2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题8.6双曲线(学生版+解析)

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\l "_Tc12910" 【题型1 双曲线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc12910 \h 4
\l "_Tc12077" 【题型2 双曲线的标准方程】 PAGEREF _Tc12077 \h 5
\l "_Tc12282" 【题型3 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc12282 \h 5
\l "_Tc27431" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc27431 \h 6
\l "_Tc22737" 【题型5 双曲线的焦点、焦距、长轴、虚轴】 PAGEREF _Tc22737 \h 7
\l "_Tc27249" 【题型6 双曲线中的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc27249 \h 7
\l "_Tc15653" 【题型7 双曲线的渐近线方程】 PAGEREF _Tc15653 \h 8
\l "_Tc10241" 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc10241 \h 9
\l "_Tc4469" 【题型9 与双曲线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc4469 \h 9
\l "_Tc7728" 【题型10 双曲线的实际应用】 PAGEREF _Tc7728 \h 10
1、双曲线
知识点1 双曲线的方程及其性质
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
知识点2 双曲线方程的求解方法
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.
知识点3 双曲线的焦点三角形
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
知识点4 双曲线的离心率或其范围的解题策略
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）双曲线C：x225−y2144=1上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9B．7C．9或29D．7或19
【变式1-1】（2025·北京·模拟预测）双曲线E：x2a2−y216=1a>0，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2，M为E上一点满足MF1=7，则MF2=（ ）
A．13B．1或13C．10D．4或10
【变式1-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线x2−y216=1上一点P到它的一个焦点的距离为4，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．6C．2或6D．4
【变式1-3】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：x216−y29=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2025·北京海淀·一模）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到焦点(−5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为（ ）
A．x24−y2=1B．x22−y2=1C．x2−y22=1D．x2−y24=1
【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线C1与双曲线C2：x24−y2=1的渐近线相同，且过点2,2，则双曲线C1的方程为（ ）
A．y24−x2=1B．y2−x24=1
C．x22−y22=1D．x2−32y2=1
【变式2-2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x26+y22=1有公共的焦点，且C的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．x2−y23=1B．y2−x23=1C．x24−y212=1D．y24−x212=1
【变式2-3】（2025·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C上，若F1A=2F2A，∠AF1F2=30°,△AF1F2的面积为63，则C的方程为（ ）
A．x29−y26=1B．x23−y26=1
C．x26−y29=1D．x26−y23=1
【题型3 曲线方程与双曲线】
【例3】（2025·新疆·模拟预测）“m>4”是 “方程x2m−1−y2m−4=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程x2m+4+y2m−7=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m4B．−70)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（ ）
A．83B．93
C．183D．273
【题型7 双曲线的渐近线方程】
【例7】（2025·河北·一模）双曲线E:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则E的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±33x
C．y=±2xD．y=±12x
【变式7-1】（2025·四川成都·一模）双曲线x22−y28=1的渐近线方程为（ ）
A．2x±y=0B．x±2y=0C．4x±y=0D．x±4y=0
【变式7-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知双曲线y2a2−x2b2=1a,b>0的离心率为213，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±22xB．y=±32xC．y=±52xD．y=±62x
【变式7-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，直线l过F1与C交于A,B两点，若|AB|=|BF2|，3F2F1=F2A+2F2B，则C的渐近线为（ ）
A．y=±233xB．y=±43xC．y=±83xD．y=±263x
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】
【例8】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．7D．22
【变式8-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的离心率为（ ）
A．12B．55C．2D．5
【变式8-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，直线l过F1与C交于A，B两点，若AB=BF2，AF1=2F1B，则C的离心率为（ ）
A．83B．53C．213D．333
【变式8-3】（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上存在点P 使得PF2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．[2,+∞)B．[3,+∞)C．(1,2]D．(1,3]
【题型9 与双曲线有关的最值问题】
【例9】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线Γ:x2−y23=1的左焦点为F，点A,B在Γ的右支上，且AB=6，则FA+FB的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
【变式9-1】（2025·河北石家庄·一模）设点P为双曲线x25−y211=1右支上的动点，F为该双曲线的右焦点，已知点Q(7,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．25B．35C．45D．55
【变式9-2】（2025·山东济南·三模）双曲线C:x24−y25=1的左焦点为F，点A(0,4)，若P为C右支上的一个动点，则|PA|+|PF|的最小值为 ．
【变式9-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知F是双曲线C:x22−y24=1的右焦点，P是C左支上一点，M是圆D:x2+(y−23)2=2上一点，则|MP|+|PF|的最小值为 .
【题型10 双曲线的实际应用】
【例10】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y29−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为3米时，水面宽AB为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．3米B．62−3米C．26−3米D．37−3米
【变式10-1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm，下底直径为92cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A．272cmB．18cmC．2722cmD．92cm
【变式10-2】（2025·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离68010mB．东偏南45°方向，距离68010m
C．西偏北45°方向，距离6805mD．东偏南45°方向，距离6805m
【变式10-3】（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35,AB⊥BD，则E的离心率为( )
A．52B．173C．102D．5
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）双曲线x2−4y2=4的离心率为（ ）
A．32B．52C．54D．5
2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C:x2−y2m=1的一条渐近线的方程为2x−y=0，则m=（ ）
A．4B．2C．12D．14
3．（2025·北京·三模）“k=12”是“直线y=kx−4与双曲线x24−y2=1只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·北京海淀·二模）已知A−2,0,B2,0．若动点P满足PA−PB=2，则P的轨迹的方程为（ ）
A．x2−y23=1B．x2−y23=1x≤−1
C．y23−x2=1D．x2−y23=1x≥1
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为5,0，一条渐近线方程为y=43x，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．4D．8
6．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线C:x23−y2=1的左､右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为M,N，则△MF1N的周长为（ ）
A．8+25B．8C．4+25D．8+23
7．（2025·天津和平·三模）已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1⋅PF2=4，则C的方程为（ ）
A．y2−x24=1B．y2−x22=1C．4y2−x24=1D．4y2−x22=1
8．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2,A是双曲线C上一点，B为线段AF1的中点.若F1F2=AF2=2BF2，则C的离心率为（ ）
A．3+1B．2C．3+12D．2
二、多选题
9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点P在双曲线x216−y29=1上，F1,F2分别是左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为203B．PF1+PF2=503
C．△PF1F2为钝角三角形D．∠F1PF2=π3
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知F2,0是双曲线C:x2−y2b2=1b>0的右焦点，P为右支上一点，则（ ）
A．双曲线C的虚轴长为23
B．OP≥PF（O为坐标原点）
C．双曲线C的渐近线方程为y=±33x
D．M为圆E:x+22+y2=1上一点，PM−PF的最小值为1
11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=5π6，则（ ）
A．∠A1MA2=π6B．MA1=2MA2
C．C的离心率为13D．当a=2时，四边形NA1MA2的面积为83
三、填空题
12．（2025·上海·三模）双曲线x24−y23=1的焦距为 ．
13．（2025·北京大兴·三模）若双曲线y2m−x2=1（m>0）的一条渐近线方程为y=3x，则m= ．
14．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，AB=AF2，cs∠AF2B=23，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．（2025·河北保定·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25，离心率为5．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线l:y=3x−3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．
16．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线C:x2m+2−y22−m=1
(1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
(2)当m=1时，点P在曲线C上，F1−2,0，F22,0，PF1⊥PF2，求点P的横坐标.
17．（2025·河北保定·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=3x，且点2,3在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知双曲线C的右焦点为F，点A0,1，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且B为线段PQ的中点，若AF⊥BF，求直线l的方程.
18．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且OP⋅OQ=0（点O为坐标原点），求PQ的取值范围．
19．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知F1，F2分别为双曲线C：3x2−y2=λλ>0的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1面积为12．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断DF2AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)
(3)了解双曲线的简单应用
2023年新高考I卷：第16题，5分
2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分
2023年北京卷：第12题，5分
2023年天津卷：第9题，5分
2024年新高考I卷：第12题，5分
2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分
2025年全国一卷：第3题，5分
2025年全国二卷：第11题，6分
2025年北京卷：第3题，4分
2025年天津卷：第9题，5分
双曲线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与简单几何性质等知识，主要以单选题、多选题、填空题的形式出现，难度不大，复习时要加强这方面的训练.
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程