初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第1课时教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第1课时教案及反思，共30页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教材分析
本节课选自人教版初中数学八年级下册第23章《一次函数》，是一次函数单元的应用课，处于“概念——图象——性质——应用”的知识链条末端，是一次函数知识体系的升华环节. 此前学生已学习一次函数的概念、图象与性质，本节课将其拓展到分段函数的实际应用，是函数建模思想的集中体现.
教材以玉米种子购买、出租车收费、实验室温控三个生活实例为载体，教学逻辑链条清晰：首先以“玉米种子购买”为例，引导学生分析“不同购买量对应不同单价”的分段情境，抽象出分段一次函数的解析式与图象；再通过例题的规范解答，呈现“分析情境——分段建模——求解应用”的完整解题流程；最后通过两道练习，分别巩固“温度变化”“出租车收费”两类典型分段函数问题，从“单价分段”延伸到“情境分段”，层层递进，帮助学生理解分段函数的本质是“不同区间对应不同函数关系”，体会一次函数在解决实际问题中的工具性价值，为后续二次函数、反比例函数的应用学习奠定建模方法基础.

二、学情分析
已有基础：掌握一次函数的概念、解析式求法、图象绘制与性质应用，能解决简单的一次函数实际问题，具备初步的抽象建模能力和变量分析意识，同时对生活中的分段收费、分段变化等情境有直观认知，为分段函数的学习提供了经验基础.
存在困难：一是对“分段”的本质理解不足，易混淆分段点的归属，在不同区间的函数解析式推导中容易出错；二是缺乏分类讨论的思维习惯，面对多情境、多条件的实际问题，难以主动划分自变量的取值区间；三是建模能力薄弱，无法将实际问题中的数量关系转化为分段函数模型，也难以结合函数图象分析问题.
认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对生活化的实例兴趣浓厚，但抽象概括能力仍有待提升，需要通过具体情境的分析、动手建模的过程，逐步建立分段函数的认知，理解分段函数的本质，形成“分段建模、分类求解”的解题思维.

三、教学目标
1.理解分段一次函数的概念，能根据实际问题的分段情境，写出分段函数的解析式并解决简单应用问题.
2.分析实际问题中的分段条件，确定自变量的取值区间，准确推导分段函数的解析式，理解分段函数的图象特征.
3.经历“实际问题抽象为分段一次函数模型”的过程，体会分类讨论思想、建模思想在数学中的应用，提升分析问题和解决问题的能力.
4.感受一次函数在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣，培养严谨的思维习惯和应用意识.

四、教学重难点
重点：理解分段一次函数的概念，能根据实际问题的分段情境，写出分段函数的解析式并解决简单应用问题；
难点：分析实际问题中的分段条件，确定自变量的取值区间，准确推导分段函数的解析式，理解分段函数的图象特征.

五、教学过程
情境导入
在日常生活中很多计费问题都不是固定单价.比如乘坐出租车，3公里以内是起步价，超过3公里后每公里加收费用；还有手机话费、阶梯水费等，在不同范围内收费规则不一样.
面对这类问题，我们不能只停留在计算单个数值，而要学会用函数的眼光看待变化过程，用函数模型表达数量关系，进而利用函数解决更一般、更复杂的实际问题.
师生活动：教师展示出租车、话费、水费等分段收费情境，提问“这些计费规则有什么共同点?”；学生观察、讨论，发现“分段计费”特征，引出用函数模型刻画这类问题的必要性.
设计意图：从学生熟悉的生活实例切入，唤醒已有经验，感知分段计费的普遍性，体会数学与生活的联系；引导学生从算术思维向函数思维过渡，为分段一次函数的建模学习做好铺垫，激发探究兴趣.
探究新知
活动：探究应用一次函数解决实际问题
问题1：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢?
师生活动：教师出示玉米种子购买问题，引导学生分析分段条件，分步推导解析式；学生小组讨论分段区间，尝试写出函数表达式，结合图象验证，再代入数值求解，教师适时点拨，总结建模步骤.
答：1.将实际问题抽象为一次函数问题；
2.根据条件求得一次函数的解析式；
3.结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
问题2：某玉米种子的价格为 40元/kg.若一次购买不超过2 kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折.
(1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x＞2讨论.
解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；
当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，
其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)按24元/kg(即六折)计价，
函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32.
函数解析式也可以合起来表示为
y=40x，0≤x≤2，24x+32，x>2.
注意：分段函数是一个函数，不是多个函数，每一段必须标注自变量取值范围.
函数图象如图所示.
(2)因为4＞2，所以 y=24×4+32=128.
因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
总结：利用一次函数的相关性质解决实际问题常见类型如下：
1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解；
2.题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，需要先根据题目信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题.
注意：应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.
设计意图：通过具体例题引导学生经历“分析情境——分段建模——应用求解"的过程，掌握分段一次函数的建模方法，理解分段函数的本质，体会数学建模思想，提升分析和解决实际问题的能力.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师出示阶梯水费、电费例题，引导学生划分分段区间，推导解析式；学生自主分析、小组交流，完成分段建模与求解，教师点拨易错点，总结解题步骤，强化分段意识.
例1 2025 年3 月1 日，陕西省《节约用水条例》正式实施，为水资源可持续利用提供法治保障，为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13 立方米时，每立方米4 元，超出13 立方米时，超出的部分每立方米6 元. 设某用户月用水量为x立方米，水费为y 元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若该用户某月预算水费为58 元，实际水费为50 元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？
分析：(1)根据收费标准分两段分析：用水量0≤x≤13时，按4元/立方米计费；x>13时，前13立方米按4元/立方米计费，超出部分按6元/立方米计费，据此列分段函数.
(2)分别将预算水费58元、实际水费50元代入对应解析式，求出预算与实际用水量，然后两个相减即可.
解：(1)由题意得：当0≤x≤13时，y=4x；
当x>13 时，y=13×4+6(x - 13)=6x-26.
综上所述：y关于x的函数解析式为y=4x(0≤x≤13)6x−26(x>13).
(2)由(1)可知：当y＝58时，则6x－26＝58，
解得x＝14；
当y＝50时，则4x＝50，解得x＝12.5.
14－12.5＝1.5(立方米)．
答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米．
总结：用解析式法表示分段函数的注意点：
(1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同；
(2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.
例2 我市电费实行阶梯式收费，标准如下：
(1)设该市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式；
(2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费；
(3)某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？
解：(1)①x≤200时，y=0.55x；
②200400时，y=0.55×200+0.6×200+0.8(x−400)=0.8x−90；
综上：y=0.55x，x≤200，0.6x−10，200400.
(2)当x=260时，y=0.6×260−10=146，
答：该户这个月的电费为146元；
(3)∵当x=200时，y=110，
当x=400时，y=230，
∴当y=170时，2003)
(2)∵23>9
∴2x+3=23，解得x=10
∴他的乘车路程是10km.
师生活动：教师布置教材练习，引导学生独立完成分段函数建模与求解；学生自主完成两道练习，同桌互查解析式与取值范围，教师巡视点拨易错点，再请学生板演解题过程并讲解思路.
设计意图：通过两道典型教材练习，巩固分段一次函数的建模与应用，强化学生对分段区间、解析式推导及自变量取值范围的掌握，检测课堂学习效果，提升学生解决实际问题的能力.
【限时训练】
1.根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调.调整后，居民每月用气费用y(元)与每月用气量x(m3)之间的函数图象如图所示，其中OA段(第一阶梯)符合正比例函数模型，AB段(第二阶梯)符合一次函数模型，则下列说法正确的是( )
A. 第一阶梯的价格是3.2元/m3
B. 第二阶梯的价格是3.82元/m3
C. 当月用气量为120m3时，费用为376.2元
D. a的值为90
【答案】B
2.某商店在节日期间开展优惠促销活动：凡购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享受打折优惠，若购买商品的实际付款金额y(单位：元)与商品原价x(单位：元)之间的函数关系的图象如图所示，则图中a的值是( )
A. 300 B. 320 C. 340 D. 360
【答案】C
【解析】解：当x≥200时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵图象过点(200,200)和点(500,410)，
∴200k+b=200,500k+b=410,解得k=0.7,b=60.
∴y与x之间的函数关系式为y=0.7x+60(x>200)，
当x=400时，y=0.7×400+60=340．∴a的值为340．
3.某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案(设购票张数为x张，购票总价为y元).方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，x的值为( )
A. 80B. 120 C. 160 D. 200
【答案】D
【解析】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
12000=100k，得k=120，
即OA段对应的函数解析式为y=120x，
设AB段对应的函数解析式为y=ax+b，
100a+b=12000120a+b=13200，得a=60b=6000，
即AB段对应的函数解析式为y=60x+6000，
由题意可得，方案二中y与x的函数关系式为y=50x+8000，
令50x+8000=120x，得x=8007，
∵x为整数，
∴x=8007应舍去，
令60x+6000=50x+8000，得x=200，
即当x=200时，两种方案购票总价相同，
故选：D．
4.河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特.为了充分挖掘旅游资源，某景区销售一批印有当地风土人情的太阳帽.太阳帽的单价是10元，若一次购买不超过3顶，则售价不变，若一次购买超过3顶，超过的部分打五折.写出付款金额y与购买太阳帽的数量x的函数解析式，并画出图象．
【答案】解：当0≤x≤3时，太阳帽的单价为10元，函数解析式为y=10x;当x>3时，函数解析式为y=10×3+0.5×10(x−3)=5x+15，函数图象如图所示．

5.某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y(℃)随时间x(分钟)变化的函数图象．
(1)求该图象的函数表达式；
(2)若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由．
【答案】解：(1)设函数表达式为y=kx+b，
当0≤x≤10时，将(0,20)，(10,240)代入得：
b=2010k+b=240，
解得k=22b=20，
∴y=22x+20；
当10