天津市蓟州区第一中学2023届高三上学期期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份天津市蓟州区第一中学2023届高三上学期期末模拟数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知双曲线(,)的左,右焦点分别为E,F,以OF(O为坐标原点)为直径的圆C交双曲线于A,B两点,若直线AE与圆C相切,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
2．已知实数,满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3．若直线与圆相交于P,Q两点,且(其中O为原点),则k的值为( ).
A.或B.C.或D.
4．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5．若执行如图所示的程序框图,则输出S的值是( )
A.B.C.D.4
6．P是正四面体ABCD的面ABC内一动点,E为棱AD中点,记DP与平面BCE成角为定值,若点P的轨迹为一段抛物线,则( )
A.B.C.D.
7．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,依次成等差数列,则( )
A.a,b,c依次成等差数列B.,,依次成等差数列
C.,,依次成等差数列D.,,依次成等差数列
8．的展开式中的项的系数为( )
A.120B.80C.60D.40
9．若复数z满足,则(其中i为虚数单位)的最大值为( )
A.1B.2C.3D.4
10．已知复数z满足:(i为虚数单位),则( )
A.B.C.D.
11．如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为尺( ).
A.B.C.D.
12．设实数x,y满足约束条件,则的最小值为( )
A.2B.24C.16D.14
二、填空题
13．已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.
14．已知实数x,y满足约束条件,则的最大值是__________.
15．如图,某市一学校位于该市火车站O北偏东方向,且,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧CD都是学校道路,其中,以学校H为圆心,半径为2km的四分之一圆弧分别与CE,DF相切于点C,D.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中A,B分别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切,设,的面积为.
（1）求S关于的函数解析式:__________.
（2）当_________时,面积S为最小,政府投资最低?
16．过点,,且圆心在直线上的圆的半径为__________.
三、解答题
17．已知数列和满足,,,,.
（1）求与;
（2）记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数k的值.
18．记为数列的前n项和,已知,等比数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和.
19．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点P的直角坐标为,过P的直线l与曲线C相交于M,N两点.
（1）若l的斜率为2,求l的极坐标方程和曲线C的普通方程;
（2）求的值.
20．已知直线(t为参数),曲线(为参数).
（1）设l与相交于A,B两点,求;
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线l距离的最小值.
21．已知,a,
（1）若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;
（2）若函数有两个极值点,,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
22．已知函数,(其中,).
（1）求函数的最小值M.
（2）若,求证:.
参考答案
1．答案：D
解析：连接CA,AF,
则,,
所以,
在中,,,
故
在中,由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义,得,
所以双曲线的离心率
故选:D
2．答案：A
解析：因为满足,
则
,
当且仅当时取等号,
故选:A.
3．答案：A
解析：取PQ的中点为E,连接OE,则.
因为,故,所以,
又直线l的方程为:,
所以,故.
故选:A.
4．答案：B
解析：
对应的点的坐标为在第二象限
故选:B.
5．答案：D
解析：,;,;,;,;,;如此循环下去,当时,;,,此时不满足,循环结束,输出S的值是4.
故选:D.
6．答案：B
解析：由题意设四面体ABCD的棱长为2,设O为BC的中点,
以O为坐标原点,以OA为x轴,以OB为y轴,过O垂直于面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则可得,,取OA的三等分点G,F如图,
则,,,,
所以,,,,,
由题意设,,
和都是等边三角形,E为AD的中点,,,
,平面BCE,为平面BCE的一个法向量,
因为DP与平面BCE所成角为定值,则,
由题意可得,
因为P的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,
,可得,此时,则,.
故选:B.
7．答案：C
解析：,,依次成等差数列,
,,
正弦定理得,
由余弦定理得,,即,,依次成等差数列,故选C.
8．答案：A
解析：
展开式中的项为.
故选:A
9．答案：B
解析：由知,复数z对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,
表示复数z对应的点与点间的距离,
又复数z对应的点所在圆的圆心到的距离为1,
所以
故选:B
10．答案：A
解析：由,则,
所以.
故选:A
11．答案：B
解析：如图,已知,,
,解得,
,解得.
折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
12．答案：D
解析：做出满足的可行域,如下图阴影部分,
根据图象,当目标函数过点A时,取得最小值,
由,解得,即,
所以的最小值为14.
故选:D.
13．答案：或
解析：由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.
故答案为:
14．答案：
解析：作出可行域,如图
令,则,显然当直线经过时,t最大,且,
故的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.
所以直线AB的方程为,即.
因为直线AB与圆相切,
所以.
因为点H在直线AB的上方,
所以,
所以式可化为,解得.
所以,.
所以面积为.
（2）令,则,
且,
所以,.
令,,所以在上单调递减.
所以,当,即时,取得最大值,S取最小值.
所以当时,面积S为最小,政府投资最低.
16．答案：
解析：因为圆经过点,
则直线AB的斜率为
所以与直线AB垂直的方程斜率为
点,的中点坐标为
所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为,化简可得
而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线上,设圆心
所以圆心满足解得
所以圆心坐标为
则圆的半径为
故答案为:
17．答案：（1）,;
（2）1
解析：（1）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.
又当时,,解得.
当时,…①
…②
①-②有,即.当时也满足.故为常数列,
所以.即.
故,
（2）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.
设,则,
又,
又当时,时.
当时,因为
.
故.
综上可知.故随着n的增大而增大,故,故
18．答案：（1）
（2）当时,;当时,.
解析：（1）当时,,
当时,
,
因为适合上式,
所以.
（2）由（1）得,,
设等比数列的公比为q,则,解得,
当时,,
当时,.
19．答案：（1）,;
（2）
解析：（1）l的直角坐标方程为,即,
则l的极坐标方程为.
曲线C的普通方程为.
（2）直线l的参数方程为(t为参数,为l的倾斜角),
代入曲线C的普通方程,得.
设M,N对应的参数分别为,,所以,M,N在的两侧.则.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）直线l的普通方程为,的普通方程.
联立方程组,解得l与的交点为,,则.
（2）曲线的参数方程为(为参数),故点P的坐标为,
从而点P到直线l的距离是,
由此当时,d取得最小值,且最小值为.
21．答案：（1）
（2）函数有两个零点和
解析：（1）当时,,因为函数在上单调递增,
所以当时,恒成立.
函数的对称轴为.
①,即时,,
即,解之得,解集为空集;
②,即时,
即,解之得,所以
③,即时,
即,解之得,所以
综上所述,当函数在区间上单调递增.
（2）有两个极值点,,
,是方程的两个根,且函数在区间和上单调递增,在上单调递减.
函数也是在区间和上单调递增,在上单调递减
,是函数的一个零点.
由题意知:
,,,,又
,是方程的两个根,
,,
函数图像连续,且在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
当时,,当时,当时,
函数有两个零点和.
22．答案：（1）.
（2）答案见解析
解析：（1）,当且仅当时取等号,
的最小值;
（2）证明:依题意,,
要证,即证,即证,即证,即证,又,可知,成立,故原不等式成立.