天津市蓟州区第一中学2026届高三第一学期期末试卷数学试题（含答案解析）

这是一份天津市蓟州区第一中学2026届高三第一学期期末试卷数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 设为实数，则“”是“”的（ ）
3. 函数的图象大致是（ ）
4. 若，则（ ）
5. 下列说法正确的是（ ）
6. 等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（ ）
7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
8. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ）
9. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ）
二、填空题
10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______.
11. 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______
12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______.
13. 某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为______；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为______.
14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______.
15. 若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______.
三、解答题
16. 在中，角，，所对的边分别为，，.满足
(1)求角的大小；
(2)设，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
17. 已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程；
(3)过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称.
19. 已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有两个极值点，，其中，则
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：.
20. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用.设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)素数（也叫质数）是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数.设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系；
(3)设，数列的前项积为，数列的前项积为.若不等式对任意恒成立，求的最大值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4
B．设且，则
C．已知直线与平面、，若，，则.
D．已知随机变量服从二项分布，若，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．