初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第3课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第3课时教案设计，共8页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思款式等内容，欢迎下载使用。
1. 内容
本节课是在学习了一次函数的有关知识后，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，学习建立一次函数模型解决方案设计问题的方法。
2. 内容分析
本节课是一次函数应用的综合提升课时，聚焦带约束条件的方案设计与最优决策，融合一次函数建模、不等式取值范围、函数增减性求最值，是函数、方程、不等式的综合应用，突出数学建模与优化决策能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：建立一次函数模型解决方案设计问题。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
（2）经历建立一次函数模型解决方案设计问题的过程，培养模型观念和应用意识。
2. 目标解析
（1）能在费用限制、数量限制等实际约束下，列出一次函数解析式，确定自变量取值范围，利用函数增减性求出最优方案与最值。
（2）经历“设变量→列函数→定范围→求最优”的完整建模过程，提升综合运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力，强化模型观念与优化意识。
三、教学问题诊断分析
存在问题：
1. 学生不会从实际问题中提取不等式约束条件，无法正确确定自变量取值范围。
2. 不理解一次函数增减性与最值的关系，难以设计最优方案。
应对策略：
引导学生圈画“不超过、至少、不少于”等关键词，转化为不等式，确定自变量取值范围。
结合k的正负分析函数增减性，明确“最值出在端点”，规范最优方案推导步骤。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：建立一次函数模型解决方案设计问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
运用一次函数解决实际问题的过程：
做一件事情，有时有不同的实施方案，设计最佳方案是十分必要的.在设计方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.
设计意图：回顾函数建模流程，点明“方案设计需满足约束条件”，自然引出本节课核心任务，衔接旧知、明确学习方向。
（二）合作探究
探究2 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示.
(1)共需租多少辆客车?
(2)给出最节省费用的租车方案.
分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下要求：
①要保证240名师生乘车都有座位；
②要使每辆客车上至少有1名教师.
根据①可知，客车总数不能小于 6 ；根据②可知，客车总数不能大于 6 .综合起来可知客车总数为 6 .
(2)租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即
y=400x+280(a−x).
将(1)中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得
y= 120x+1 680 .
为使240名师生乘车都有座位，x不能小于 4 ；为使租车费用不超过2 300元，x不能超过 5 .综合起来可知x的取值为 4或5 .
追问 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由.
答：两种方案：
①4辆甲种客车，2辆乙种客车；
②5辆甲种客车，1辆乙种客车.
应选择方案①，因为方案①费用少.
归纳 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
设计意图：以租车问题为载体，让学生掌握“总车辆数确定→列费用函数→不等式定范围→比较选最优”的方法，突破带约束条件的方案设计难点。
（三）典例分析
例 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示.
为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2 000元的资金采购这两种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少.
解：设采购A型计算器x台，
则利润y=10x +6(100−x)，即y=4x+600.
由22x+19(100−x)≤2 000，得x≤3313.
当x=33时，y取得最大值.
当采购A型计算器33台，B型计算器67台时，利润达到最大，最大利润为732元.
设计意图：通过进货利润最大化问题，训练“资金限制→自变量取值范围→函数增减性→求最大利润”，强化一次函数求最值的应用。
（四）巩固练习
练习 春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等．
(1)设每个足球的价格为a元，求a的值．
(2)学校决定购买足球和排球共50个．
①求购买足球和排球的总费用y（元）与购买足球数量x（个）之间的函数关系式．
②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球__25__个最合算，总费用为__4000__元．
解：（1）设每个足球的价格为a元，则每个排球的价格为a−40元，
由题意得： 1000a=600a−40，
解得：a=100，
经检验，a=100是原方程的解，且符合题意，
答：每个足球的价格为100元；
（2）①由（1）得每个足球的价格为100元，则每个排球的价格为100−40=60元，
依题意，购买足球和排球的总费用y（元），购买足球数量x（个），
则购买排球50−x个．
由题意得：y=100x+6050−x=40x+3000.
设计意图：结合采购球类问题，巩固单价计算、函数建模、不等式约束与最优决策，提升综合解题能力。
归纳总结

（六）感受中考
1．（2025年河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
解：（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元，
则2x+3y=4404x+5y=800，
解得：x=100y=80，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
（2）设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果12−a箱，
则12−a≤a，解得：a≥6，
设该公司需花费w元，
则w=100a+8012−a=20a+960，
∵20>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=6时，w有最小值为20×6+960=1080，
即该公司最少需花费1080元．
4．（2025年西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000原来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
解：（1）设生产甲、乙两款服装分别为x件，y件，
根据题意得x+y=300700x+800y=230000，解得：x=100y=200，
答：生产甲、乙两款服装分别为100件，200件.
（2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装500−m件，
根据题意得m≥2500−mm≤500，解得10003≤m≤500，
设获得的总利润为W元，
∴W=1000−700m+1200−800500−m=−100m+200000，
∵−100