初中人教版（2024）平方根优质第2课时导学案

这是一份初中人教版（2024）平方根优质第2课时导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.了解算术平方根的概念和意义.
2. 会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题.平方根 导学案（教学过程）
本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能区分平方根与算术平方根，培养学生的数感和逻辑推理能力，教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展提升—总结收获”五个环节展开，注重师生互动、分层教学，突出知识性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求。
一、复习铺垫，导入新课（5分钟）
1. 师生互动：教师提问“什么是乘方运算？”，引导学生回忆乘方的定义——求n个相同因数积的运算叫做乘方，随后板书简单例题：$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$、$$3^2=9$$、$$0^2=0$$，让学生快速计算并回答，唤醒旧知。2. 情境导入：结合板书提问“已知一个数的平方是4，这个数是多少？”，引导学生发现有两个数（2和-2）的平方等于4，进而引出本节课主题——平方根，明确本节课学习任务：理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根计算问题。
二、探究新知，突破核心（15分钟）
本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究，注重概念讲解、实例分析和易错点强调，贴合七年级学生认知特点。
1. 平方根定义探究：结合复习题中的$$2^2=4$$、$$(-2)^2=4$$，讲解“如果一个数x的平方等于a（即$$x^2=a$$），那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）”，强调定义中的关键：x是a的平方根，必须满足$$x^2=a$$，并举例说明：因为$$3^2=9$$、$$(-3)^2=9$$，所以3和-3都是9的平方根；因为$$0^2=0$$，所以0的平方根是0。
2. 平方根的表示方法：讲解平方根的规范表示——正数a的平方根记为$$\pm\sqrt{a}$$，其中$$\sqrt{a}$$叫做a的算术平方根（算术平方根是正数a的正的平方根），强调符号含义：“$$\sqrt{}$$”是平方根符号，“±”表示两个平方根（正、负），举例说明：9的平方根记为$$\pm\sqrt{9}=\pm3$$，其中$$\sqrt{9}=3$$是9的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0，即$$\pm\sqrt{0}=0$$。
3. 易错点与注意事项：着重强调三个关键要点：① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 0的平方根只有一个，就是0本身；③ 负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数），结合反例讲解：“-4有没有平方根？”，引导学生思考“没有一个数的平方等于-4，所以-4没有平方根”，避免学生混淆；同时区分“平方根”与“算术平方根”，明确算术平方根是平方根中的正数部分，只有一个，而平方根有两个（正数和负数）。
4. 初步尝试：让学生尝试说出64、25、16的平方根和算术平方根，教师巡视指导，对表述不规范的学生进行个别纠正，完成后邀请2-3名学生发言，师生共同点评，巩固概念和表示方法。
三、实操巩固，强化技能（10分钟）
本环节通过分层练习，让学生巩固平方根的定义、表示方法和求法，提升解题熟练度，兼顾基础和提升。
1. 基础练习：让学生完成下列题目：① 求下列各数的平方根：100、$$\frac{1}{4}$$、0.09；② 求下列各数的算术平方根：36、81、0.16；③ 判断下列说法是否正确，错误的请改正：a. 5的平方根是$$\sqrt{5}$$；b. 0的算术平方根是0；c. -9有两个平方根。教师巡视，检查学生解题过程和格式，及时纠正错误，确保基础技能落实。
2. 提升练习：给出题目：① 若一个数的平方根是$$\pm5$$，求这个数；② 若$$\sqrt{x}=3$$，求x的值；③ 比较$$\sqrt{10}$$与3的大小（提示：结合算术平方根的定义，$$3=\sqrt{9}$$），引导学生思考逆向思维和简单的大小比较方法，培养逻辑推理能力。
3. 小组合作：将学生分成4-6人小组，每组发放练习纸，小组内合作完成练习，互相检查解题过程，纠正错误，讨论易错点，教师巡视各小组，对有困难的小组进行指导，培养学生的合作意识和互助能力。
四、拓展应用，深化理解（10分钟）
本环节将平方根知识与生活实际结合，通过实际问题拓展学生思维，实现“学用结合”，深化对概念的理解。
1. 实例应用：展示实际问题：一个正方形花坛的面积是25平方米，求这个正方形花坛的边长。引导学生思考：正方形的面积=边长×边长，设边长为x米，则$$x^2=25$$，所以x是25的平方根，又因为边长是正数，所以x是25的算术平方根，即$$x=\sqrt{25}=5$$，讲解解题思路，让学生明白平方根在实际问题中的应用，强调实际问题中需结合题意取舍平方根（取正数）。
2. 拓展思考：提问“若一个数的算术平方根是它本身，这个数是多少？”，引导学生自主思考、讨论，得出答案（0和1），并说明理由：$$\sqrt{0}=0$$，$$\sqrt{1}=1$$，培养学生的逆向思维和深度思考能力。
3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和思路，师生共同评价，肯定优点，指出不足，对思路清晰、方法正确的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。
五、总结提升，梳理收获（5分钟）
1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么？”，让学生自主发言，梳理平方根的定义、表示方法、注意事项和求法，明确平方根与算术平方根的区别和联系，强调易错点（负数没有平方根、算术平方根是正数）。
2. 梳理收获：教师补充总结，强调“求一个数的平方根，关键是找到一个数，使其平方等于这个数”，区分“平方根”与“算术平方根”的核心差异——正数的平方根有两个，算术平方根只有一个（正的），鼓励学生课后多练习，熟练掌握解题方法，将数学知识与生活实际结合起来。
3. 布置作业：让学生课后巩固平方根的知识，完成基础计算题（求各数的平方根和算术平方根），并解决1道实际应用题（如正方形面积求边长），下节课上台展示解题过程，进一步强化技能，深化对概念的理解。
整个教学过程注重知识性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解平方根的定义，掌握平方根的表示方法和求法，能解决简单的平方根相关问题，同时培养学生的逻辑推理能力和合作意识。
【学习重点】了解算术平方根的概念，会求一些非负数的算术平方根.
【学习难点】难点：会求一些非负数的算术平方根.
【自主学习】
学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm² 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少?
问题 1：这幅正方形油画的边长是多少?
问题 2：你是怎么得出这个结果的呢?
【合作探究】
探究点一、算术平方根的概念和性质
问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系?
问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系?
知识要点: 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 a 叫作 a 的_________. a 的算术平方根用 a 来表示 .
规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为0.
性质 1：一个正数的算术平方根是正数.
性质 2：0 的算术平方根是 0.
性质 3：负数没有算术平方根.
性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【典型例题】
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
【练一练】
1. 求下列各数的算术平方根.
(1) 121； (2) 0； (3) ； (4) 0.25.
2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为_________.
【归纳总结】
【练一练】
3. 下列说法正确的是________.
① －3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ －36 的平方根是 －6；
④ 平方根等于 0 的数是 0；
⑤ 64 的算术平方根是 8.
剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为2 dm2 的大正方形？
回忆三角形三边之间的关系，2 究竟是一个怎么样的数？
算一算：估算 2 的大小.
(1) 比较 1，2，2 之间的大小；
(2) 比较1.4，2，1.5 之间的大小；
(3) 比较 1.41，√2，1.42 之间的大小.
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗?
课堂检测
1.4的算术平方根是 ( )
A. ±2 B. 2 C. -2 D. 2
2. 化简25 的结果为 ( )
A.±5 B.25 C.－5 D. 5
3. 下列说法正确的是 ( )
A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根
C. ± 3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根
4. 计算：(1)－0.01 ＝______；(2) 1.44 ＋64 ＝_______ .
5. (1)若 m ＋｜n｜＝0，则m＝_______，n＝_________；
(2)已知a ＋ b ＝0，则 (a－b)2026 的值为________.
6. 教材P42例3变式求下列各数(式）的算术平方根：
(1) 121； (2) 214 ； (3) 412−402
参考答案
【自主学习】
问题1 5 dm 问题2 由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm.
【合作探究】
探究点一、算术平方根的概念和性质
问题1 正方形的边长是面积值的正平方根.
问题2 面积越大，边长越大. 知识要点 算数平方根
【典型例题】
例1（1） 100 = 10. （2） 4964 = 78. （3）0.0001 = 0.01
【练一练】
(1) 11. (2) 0 . (3) 3/8 . (4)0.5.
2. 22
3.①④⑤
算一算 （1）因为 1² = 1，(2)² =2，2 ² = 4. 所以1