专题3.1 数据分析初步（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级下册+答案

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专题3.1 数据分析初步（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc29911" 【题型1 算术平均数】  PAGEREF _Toc29911 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc11185" 【题型2 加权平均数】  PAGEREF _Toc11185 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc8344" 【题型3 中位数】  PAGEREF _Toc8344 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc21168" 【题型4 众数】  PAGEREF _Toc21168 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc12907" 【题型5 统计量的选择】  PAGEREF _Toc12907 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc30694" 【题型6 方差】  PAGEREF _Toc30694 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc25957" 【题型7 标准差】  PAGEREF _Toc25957 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc24387" 【题型8 离差平方和】  PAGEREF _Toc24387 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc30213" 【题型9 四分位数与箱线图】  PAGEREF _Toc30213 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc606" 【题型10 数据的分析】  PAGEREF _Toc606 \h 26  知识点1 算术平均数 1. 一般地，对于n个数x1，x2，⋯，xn，我们把1nx1+x2+⋯+xn叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为x，即x=1nx1+x2+⋯+xn． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若x1，x2，⋯，xn的平均数为x，则有如下结论： （1）nx1，nx2，⋯，nxn的平均数为nx； （2）x1+b，x2+b，⋯，xn+b的平均数为x+b； （3）nx1+b，nx2+b，⋯，nxn+b的平均数为nx+b． 【题型1 算术平均数】 【例1】17位小学生的平均身高为1.5m，其中有一些低于1.5m，他们的平均身高是1.2m；另有一些高于1.5m，他们的平均身高是1.7m，最少有（    ）位学生的身高恰好是1.5m． A．2 B．5 C．8 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数的应用以及通过设未知数、列方程求解整数解的知识，正确理解题意是解题的关键，先设身高低于1.5m为x人，高于1.5m为y人，恰好为1.5m为z人，根据总人数和身高总和不变列出方程，然后通过分析方程的整数解，即可找到身高恰好为1.5m的学生人数的最小值． 【详解】解：设身高低于1.5m为x人，高于1.5m为y人，恰好为1.5m为z人， 则x+y+z=17，即x+y=17−z， 17位小学生的身高总和为：17×1.5=25.5m， 低于1.5m的学生身高总和为：1.2xm， 高于1.5m的学生身高总和为：1.7ym， 恰好为1.5m的学生身高总和为：1.5zm， 根据身高总和不变可得：1.2x+1.7y+1.5z=25.5， 将x+y=17−z变形为x=17−z−y， 代入1.2x+1.7y+1.5z=25.5中得： 1.2×17−z−y+1.7y+1.5z=25.5 即5y+3z=51， 因为x,y都是正整数，z是非负整数，则 当y=3时，5×3+3z=51， 解得z=12， 则x=17−12−3=2， 当y=6时，5×6+3z=51， 解得z=7， 则x=17−7−6=4， 当y=9时，5×9+3z=51， 解得z=2， 则x=17−9−2=6， 要使z最小，即身高恰好为1.5m的学生最少， 由此当y=9，z=2，x=6时，z最小为2， 所以最少有2为学生的身高恰好为1.5m． 故选：A． 【变式1-1】x是x1, x2, ⋯, x100的平均数，a是x1, x2, ⋯, x30的平均数，b是x31, x32, ⋯, x100平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A．x=70a+30b100 B．x=30a+70b100 C．x=a+b2 D．x=a+b 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵x是x1, x2, ⋯, x100的平均数，a是x1, x2, ⋯, x30的平均数，b是x31, x32, ⋯, x100的平均数， ∴x1+x2+⋯+x30=30a，x31+ x32+ ⋯,+x100=70b， ∴x=x1+ x2+ ⋯+x100100=30a+70b100. 故选：B. 【变式1-2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数的应用）六名裁判员给一名跳水运动员打分，若去掉一个最高分，则平均分为9.3分；若去掉一个最低分，则平均分为9.5分．最高分与最低分相差（    ）分． A．0.2 B．1 C．1.2 D．1.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数的应用，先求出去掉一个最低分的总分数，再求出去掉一个最高分的总分数，然后作差即可得出答案． 【详解】解：9.5×5−9.3×5=1（分）， 所以最高分与最低分相差1分． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式3m，m+2之间插入它们的平均数：2m+1，记作第一次操作，在3m与2m+1之间和2m+1与m+2之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为32m+32； ②第三次操作后，从左往右第2个整式为：11m+14； ③经过四次操作后，若m=0，则所有整式的值之和为15； ④经过7次操作后，将得到128个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数、整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的关键． ①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作后的第二整式，即可判断②；③代入m=0，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断． 【详解】解：①第一次操作后：3m,2m+1，m+2， ∵3m+2m+12=52m+12，2m+1+m+22=32m+32， ∴第二次操作后：3m，52m+12，2m+1，32m+32，m+2，即第二次操作后，从左往右第四个整式为32m+32，故①正确，符合题意； ∵3m+52m+122=11m+14， ∴第三次操作后：3m，11m+14，52m+12，⋯，即第三次操作后，从左往右第2个整式为11m+14，故②正确，符合题意； 若m=0，初始和为2， 第一次操作后：和3； 第二次操作后：和为0+12+1+32+2=5； 第三次操作后数为：0、14、12、34、1、54、32、74、2， 则第三次操作后和为0+14+12+34+1+54+32+74+2=9， 第四次操作后数为：0、18、14、38、12、58、34、78、1、98、54、118、32、138、74、158、2， 则第四次操作后：0+18+14+38+12+58+34+78+1+98+54+118+32+138+74+158+2=17，即和为17，故③不符合题意； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第n次操作后有2n+1个整式， ∴第7次操作后得到27+1=129个整式，故④不符合题意． 综上，①②正确，即正确的有2个． 故选：B． 知识点2 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，⋯，xk出现fk次（其中f1+f2+⋯+fk=n），则由平均数的定义可得其平均数为x=x1f1+x2f2+⋯+xkfkn，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中x1的权为f1n，x2的权为f2n，⋯，xk的权为fkn． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 【题型2 加权平均数】 【例2】小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是 元．    【答案】69 【分析】利用加权平均数的定义即可得. 【详解】解：这20名同学购买课外书的平均花费是100×20%+50×50%+80×30%=69元， 故答案为：69. 【点睛】本题主要考查加权平均数，从扇形统计图中得出解题所需数据并熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键. 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如表： 若某班这四项得分（单位：分）依次为95，85，90，80，则该班四项综合得分为 分． 【答案】89.5 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：该班四项综合得分为：95×40%+85×30%+90×20%+80×10%=89.5（分）， 故答案为：89.5． 【变式2-2】（24-25九年级上·北京·开学考试）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方程．设面试成绩所占百分比为x，则笔试成绩所占百分比为1−x，根据加权平均数的定义列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设面试成绩所占百分比为x，则笔试成绩所占百分比为1−x， 根据题意，得：86x+901−x=87.2， 解得：x=0.7， 则1−x=0.3， ∴此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【变式2-3】（24-25九年级下·福建漳州·期中）近期，中国在科研领域的人工智能项目DeepSeek取得了重大突破，在自然语言处理、图像识别等多个关键领域展现出卓越的性能，其创新的算法和广泛的应用前景引发了全球科研界和社会的关注．某初中学校为了解学生对这一前沿科技成果的关注情况以及学生上网习惯，开展了一次关于学生对人工智能项目DeepSeek关注情况及上网时间的问卷调查，结果如下表所示：基于上述数据，回答以下问题： (1)全校学生对DeepSeek研发成果这个热点话题的关注度大约是多少？ (2)全校学生的日人均上网时间大约是多少分钟？ (3)从各年级对DeepSeek的关注度和上网时间，你能发现什么趋势？并分析可能的原因． 【答案】(1)71.5% (2)68.5分钟 (3)见解析 【分析】（1）先分别计算出七、八、九年级中关注DeepSeek的学生人数，将这三个年级的关注人数相加，再除以全校参与调查的总人数，从而得到全校学生对该热点话题的关注度． （2）先分别算出七、八、九年级学生的日上网总时间，把这三个年级的日上网总时间相加，再除以全校参与调查的总人数，以此求出全校学生的日人均上网时间． （3）观察各年级对DeepSeek的关注度以及日人均上网时间的数据，总结出相应趋势，再结合初中各年级学生的学业等实际情况分析可能的原因． 本题主要考查了加权平均数的应用，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：400×80%+350×70%+250×60%400+350+250=71.5%   答：全校学生对这一热点话题关注度为71.5%． （2）解： 400×70+350×80+250×50400+350+250=68.5（分） 答：全校学生日人均上网时间为68.5分钟． （3）解：关注度呈下降趋势，原因可能是学业负担加重；上网时间先上升后下降，原因 可能与对网络依赖程度和升学压力有关． 知识点3 中位数 1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同． 3. 中位数的求法 （1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列； （2）确定这组数据的个数； （3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数． 【题型3 中位数】 【例3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）一组数据从小到大排列为−2，3，7，x，11，15，且这组数据的中位数为9，则x的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知中位数求参数，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：一组数据从小到大排列为−2，3，7，x，11，15，且这组数据的中位数为9， 则7+x2=9， 解得x=11， 故选：C 【变式3-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 利用中位数的定义得到a=6，即可作答． 【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴a=6， 故答案为：6． 【变式3-2】（24-25九年级下·福建厦门·期中）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（    ） A．甲、丁 B．甲、戊 C．乙、丁 D．丙、丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁； 故选：A． 【变式3-3】（2025·四川内江·模拟预测）某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】题目主要考查中位数及平均数的计算方法，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 分三种情况进行分析：①当x≤8时，②当810时，然后根据中位数及平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：①当x≤8时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得x+8+10+104=8+102， 则x=8； ②当810时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得x+8+10+104=10+102， 则x=12； 综上所述：x=8或12，符合的只有选项C． 故选：C． 知识点4 众数 1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数． 2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． （1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； （2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． 【题型4 众数】 【例4】（2025·河北石家庄·一模）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（    ） A．16 B．17 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数，根据题意，可得最大的三个数的和是：5+6+6=17，两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断． 【详解】解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6， ∴最大的三个数的和是：5+6+6=17， 则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1， 故总和一定大于等于18而小于等于24， 所以他们投中次数的总和可能是24． 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为（ ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中3，4出现两次，又有唯一的众数4， ∴x=4， 故选：C． 【变式4-2】如图为遵义市某年连续7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（   ） A．25.5，27 B．26，28 C．26.5，27 D．27，28 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数，明确题意、掌握众数和中位数是解题的关键． 根据这7天的最高气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，据此即可解答． 【详解】解：这7天最高气温从低到高排列是：23，24，25，26，27，28，28， 故这组数据的中位数是第4个26，28出现两次，次数最多，则众数是28． 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了众数和中位数，设得8分的人数为x，9分的人数为y，则x+y=18，且x>6，再根据中位数和众数的定义逐一分析即可． 【详解】解：设得8分的人数为x，9分的人数为y， 则x+y=35−2−3−5−7=18，且x>6， ∴当x=7时，y=11，此时中位数为9分，众数为9分，符合题意； 当x=8时，y=10，此时中位数为8分，不符合题意； 当x=9时，y=9，此时中位数为8分，众数为8分和9分，不符合题意； 当x>9时，y