初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质第2课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质第2课时教学设计，共20页。教案主要包含了师生活动，设计意图，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．经历二次根式性质的探究过程，在观察、思考、讨论中，体验从特殊到一般的归纳方法．
2．了解二次根式的性质，会运用其进行有关计算，提升运算能力．
教学重点
二次根式性质的探究及运用．
教学难点
二次根式性质的运用．
教学过程
知识回顾
师生共同回顾上节课所学知识：一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式．二次根式是 代数式 ．
【引导语】引入二次根式之后，我们知道二次根式和整式、分式一样，都是代数式．在上节课，我们已经学习了二次根式的概念，接下来应该研究二次根式的什么内容呢？
【师生活动】教师引导学生回顾整式、分式的研究方法，根据前面的学习经验，明确研究二次根式的路径：概念—性质—运算．从而确定本节课的研究内容：二次根式的性质．
【设计意图】通过类比，帮助学生感受研究代数式的基本方法，确定本节课的研究内容．
新知探究
【问题1】结合定义，我们知道，在二次根式中，被开方数a≥0．那么对于这个二次根式整体来说，它的取值范围又是什么呢？
【师生活动】师生共同分析，达成共识：表示a的算术平方根，因此，当a＞0时，＞0；当a＝0时，＝0．这就是说，当a≥0时，≥0．学生在学习任务单上进行记录．
【新知】二次根式的性质1（双重非负性）：≥0（a≥0）．
一是被开方数a≥0（二次根式有意义的前提）；
二是二次根式本身≥0．
【提醒】（1）几个常见的非负数：，|a|，a2；
（2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0．即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
【设计意图】结合算术平方根的意义，引导学生从“有意义的前提”和“结果特征”两个维度理解“双重非负性”，为后续二次根式其他性质的推导奠定基础．
例题精讲
【例1】已知实数m，n满足|m＋3|＋＝0，则m＝_____，n＝_____．
【师生活动】师生共同完成，教师适当提醒若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
【答案】解：由题意可得
解得
∴ m＝－3，n＝1．
【例2】已知，求－xy的平方根．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师请学生代表分享做法．
【答案】解：由题意可得
解得
所以．
所以－xy的平方根是±2．
【设计意图】通过例题讲解，巩固学生对二次根式“双重非负性”的理解及应用．
新知探究
【问题2】（1）根据算术平方根的意义填空：
＝_________；＝_________；＝_________；＝_________．
（2）根据上述结果，请你概括出共同特征，猜想：＝_________(a≥0)．
【师生活动】学生在学习任务单上作答，完成后全班交流，得出结果与被开方数相等这一结论．教师进一步引导学生结合算术平方根的意义对结果进行解释：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于3的非负数，因此＝3．同理，，，，分别是0.5，，0，a的算术平方根．因此，有＝0.5，＝；＝0；＝a．
【答案】（1）3；0.5；；0；（2）a．
【新知】二次根式的性质2：一般地，＝a(a≥0)．
【注意】（1）正用公式：如＝2，＝a2＋2；
（2）逆用公式：若a≥0，则a＝，如5＝．
【设计意图】通过“计算特殊值—发现共同特征—归纳猜想性质—解释验证性质”的方式，让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，发展学生的抽象能力和推理能力．
例题精讲
【例3】计算：
（1）；（2）； （3）．
【师生活动】教师请学生一起口答，得出答案．
【答案】解：（1）＝5；
（2）＝1.5；
（3）＝．
【例4】计算：
（1）；（2）．
【师生活动】学生独立在学习任务单上进行作答，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）＝22×＝4×5＝20；
（2）＝×＝49×＝14．
【设计意图】通过例题讲解，加深学生对二次根式性质2的理解及综合应用．
新知探究
【问题3】（1）根据算术平方根的意义填空：
＝________；＝_________；＝________；＝________．
（2）根据上述结果，请你概括出共同特征，猜想：＝_________(a≥0)．
【师生活动】学生在学习任务单上作答，完成后全班交流，最后得到如下结果：＝2，＝0.1，＝，＝0．并猜想得出＝a(a≥0)．
教师引导学生结合算术平方根的意义对结果进行解释：是22的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2²的非负数．因此＝2．同理，可以解释其他结果．
【追问】当a为任意实数时，都有意义．如果上式中的a为负实数，那么＝a还成立吗？
【师生活动】教师组织全班交流，确定研究思路：参考前面的探究方法，先代入具体数值进行尝试，再归纳猜想结果，最后结合算术平方根的意义进行分析．如，可以先分别计算＝________；＝_________．学生分组讨论，学生代表分享做法，师生共同总结：一般地，＝a(a≥0)；＝－a(a＜0)．
学生发现结果都是被开方数的绝对值．教师引导学生再验证特殊值a＝5和a＝－5时，＝5＝|5|，＝5＝|－5|，进一步确认规律．
【新知】二次根式的性质3：一般地，＝|a|＝
【设计意图】进一步夯实学生对学习二次根式的基本方法——归纳法的理解，用特殊值验证突破难点，让学生自主发现“先平方后开方”的结果特征，同时结合绝对值的知识，建立新旧内容的联系．
例题精讲
【例5】计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师巡视指导，针对“忽略a的符号导致化简错误”的问题集中讲解．
【答案】解：（1）＝＝4；
（2）＝＝5；
（3）＝0.5；
（4）＝＝；
（5）＝＝；
（6）＝＝．
【设计意图】通过例题讲解，加深学生对二次根式性质3的理解及综合应用．
新知探究
【问题4】 （a≥0）和的结果看似相近，它们的适用条件和运算顺序有什么不同？
【师生活动】教师组织学生从“表示意义”“取值范围”“被开方数”“运算顺序”“运算结果”几个角度进行对比，学生分组交流讨论后尝试在学习任务单上完成填表任务，教师引导学生得出：要求a≥0，先开方再平方；中a为任意实数，先平方再开方，结果是绝对值形式．
【归纳】
【设计意图】通过对比辨析，帮助学生厘清易混淆的性质，避免后续运算中出现错误，同时培养学生“多角度分析问题”的思维习惯．
课堂练习
1．计算：
（1）；（2）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，及时纠正错误．
【答案】解：（1）＝3；
（2）＝32×＝9×2＝18．
2．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流．
【答案】解：（1）＝0.3；
（2）＝＝；
（3）＝＝；
（4）＝＝＝．
【设计意图】通过练习，帮助学生巩固本节课所学知识，检验学生对二次根式性质的掌握程度．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．二次根式的“双重非负性”是什么？
2．和的计算结果分别是什么？适用条件有何不同？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第5页习题19.1第2，4，9题．