天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月检测（6月）数学试题

这是一份天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月检测（6月）数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。(人生就是不断选择的过程)
1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|≤0}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣3，3}D．{﹣3，﹣2，3}
2．设x∈R，则“|x+1|＜1”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则
C．若0＜a＜b＜c，则 D．若a＞0，b＞0，则
4．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温、某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如表所示：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为＝0.24x+，则下列说法错误的是（ ）
A．根据表中数据可知，变量y与x正相关 B．经验回归方程＝0.24x+中＝0.28
C．可以预测x＝6时房屋交易量约为1.72（万套） D．x＝5时，残差为﹣0.02
5.设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（﹣1，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C．（﹣3，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
6.函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7.我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x叫做函数f（x）的“躺平点”．若函数g（x）＝ex﹣x，h（x）＝lnx，φ（x）＝2023x+2023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D ．c＞a＞b
8．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．78B．96C．126D．128
9.已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）+x2f（x2）+x3f（x3）的最大值为（ ）
A．5e5﹣20 B．5e5﹣12 C．6e5﹣20D．6e5﹣12
二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）（未来若是空白，就用来填补)
10．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110，102），已知P（100≤X≤110）＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人．
11．在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为 ．
12．甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P（B|A1）＝ ，P（B）＝ ．
13．若函数的定义域为R，则t的取值范围是 ．
14．a＞b＞c，n∈N*，且恒成立，则n的最大值为 ．
15.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的实数x都有f′（x）﹣f（x）＝（2x+5）ex（e是自然对数的底数），f（0）＝5，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有1个整数，则实数k的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题，共60分）（成功只是结果，过程才是人生）
16．（14分）如图，丹丹家住H小区，她工作在C学校，从家开车到学校上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(5分 )
（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(9分 )
17.（15分）已知二次函数f（x）＝x2+2bx+c（b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的零点是﹣1和1，求实数b，c的值；(4分)
（Ⅱ）已知c＝b2+2b+3，设x1、x2关于x的方程f（x）＝0的两根，且（x1+1）（x2+1）＝8，求实数b的值；(5分)
（Ⅲ)若f（x）满足f（1）＝0，且关于x的方程f（x）+x+b＝0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．(6分)
18.（15分）已知函数，，其中a∈R．
（Ⅰ）若f′（2）＝0，求实数a的值；(3分)
（Ⅱ）当a＞0时，求函数g（x）的单调区间；(5分)
（Ⅲ）若存在，使得不等式f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．(7分)
19.（15分）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；(3分)
（Ⅱ）从袋里任取2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．（9分）
20.（16分）（生活一定把压轴的好运留给你！！）已知函数，a为实数．
（Ⅰ）当a＝1时：
（i）求函数f（x）的图象在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程；(3分)
（ii）若对任意的x∈D，均有m（x）≤n（x），则称m（x）为n（x）在区间D上的下界函数，n（x）为m（x）在区间D上的上界函数．若，且g（x）为f（x）在[1，+∞）上的下界函数，求实数k的取值范围．（5分)
（Ⅱ）（8分）当a＝0时，若G（x）＝ex，H（x）＝xf（x），且1＜x1＜x2，设．证明：．
高二月考数学参考答案
1-5. DABDC 6-9. BCAA
10. 8 11. 12.
13. 4 14. 0≤t＜1 15.
16.解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，
则．…………………（5分）
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．…………………（6分）
， ，
．…………………（12分）
∴随机变量X的分布列为：
． ………………（14分）
17.解：（Ⅰ）函数f（x）的零点是﹣1和1，
则﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根，
故，解得：b＝0，c＝﹣1．………………（4分）
（Ⅱ）因为c＝b2+2b+3，f（x）＝x2+2bx+c＝0，所以x2+2bx+b2+2b+3＝0，
因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的两根，
所以Δ＝4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0，即，，…………（5分）
所以，………………（7分）
因为（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+x1+x2＝7，所以﹣2b+b2+2b+3＝7．
所以b2＝4，所以b＝2或b＝﹣2，
因为，所以b＝﹣2．………………（9分）
（Ⅲ）因为f（1）＝0，所以c＝﹣1﹣2b，
设g（x）＝f（x）+x+b＝x2+（2b+1）x﹣b﹣1，则有，………（13分）
解得，所以b的取值范围为．………（15分）
18.解：（Ⅰ）若f′（2）＝0，可得，即得．………（3分）
（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）＝，
当a＞0时，令g′（x）＝0，可得或x＝2，
①当， 即时，
对任意的x＞0，g′（x）＞0， g（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（4分）
②当， 即时，
g′（x）＞0，得或x＞2 ，g′（x）＜0，得，
g（x）的单调递增区间为和（2，+∞），单调递减区间为…（6分）
③当，即时
g′（x）＞0，得0＜x＜2或； g′（x）＜0，得，
g（x）的单调递增区间为（0，2）和，单调递减区间为，…（8分）
（Ⅲ）由f（x）≤g（x），可得ax﹣lnx≥0，即，其中，
令，若存在，不等式f（x）≤g（x）成立，
则，…（9分）
，令h′（x）＝0，得x＝e，
当e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）在上递增，在（e，e2]上递减，…（11分）
所以函数h（x）在端点或x＝e2处取得最小值．
因为h（）＝﹣e，h（e2）＝，所以h（）＜h（e），…（13分）
所以h（x）min＝h（）＝﹣e，所以a≥﹣e，
因此，实数a的取值范围是[﹣e，+∞）．…（15分）
19．解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为． ……（3分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则，
整理得n2﹣7n+12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4．
所以红球的个数为10﹣3﹣n＝3个． ……（6分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，
，，，， ． ……（13分）
．…（15分）
20．．
解：（Ⅰ）（i）当a＝1时，，定义域为（0，+∞），
则， ， 又因为，
切线方程为； ……（3分）
（ii）因为函数y＝g（x）为y＝f（x）在[1，+∞）上的下界函数，
所以g（x）≤f（x），即，
因为x∈[1，+∞），
所以x+1＞0，故，
令，x≥1，则，
设v（x）＝x﹣lnx，x≥1，则，
所以当x≥1时，v'（x）≥0，
从而函数y＝v（x）在[1，+∞） 上单调递增，
所以v（x）≥v（1）＝1，
故h'（x）＞0 在[1，+∞）上恒成立，
所以函数y＝h（x）在[1，+∞）上单调递增，
从而h（x）≥h（1）＝2，
因为g（x）≤f（x）在[1，+∞）上恒成立，
所以k≤h（x）在[1，+∞）上恒成立，
故k≤2，即实数k的取值范围为（﹣∞，2]；……（8分）
（Ⅱ）证明：当a＝0时，G（x）＝ex，H（x）＝xf（x）＝lnx，1＜x1＜x2，
要证，
即证，
因为，
所以只要证，
即证，
因为G'（x）＝ex，，
即证
，
令P（x）＝G（x）﹣H（x）＝ex﹣lnx，
即证
因为1＜x1＜x2，即证，
令x1＝x，则1＜x＜x2，
构造函数：
＝，
，，
因为1＜x＜x2，，
所以，
所以Q'（x）在[1，+∞） 单调递增，
得到Q'（x）＜Q'（x2）＝0，
可知Q（x）在[1，+∞）单调递减，Q（x）＞Q（x2）＝0，
所以（*）成立，原命题成立． ……（15分）
时间x
1
2
3
4
5
交易量y（万套）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
X
0
1
2
P
ξ
2
3
4
5
6
P