初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.2 一次函数的图象和性质第3课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.2 一次函数的图象和性质第3课时教案设计，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教材分析
本节课选自人教版初中数学“一次函数”章节，是在学生学习了一次函数的概念、图象和性质后的核心内容.在整个教材体系中，它上承二元一次方程组的解法，下启后续反比例函数、二次函数解析式的求法，是“待定系数法”这一核心数学思想的首次系统应用，具有承上启下的关键地位.
教材的教学逻辑链条清晰且层层递进：首先，通过“已知两点求一次函数解析式”的例题，引入待定系数法的定义与步骤，让学生初步建立“设——代——解——写”的解题流程；其次，通过分段函数的实际应用例题，将待定系数法与实际问题结合，拓展学生对函数定义域、分段解析式的理解；最后，通过课后练习，巩固两点式求解析式的方法，并渗透数形结合思想.教材的编排从纯代数计算到实际情境应用，从单一解析式到分段函数，符合学生由浅入深的认知规律，既落实了基础知识，也为后续函数学习搭建了通用方法框架.

二、学情分析
已有基础：学生已经掌握一次函数的定义、图象与性质，知道一次函数的图象是一条直线，也熟练掌握了二元一次方程组的解法，具备了列方程求解的代数基础. 同时，学生在之前的学习中已经接触过简单的“求未知系数”的问题，对“用方程确定未知参数”的思想有初步感知.
存在困难：一是容易混淆“两点坐标代入解析式”的步骤，出现列方程组错误、计算失误的问题；二是对“待定系数法”的本质理解不深，容易机械套用步骤，无法理解“为什么两个点就能确定一条直线”的几何意义；三是面对分段函数的实际问题时，难以准确划分自变量的取值范围，无法将实际情境转化为函数模型.
认知特点：初中阶段的学生以具象思维为主，抽象逻辑思维正处于发展阶段，对纯代数的抽象方法理解需要借助具体例题和几何图象的支撑. 同时，学生对与生活相关的实际问题(如行程问题)兴趣较高，容易在情境化问题中建立数学模型，但也容易被复杂情境干扰，忽略核心的待定系数法步骤.

三、教学目标
1.掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两点坐标正确列出并求解二元一次方程组写出一次函数的解析式.
2.理解待定系数法的本质，能结合函数图象与实际情境，确定分段函数的解析式及自变量的取值范围.
3.经历“设解析式——列方程组——求解系数——写出解析式”的探究过程，体会待定系数法、数形结合的数学思想，提升建模能力与运算求解能力.
4.通过解决实际情境中的函数问题，感受数学与生活的联系，激发对数学的好奇心与探究欲，培养严谨的运算习惯与合作探究意识.

四、教学重难点
重点：掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤，能根据两点坐标正确列出并求解二元一次方程组写出一次函数的解析式；
难点：理解待定系数法的本质，能结合函数图象与实际情境，确定分段函数的解析式及自变量的取值范围.

五、教学过程
复习回顾
问题1：一次函数的图象是什么?如何画出它们的图象?
答：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b.
画法：①平移：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线 y＝kx 平移 |b|个单位长度得到(当 b＞0 时，向上平移；当 b＜0 时，向下平移)．
②两点法：两点确定一条直线.
思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗?
师生活动：教师提问引导学生回顾一次函数图象特征与画法，学生抢答补充平移、两点法要点，师生共同梳理核心知识，自然过渡到“由点求解析式”的思考问题.
设计意图：通过复习旧知唤醒已有经验，搭建知识桥梁，既巩固一次函数图象的基础认知，又为待定系数法的学习做好铺垫，激发学生探究新知的兴趣.
探究新知
活动：探究用待定系数法求一次函数的解析式
问题2：已知一次函数的图象过点(2，－4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式.
师生活动：教师引导学生讨论问题，通过例题示范待定系数法的“设、代、解、写”四步，学生梳理步骤，师生共同总结数与形的双向转化关系.
讨论以下问题：(1)一次函数里有几个未知的常数?
(2)要确定两个未知数，我们一般需要几个条件?
(3)图象上的点，和函数解析式有什么关系?
答：(1)k和b两个
(2)两个条件，列两个方程
(3)点在函数图象上 ⇄点的坐标满足函数解析式
分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b.
因为图象过(2，-4)与(-3，11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
因为y＝kx＋b的图象过点(2，－4)与(－3，11)，
所以2k+b=−4，−3k+b=11.
解方程组，得k=−3，b=2.
因此，这个一次函数的解析式为y＝－3x+2.
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
特别解读：①在正比例函数y＝kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除(0，0) 外的条件即可求出k的值；
②在一次函数y＝kx＋b 中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
总结：用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
(1)设：设一次函数的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)；
(2)代：将已知的 x，y 的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数 k，b 的二元一次方程组；
(3)解：解方程组求得系数 k，b 的值；
(4)写：把 k，b 的值代入所设的解析式，写出解析式．
问题3：函数解析式与一次函数图象之间有什么关系?
答：
通过满足解析式或者图象上的两个定点，可以实现一次函数解析式和一次函数图象之间的转化.
设计意图：通过探究与示范，让学生掌握待定系数法求解析式的步骤，理解数与形的联系，形成完整的解题方法体系，落实数形结合思想.
问题4：一位记者乘坐汽车赴 360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y (单位：km)与时间 x (单位：h)之间的关系如图所示.
(1)求汽车行驶的路程 y 关于时间x 的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
师生活动：教师呈现分段函数的实际情境，引导学生分段讨论求解解析式，学生合作探究不同时段的函数表达式，师生共同总结实际问题中确定函数解析式的关键步骤.
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论.
解：(1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分.设函数的解析式为y=k1x.因为它的图象过点A(2，180)，所以180=2k1；解得k1=90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分.我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式.设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B的坐标分别代入y=k2x+b2，得
2k2+b2=1803.5k2+b2=270
解这个方程组，得
k2=60b2=60
因此，当x＞2时，函数的解析式为y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；
当x＞2时，y=60x+60.
(2)由图象可知，当y=360时，x＞2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
追问：由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗?
答：0≤x≤5
总结：在实际问题中确定函数解析式的两个关键：
(1)根据实际问题确定函数类型（是一次函数还是正比例函数），并设出相应的函数解析式．
(2)根据函数解析式中未知系数的个数，在实际问题中获取相等组数的自变量与函数的对应值．
设计意图：通过实际问题，让学生掌握分段函数的求解方法，理解自变量取值范围的实际意义，体会待定系数法在复杂情境中的应用，提升建模与应用能力
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师引导学生分析例1的两种情况，学生分组讨论并完成解题；例2中师生结合图象信息，分步求解参数、解析式与速度问题，最后共同总结易错点与解题方法.
例1 已知一次函数的图象经过(0，－2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为3，求一次函数的解析式.
分析：题中只知道直线经过点(0，－2)，无法确定直线与x轴的交点是位于y轴的左侧还是右侧，所以有两种情况.
解：设一次函数的图象与x轴的交点为A(x，0)，与y轴的交点为B.
因为S△OAB＝3，所以12OA·OB＝3，即12|x|·2＝3，解得x＝±3.
所以A(－3，0)或A(3，0).
设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k ≠ 0).
把点(－3，0)，(0，－2)的坐标代入解析式，得−3k+b=0b=−2.
解得k=−23b=−2所以y＝－23 x－2.
把点(3，0)，(0，－2)的坐标代入解析式，得3k+b=0b=−2
解得k=23b=−2所以y＝23x－2.
综上，一次函数的解析式为y＝－23x－2或y＝23x－2.
总结：用点的横坐标或纵坐标表示线段的长度时，如果不能确定其正负，那么需要用其绝对值来表示.
例2 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h．汽车在区间测速路段行驶的路程y(单位：km)与在此路段行驶的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示．
(1)a的值为_______；
(2)当112 ≤ x ≤ a 时，求y与x之间的函数解析式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h).
分析：由题意得100a＝20，解得a＝15．
答：(1) 15
(2)设当112≤ x ≤15时，y＝kx＋b(k ≠ 0).
由已知得16k+b=1715k+b=20，解得k=90b=2.
因此，y与x之间的函数解析式为y＝90x＋2(112≤ x ≤15).
(3)当x＝112时，y＝90×112＋2＝9.5，
所以先匀速行驶112h 的速度为9.5÷112＝114(km/h).
因为114