) 30.000216＝_______，30.216 ＝_______，
3216 ＝_______，3216000＝_______，
观察题(2)中的式子，你能发现什么规律?
【典型例题】例4 若 30.3 ≈ 0.6694，则 3300≈ _______.
变式：已知3n ≈ 1.26，3m ≈12.6，用含 n 的式子表示 m. .
课堂检测
1.27的立方根为 ( )
A. ±3 B. 3 C.-3 D. 9
2. 下列说法正确的是 ( )
A.正数有2个立方根 B-8的立方根是±2
C.负数没有立方根 D.-1的立方根是-1
3. 将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 ( )
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D.5cm
4. 计算：
(1) 3 78-1 ＝________ ；(2) 3(-4)3 ＝_________；(3)－3-216 ＝_________.
5. 若 323.7 ≈ 2.872，3x ≈ 28.72，则x ＝_______.
6. 求下列各式中的x：
(1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729.
7. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
参考答案
【自主学习】
(1) 是个正方体，各棱长相等 (2)根据体积求棱长 (3) 体积＝棱长3棱长＝6 cm
【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算 8 -8 0.125 -0.125 8/27 -8/27 0
思考 1 正数的立方和平方结果均为正数，0的平方和立方结果都是0，负数的平方是正数，立方是负数.
思考 2：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根．
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗?
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
思考 4：开立方与立方互为逆运算.
填一填 1 0.4 0.4 -2 -2 −1/2 −1/2 0 0
【典型例题】
例1 －2 7 －4 5/3
【练一练】1.-3 3/2 0.6 3-5
探究点二、互为相反数的两个数的立方根的关系
计算 （1）–2 –2 = （2）–3 3 = （3）–4 4 =
思考：(1)互为相反数. (2)互为相反数.
(3)互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
讨论 （1）(1) 3a³ ＝ a，( 3a )³＝ a.（2）相等
要点归纳 3-a ＝ −3a (3a)³＝3a3 ＝a
【典型例题】例2 −8 0.1 −4 【练一练】 2 2/3
探究点三、
【典型例题】例3 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60
例4 6.694 变式训练 m=1000n
课堂检测
1.B 2.D 3.A 4. (1)－1/2 (2)－4 (3) 6 5. 23700
6. (1)解：x＝－0.3. (2)解：x＝11.
7.解：设正方体的棱长为a cm，则依题意得a3 ＝ 9×3×4×2 ＝ 216，
解得a＝6.故这个正方体的棱长为 6 cm.