人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质习题

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质习题，共24页。
【解析版】

知识荟萃 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）解析版.dcx" \l "_Tc32320" PAGEREF _Tc32320 \h 1
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题型讲练 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）解析版.dcx" \l "_Tc18336" PAGEREF _Tc18336 \h 2
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中考真题 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）解析版.dcx" \l "_Tc24408" PAGEREF _Tc24408 \h 7
分层训练 "fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）解析版.dcx" \l "_Tc30984" PAGEREF _Tc30984 \h 9
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"fileE:\\ 八年级下册 数学\\2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义+检测卷 12\\资料2026020801(12)份\\新建文件夹\\专题19.1 二次根式及其性质（知识荟萃+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）解析版.dcx" \l "_Tc10779" 培优拔高 PAGEREF _Tc10779 \h 13


知识点梳理01：二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数；
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B.
知识点梳理02：二次根式的基本性质
（1）；a≥0（双重非负性）.
（2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.
（3）（算术平方根的意义）.

题型1：二次根式的识别
【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断．
【规范解答】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误；
B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误；
C、∵，∴是二次根式，故此选项正确；
D、当时，不是二次根式，故此选项错误；
故选：C．
【变式训练1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解．
【规范解答】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数．
对于A：被开方数为，不符合；
对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式；
对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式．
∴ 只有C一定是二次根式．
故选：C．
【变式训练2】（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【规范解答】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、，，不是二次根式，不符合题意；
故选B．
题型2：求二次根式的值
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【思路点拨】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．
【规范解答】当时，
，
故选：C．
【变式训练1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】2
【思路点拨】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可．
【规范解答】解：当时，，
故答案为：2．
【变式训练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ．
【答案】3
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．
将代入二次根式，即可计算求值．
【规范解答】解：，
．
故答案为：3．
题型3：求二次根式中的参数
【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（ ）
A．0B．3C．D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．
【规范解答】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意；
B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意；
C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；
D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1】（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0．
【答案】2
【思路点拨】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零．
【规范解答】解：根据题意可得：，解得：．
故答案为：2．
【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【规范解答】解：∵，
∴当时，即，取最小值，
此时的值最小，最小值为，
故答案为：，．
题型4：二次根式有意义的条件
【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
根据二次根式有意义的条件作答即可．
【规范解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，再通过解不等式得到的取值范围．本题考查二次根式有意义的条件，解题中用到的方法是利用“二次根式的被开方数为非负数”这一性质列不等式求解．解题关键是牢记二次根式有意义的核心条件，准确列出并解出不等式．易错点是混淆被开方数的符号要求，错误地认为被开方数可以为负数，或在解不等式时符号处理出错．
【规范解答】∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
因此，的取值范围是．
故选C
【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）若，则的值为（）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值．
【规范解答】解：∵和在实数范围内有定义，
∴且，
∴且，
∴．
代入原方程：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
题型5：利用二次根式的性质化简
【典例精讲】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ．
【答案】2
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，先化简，再结合是正整数，故是正整数，即可求出满足条件的n的最小正整数值．
【规范解答】解：依题意，，
∵是正整数，
∴是正整数，
∴满足条件的n的最小正整数值是，
故答案为：2．
【变式训练1】（24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ．

【答案】
【思路点拨】由数轴可得到，，，根据和绝对值的性质即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了绝对值的性质．
【规范解答】解：观察数轴得：，，，
原式

．
故答案为：．
【变式训练2】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时，
【规范解答】解：，
，
，
，
故选：C．

1．（2024·广西钦州·中考真题）已知三角形的三条边长为3，5，k，化简：（ ）
A．8B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】此题考查三角形的三边关系，化简绝对值及二次根式，熟练掌握三角形三边关系得到k的取值范围是解题的关键，
先根据三角形三边关系得到，再根据绝对值及二次根式的性质化简计算即可．
【规范解答】解：∵三角形的三条边长为3，5，k，
∴，即，
∴
故选A．
2．（2024·山东德州·中考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，由，则，所以，从而可得，然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，解得，
故选：．
3．（2024·全国·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：

则第七行左起第5个数是 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查二次根式中的规律探究，观察可知，第行共个数，最后一个数字为，且每一个数的被开方数均为的倍数，进行求解即可．
【规范解答】解：，
∴第行共个数，最后一个数字为，
∴第七行的最后一个数为：，
∴第七行左起第5个数是：；
故答案为：．
4．（2024·福建厦门·中考真题）已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可．
【规范解答】解： ，是两个连续的正奇数，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
5．（2024·云南保山·中考真题）计算：
【答案】
【思路点拨】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值和二次根式，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值和二次根式，然后计算加减．
【规范解答】解：

．

基础夯实
1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）能使成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数必须非负，因此，即可作答．
【规范解答】解：∵要使成立，
∴，
解得，
故选：A．
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案．
【规范解答】二次根式需满足根指数为且被开方数，
对于：，根指数为，不是二次根式；
对于：，被开方数，无意义，不是二次根式；
对于：，，，恒成立，是二次根式；
对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；
故选．
3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此进行列式计算，即可作答．
【规范解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2025·江苏连云港·二模）使有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答．
【规范解答】解：∵有意义，
∴，
即．
故答案为：．
5．（24-25八年级下·北京海淀·开学考试）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零．
【规范解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： ．
【答案】5
【思路点拨】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握（为任意实数）．
先计算被开方数的值，再根据二次根式的性质求算术平方根．
【规范解答】解：．
故答案为：5．
7．（24-25八年级下·云南红河·期末）要使二次根式有意义，y的值可以是 ．
【答案】2025（答案不唯一）
【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，确定被开方数的取值范围，进而得到y的取值，再选取一个符合条件的值．
【规范解答】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数非负，
∴ ，
∴ ，
∴ 取（满足），
故答案为：2025（答案不唯一）
8．（2024八年级下·福建南平·竞赛）计算：
【答案】
【思路点拨】本题考查了完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，正确运算是解决本题的关键．
根据完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂计算即可．
【规范解答】解：


．
9．（24-25八年级下·广东阳江·月考）若，则是多少？
【答案】4
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可．
【规范解答】解：∵，
∴，解得，
即，
∴，
∴．
10．（24-25八年级下·河南漯河·期末）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】
（1）
（2）或
【思路点拨】本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先计算各部分，再进行加减计算即可；
（2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可．
【规范解答】（1）解：



（2）解：
∴，
∴，
∴或
∴或
培优拔高
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【答案】C
【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键．
本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值．
【规范解答】解：∵有意义
∴，即
∵
∴
代入原方程：

化简得：
两边平方：
∴．
∴．
故选：C．
12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
【答案】B
【思路点拨】本题考查了二次根式与实数的应用，完全平方公式，平方根，代数式求值．
将等式两边平方，利用有理数与无理数的对应关系，结合x、y、p为正整数的条件，解出x、y、p的值．
【规范解答】解：∵，且为正整数，
∴，
即，，
∵为正整数，
∴，
即，
∴，
①当时，，不符合题意，舍去；
②当时，，不符合题意，舍去；
③当时，，即或（不符合题意，舍去）；
∴．
故选B．
13．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（ ）
A．2022B．2024C．2026D．2028
【答案】D
【思路点拨】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解．
【规范解答】解：当x取1时，，
当x取2时，，
当x取时，，
，
所以对应值的总和是：，
故选D．
14．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【思路点拨】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
移项后得出，根据方程无实数解得出，再求出k的范围即可．
【规范解答】解：，
，
∵方程无实数解，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．

【答案】4
【思路点拨】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项．
【规范解答】解：根据数轴，得，
，，




．
故答案为：4．
16．（2024·湖南·模拟预测）要使二次根式有意义，则x 的取值范围为 ．
【答案】
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【规范解答】解：要使二次根式有意义，则，
，
．
故答案为：．
17．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设，求不超过的最大整数 ．
【答案】
【思路点拨】先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超过和的最大整数．本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的化简方法和裂项相消法是解题的关键．
【规范解答】解：∵




，
∴


，
∴
故答案为：．
18．（24-25八年级下·上海·自主招生）非负实数，，，满足，设求p的最值．
【答案】的最小值为，的最大值为
【思路点拨】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，根据题意得出，进而得出，同理，，，，即可求解．
【规范解答】解：∵非负实数，，，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，，，
∴．
∴的最小值为．（当，，，满足其中一个数是，另外三个数是时，可取最小值）
∵，
∴，
∴，当且仅当时取等号，
∴，








∴当且仅当，即时，的最大值为．
19．（2024·河南周口·模拟预测） 计算∶
【答案】
【思路点拨】根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可．
本题考查了负指数幂的计算、二次根式的化简、零指数幂的运算、绝对值的化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
【规范解答】解：

20．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简．
（1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可；
（2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可．
【规范解答】（1）解：解方程组得，
∵方程组有一个解为正数，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．