数学八年级下册（2024）2.4 一元二次方程的应用导学案

这是一份数学八年级下册（2024）2.4 一元二次方程的应用导学案，共15页。学案主要包含了新教材浙教版，题型2 增长率问题，题型3 传播问题，题型4 数字问题，题型5 营销问题，题型6 工程问题，题型7 行程问题，题型8 循环问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32449" 【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc32449 \h 3
\l "_Tc1117" 【题型2 增长率问题】 PAGEREF _Tc1117 \h 4
\l "_Tc18750" 【题型3 传播问题】 PAGEREF _Tc18750 \h 7
\l "_Tc16115" 【题型4 数字问题】 PAGEREF _Tc16115 \h 9
\l "_Tc123" 【题型5 营销问题】 PAGEREF _Tc123 \h 13
\l "_Tc17628" 【题型6 工程问题】 PAGEREF _Tc17628 \h 16
\l "_Tc18939" 【题型7 行程问题】 PAGEREF _Tc18939 \h 19
\l "_Tc15429" 【题型8 循环问题】 PAGEREF _Tc15429 \h 23
\l "_Tc14116" 【题型9 图表信息问题】 PAGEREF _Tc14116 \h 25
\l "_Tc3389" 【题型10 图形面积问题】 PAGEREF _Tc3389 \h 31
\l "_Tc17154" 【题型11 其他问题】 PAGEREF _Tc17154 \h 35
知识点1 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为a(1+x)n=b，降低率公式为a(1−x)n=b．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
（2）利润率=利润进价×100%=售价−进价进价×100%；
（3）售价=进价×(1+利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3. 几何问题
（1）面积公式：S长方形=ab，S正方形=a2，S圆=πr2，S三角形=12ah；
说明：①a，b分别为长方形的长、宽；
②a为正方形的边长；
③r为圆的半径；
④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．
（2）体积公式：V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=13πR2h．
说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；
②a为正方体的棱长；
③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；
④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．
4. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5. 计数问题
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n−1)场，比赛总场数为n(n−1)2场.双循环赛中每队比赛场数为2(n−1)场，比赛总场数为n(n−1)场．
数字问题
7. 存款利息问题
本息和=本金+利息；利息=本金×利率×存期．
8. 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9. 动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决．
知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案（包括单位名称)．
【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例1】苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年龄的十位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【答案】(x+3)2=10x+x+3
【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为x+3，结合个位数的平方等于他去世时的年龄，可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为x，
∴他去世时年龄的个位数为x+3，
根据题意得：(x+3)2=10x+x+3，
故答案为：(x+3)2=10x+x+3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.21+2x=3.78B．1.2+1.21+x+1.21+x2=3.78
C．1.21+x2=3.78D．1.21+x2=3.78
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设平均每天票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得1.2+1.21+x+1.21+x2=3.78．
故选B．
【变式1-2】“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
【答案】x(x−1)=210
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键．
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)句，共有x名学生，那么总共送的名数应该是x(x−1)句，即可列出方程．
【详解】解：全班有x名同学，依题意有：x(x−1)=210．
故答案为：x(x−1)=210．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（ ）
A．40−2x22−x=520B．40−x22−2x=520
C．40−x22−x=520D．40−x22+x=520
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为40−xm，宽为22−xm的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位（图中阴影部分）可合成长为40−xm，宽为22−xm的矩形，
根据题意得：40−x22−x=520，
故选：C．
【题型2 增长率问题】
【例2】（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了m%，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了2m%，销售均价比第一季度减少了m%．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．
【答案】m的值为12.5
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题。根据“果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同”列出方程，求解即可．
【详解】解：依题意得：
10001−m%×30+20001+2m%×201−m%=1000×30+2000×20，
令m%=y，则原方程可化为：
300001−y+400001+2y1−y=70000，
整理得：8y2−y=0，
解得：y1=0.125，y2=0，
∴m1=12.5，m2=0（不合题意，舍去）．
答：m的值为12.5．
【变式2-1】（2025·安徽滁州·一模）因生产技术落后等因素，某工厂2024年的利润比2023年减少10%．
(1)设该工厂2023年的利润为a万元，则该工厂2024年的利润为________万元（用含a的代数式表示）；
(2)该工厂2025年年初开展了技术革新，计划2025年的利润比2024年增长60%．求该工厂按计划完成任务后，2023年到2025年这两年年利润的平均增长率．
【答案】(1)0.9a
(2)20%
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设这两年的年利润平均增长率为x，根据2023年初及2025年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）解：根据题意得，1−10%a=0.9a，
故答案为：0.9a；
（2）解：设2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为x，由题意得
假设2023年年利润为a万元，
a1−10%1+60%=a1+x2，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去），
答：该工厂2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为20%．
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
【答案】(1)40%
(2)120盒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了200−m盒，根据利润不低于2000元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，1001−x2=36，
解得x=0.4=40%或x=1.6（舍去），
答：每次降价的百分率为40%；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了200−m盒，
由题意得，50−36m+50×0.8−36200−m≥2000，
解得m≥120，
∴m的最小值为120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
【变式2-3】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率为20%
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低y元，则可卖出20+2y件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意得，5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%,x2=−2.2（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降低y元，
由题意得，(100−y−60)(20+2y)=1200，
整理得：y2−30y+200=0，
解得：y1=10,y2=20，
∵尽量减少库存，
∴y=20，
答：售价应降低20元．
【题型3 传播问题】
【例3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)第三轮将又有448人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可．
【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得
1+x+xx+1=64，
解得x=7或x=−9(舍)．
答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染．
那么第三轮被传染的人数为64×7=448人．
答：第三轮将又有448人被传染．
【变式3-1】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
根据题意，可得1+x+x2=57，
整理得x2+x−56=0，
解得x1=7，x2=−8（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【变式3-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决）
【答案】一共有8个人过生日．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x−1)个生日贺卡，即共做x(x−1)个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可．
【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x−1)个生日贺卡，即共做x(x−1)个．由题意得
x(x−1)=56
整理可得x2−x−56=0
解得x1=8,x2=−7（舍）
答：一共有8个人过生日．
【变式3-3】随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有13会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【答案】21
【分析】设平均每人每轮转发给x个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设平均每人每轮转发给x个人，
根据题意可得，1+x+x⋅13x=169，
解得 x1=21，x2=−24（不合题意，舍去），
答：平均每人每轮转发给21个人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
【题型4 数字问题】
【例4】阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用1+2+3+⋅⋅⋅+n−2+n−1+n=nn+12（n≥1且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则n=______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)nn+1
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意建立方程nn+12=55进行求解即可；
（2）根据题意得到前n行所有点数的和为2+4+6+⋅⋅⋅+2n−2+2n−1+2n，然后提取公因数2即可得到答案；
（3）根据题意建立方程nn+1=120，求出n不是正整数即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，nn+12=55，即n2+n−110=0，
∴n+11n−10=0，
解得n=10（负值舍去），
故答案为：10；
（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为2+4+6+⋅⋅⋅+2n−2+2n−1+2n
=21+2+3+⋅⋅⋅+n−2+n−1+n
=2×nn+12
=nn+1；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则nn+1=120，即n2+n−120=0
解得：n=−1±4812，
∵n为正整数，
∴前n行的点数和不能为120．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
【答案】这个两位数是68
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为14−x，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为14−x，
根据题意，得：1014−x+x−x14−x=38，
整理得，x2−23x+102=0
解得x1=6，x2=17（舍去）
∴14−x=14−6=8
答：这个两位数是68．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用x表示最小的数a，则b= ，c= ，d= （用含x的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
【答案】(1)x+1,x+7,x+8
(2)最小的数为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理．
【详解】（1）解：观察图形可得b=x+1;c=x+7;d=x+8，
故答案为：x+1;x+7;x+8；
（2）解：设最小的数a为x，则b=x+1,c=x+7,d=x+8．
由题意可得xx+8+x+x+1+x+7+x+8=656，整理得x2+12x−640=0，
解得x1=20,x2=−32（舍去），
∴最小的数为20．
【变式4-3】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：(3745)8=3×83+7×82+4×81+5×80=(2021)10，表示ICME-14的举办年份．
(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；
(2)小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．
【答案】(1)2025；
(2)n的值为9．
【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解题的关键．
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：37518=3×83+7×82+5×81+1×80
=1536+448+40+1
=202510
故答案为：2025；
（2）解：由题意得，1×n2+2×n1+6×n0=105，
整理得：n2+2n−99=0，
解得：n1=9，n2=−11（舍去），
∴n的值为9．
【题型5 营销问题】
【例5】（24-25八年级下·山东东营·期中）2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式：______；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？
【答案】(1)y=−50x+12004≤x≤7；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，一元二次方程，理解数量关系，正确列式，掌握一次函数的计算方法是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）定价为x元，每卷利润x−6元，结合（1）中的函数解析式，令函数值为1800元，求自变量的值即可；
【详解】（1）解：根据题意设y=kx+bk≠0，
代入已知数据点5,950和6,900得
5k+b=9506k+b=900，
解得：k=−50b=1200，
则y与x的函数关系式：y=−50x+12004≤x≤7；
故答案为：y=−50x+12004≤x≤7；
（2）解：定价为x元，每卷利润x−4元，
由（1）知销售量为y=−150x+12004≤x≤7，
则x−4−50x+1200=1800，
x2−28x+132=0
解得：x1=22（舍去），x2=6，
∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元；
【变式5-1】（2025·湖南·模拟预测）个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的180%．
(1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤；
(2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元．
【答案】(1)500−100x
(2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元
【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．
（1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可；
（2）根据利润=（定价−进价）×销售量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为500−100.1x=500−100x斤，
故答案为：500−100x；
（2）解：由题意得：5+x−4500−100x=800，
解得：x1=1,x2=3，
当x=1时，售价为5+1=6元，4×180%=7.2元，61)，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每8秒可摘(1+m)个苹果，据统计，该智能机器人工作1h采摘的苹果数量与5个采摘工人工作m2小时采摘的苹果数量相等，求m的值．
【答案】(1)这个范围内的苹果有600个；
(2)m的值为3．
【分析】（1）设这个范围内的苹果有x个，由题意列出方程8x−5x=0.5×3600，然后解方程即可；
（2）由题意得360081+mm=m2×36005×5，然后解方程并检验即可；
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设这个范围内的苹果有x个，
由题意得：8x−5x=0.5×3600，
解得：x=600；
答：这个范围内的苹果有600个；
（2）解：由题意得360081+mm=m2×36005×5，
4500mm+1=1800m
m2−3m=0，
解得：m1=0（舍去），m2=3，
∴m的值为3．
【变式11-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从A地出发，匀速跑向距离6000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地.
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明跑步继续前进到C地(整个过程不休息)，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个过程中，小明共消耗2300卡路里热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小明跑步速度是200m/min，小红跑步速度是240m/min
(2)小明从A地到C地锻炼共用70分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用；
（1）设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2xm/min，利用时间=路程÷速度，结合小明比小红早5分钟到达B地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入1.2x中，即可求出小明跑步的速度；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量”，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2xm/min，
根据题意得：6000x−60001.2x=5，
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×200=240
答：小明跑步速度是200m/min，小红跑步速度是240m/min；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意得：10×30+(10+y−30)(y−30)=2300，
整理得：y2−50y−1400=0，
解得：y1=−20(不符合题意，舍去)，y2=70．
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
两位数
十位数字
个位数字
10x+y
x
y
三位数
百位数字
十位数字
个位数字
100a+10b+c
a
b
c
算法一
女性理想体重
身高×身高×22
男性理想体重
身高×身高×22
算法二
100×身高−70×0.6
100×身高−80×0.7
算法三
100×身高−158×0.5+52
100×身高−170×0.6+62
实际体重
类别
大于理想体重的120%
肥胖
介于理想体重的110%~120%
过重
介于理想体重的90%~110%
正常
介于理想体重的80%~90%
过轻
小于理想体重的80%
消瘦
学习时间（时间）
…
40
50
60
…
学习效率
…
0.64
m
1
…
旅游人数
收费标准
不超过10人
人均收费2400元
超过10人
每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
营养成分
NRV
能量
8400kJ
蛋白质
60g
脂肪
≤60g
碳水化合物
300g
钠
2000mg
钙
800mg
项目
每100ml
NRV%
能量
277KJ
3%
蛋白质
3.2g
5%
脂肪
3.8g
15%
碳水化合物
ag
b
钠
60mg
3%
钙
100mg
13%