人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数优质第3课时教案及反思

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数优质第3课时教案及反思，共5页。教案主要包含了方案设计型问题的解题策略，物资调运方案问题的解题策略等内容，欢迎下载使用。

解题大招 方案设计问题
一、方案设计型问题的解题策略：
方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下：
1.根据题意求出函数解析式；
2.由图象、题设信息列不等式(组)求得自变量的取值范围；
3.利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案.
二、物资调运方案问题的解题策略：
1.用表格或图示的方法，厘清数量关系；
2.根据表格或图示中的数量关系列出函数解析式；
3.根据题意确定自变量的取值范围；
4.根据函数解析式及自变量的取值范围，结合一次函数的增减性，按题设要求确定调运方案.
例 某主题公园周边的酒店于暑期旅游旺季(7月1日——8月31日)推行优惠举措.酒店的标准三人间日常标价为500元/天，标准双人间日常标价为400元/天.当团体入住人数达30及以上时，可尊享七折优惠.一个36人的旅游团计划于7月15日入住该酒店.且要求所租赁的客房需满员入住.鉴于酒店客房资源统筹调配的实际需求，规定需同时租赁两种不同类型的客房.
(1)若该旅游团中24人住三人间，其余人住双人间，则一天的住宿费是4480元.
(2)设三人间共住了x人，该旅游团一天的住宿费为y元，请求出y关于x的函数解析式.
(3)第(1)小题中一天的住宿费是否为最低费用?若是，请说明理由；若不是，请设计一种能使住宿费用最低的方案，并求出最低费用.
分析：(1)(2)根据折扣×(需要三人间的数量×标准三人间日常标价+需要双人间的数量×标准双人间日常标价)计算即可；
(3)求出所有满足条件的x的值，根据一次函数的增减性确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可.
解：(1)解析：24人住三人间，需要24÷3=8个房间，36－24=12人住双人间，需要12÷2=6个房间，住宿费为0.7×500×8+0.7×400×6=4480(元).故答案为4480.
2y=0.7x3×500+36−x2×400,
即y=−703x+5040,
所以y关于x的函数解析式为y=−703x+5040.
(3)因为x须是3的非负整数倍，36－x须是2的非负整数倍，
又因为36是2的整数倍，
所以x须是2的非负整数倍，
所以x须是6的非负整数倍.
当x=0时，36－0=36(人)；
当x=6时，36－6=30(人)；
当x=12时，36－12=24(人)；
当x=18时，36－18=18(人)；
当x=24时，36－24=12(人)；
当x=30时，36－30=6(人)；
当x=36时，36－36=0(人).
因为规定需同时租赁两种不同类型的客房，
所以x=6，12，18，24，30.
因为−7030，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160(元).
由此，我们可以得出活动一问题的答案：
(1)共需租6辆客车.
(2)最节省费用的租车方案为租用甲种客车4辆，乙种客车2辆.
【对应训练】
教材P134练习.
【教学建议】
教师引导学生按顺序逐步探究作答，对于提出选取乙种客车的辆数作为自变量的同学，应给予肯定，可让部分学生用该方法解题，对比最终结果是否相同.
告诉学生：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
设计意图
自行选择自变量构建一次函数模型解决方案设计问题.
活动三：强化巩固，提升探究
例 一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如表所示：
甲品牌
乙品牌
进价/(元/件)
60
56
售价/(元/件)
80
72
设购进甲品牌书包x个，销售完这80个书包所获得的总利润是y元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)该文具店能否获得1406元的利润?说明理由.
(3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润?最大利润是多少?
解：(1)y=(80－60)x+(72－56)(80－x)，即y=4x+1280.
(2)该文具店不能获得1406元的利润.理由如下：
当y=1406时，得4x+1280=1406，解得x=31.5.
因为x为整数，所以该文具店不能获得1406元的利润.
(3)由条件可得x≤1280−x所以x≤803.
在y=4x+1280中，y随x的增大而增大.
因为x为整数，所以当x=26时，y取得最大值，为4×26+1280=1384.
此时80－x=54.
因此，购进甲品牌书包26个，乙品牌书包54个时，该文具店获得最大利润，最大利润为1384元.
【对应训练】
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲品牌酸奶的进价为8元/罐；乙品牌酸奶的进货总金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐.某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙品牌酸奶的销售量不低于150罐，且不高于400罐.
(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；
(2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为w元，求出w(单位：元)与乙品牌酸奶的进货量x之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案.
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx(k≠0)，把(50，500)代入y=kx(k≠0)，得k=10，所以y=10x.
(2)设乙品牌酸奶的进货量为x罐.由题意，可得150≤x≤400.
由(1)得乙品牌酸奶的进价为10元/罐，则w=(12－8)(800－x)+(15－10)x，即w=x+3200.
因为k=1>0，所以w随x的增大而增大，
因为150≤x≤400，所以当x=400时，w最大，最大值为400+3200=3600，800－400=400(罐)，
即当甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，该超市获得最大利润.
【教学建议】
学生自主探究，教师再根据学生完成情况进行集中讲评，注意提醒学生要根据题目条件确定自变量的取值范围，再结合函数的增减性求得最值，从而确定最佳方案.
设计意图
设置与最大利润相关的方案设计问题，巩固本课所学，强化学生的实际运用能力.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
设计最佳方案，通常会用到函数的相关知识，你能说说建立相关函数模型的步骤和方法吗?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P137习题23.4第9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
23.4 实际问题与一次函数
第3课时 设计方案
结合函数增减性求最值类方案设计问题.
教学反思
本节课是在上节课的基础上进一步探讨与方案有关的实际问题，是上节课的延续和升华，区别在于需要根据一次函数的性质自己找出最佳方案，作出决策，同样是以一次函数作为载体，从实际背景中抽象出函数模型从而解决问题，往往体现于租车问题、最大利润问题、调配问题等.解题时注意把握自变量的取值范围，且绝大多数实际情况下需要取正整数值.