2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题8.5椭圆(学生版+解析)

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\l "_Tc14717" 【题型1 椭圆的定义及其应用】 PAGEREF _Tc14717 \h 4
\l "_Tc6491" 【题型2 椭圆的标准方程】 PAGEREF _Tc6491 \h 4
\l "_Tc10704" 【题型3 曲线方程与椭圆】 PAGEREF _Tc10704 \h 5
\l "_Tc28983" 【题型4 轨迹问题——椭圆】 PAGEREF _Tc28983 \h 5
\l "_Tc21980" 【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】 PAGEREF _Tc21980 \h 6
\l "_Tc18385" 【题型6 椭圆中的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc18385 \h 6
\l "_Tc24822" 【题型7 求椭圆的离心率或其取值范围】 PAGEREF _Tc24822 \h 7
\l "_Tc7275" 【题型8 与椭圆有关的最值问题】 PAGEREF _Tc7275 \h 8
\l "_Tc6547" 【题型9 椭圆的实际应用】 PAGEREF _Tc6547 \h 8
1、椭圆
知识点1 椭圆的方程及其性质
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.
这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：00,A≠B)，再解答.
知识点3 椭圆的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
知识点4 椭圆离心率或其范围的解题策略
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.
(3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 椭圆的定义及其应用】
【例1】（2025·广西南宁·二模）已知F1,F2分别是椭圆M:x216+y25=1的左、右焦点，P为M上一点，若|PF1|=3，则|PF2|=（ ）
A．2B．3C．5D．6
【变式1-1】（2025·山西晋城·二模）已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点，点P为C上一点，若PF1−PF2=2，则（ ）
A．PF2=2F1F2B．PF1=2F1F2
C．PF2=F1F2 D．PF1=F1F2
【变式1-2】（2024·江西·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点，过F1的直线交C于A,B两点，若AF2+BF2=5，则AB=（ ）
A．23B．3C．22D．2
【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C:x24+y2m=100)的左、右焦点分别为F1,F2，点M在椭圆上，且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C，MF2=2F2C=2，则椭圆的方程为（ ）
A．x29+y2=1B．x25+y2=1C．x29+y24=1D．x218+y22=1
【变式2-1】（2025·广西南宁·二模）已知A,B分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，直线x=a2c（c为椭圆E的半焦距）上存在点C，使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且△ABC的面积为43，则椭圆E的方程为（ ）
A．x23+y22=1B．x24+y23=1
C．x24+y22=1D．x25+y24=1
【变式2-2】（2024·山西太原·三模）已知点F1,F2 分别是椭圆 C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m,1)，则椭圆 C的标准方程是（ ）
A．x224+y227=1B．x228+y221=1C．x252+y213=1D．x264+y212=1
【变式2-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．x23+y2=1B．y23+x2=1C．x29+y25=1D．y29+x25=1
【题型3 曲线方程与椭圆】
【例3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知方程x2k−2−y2k−4=1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）．
A．2,3B．3,4C．2,4D．2,3∪3,4
【变式3-1】（2025·湖北黄冈·二模）设abc≠0，“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2024·河南·模拟预测）若方程m+1x2+1−my2=1−m2表示焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A．−10)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，直线AF1交M于另一点B，△ABF2的内切圆与AB相切于点C，若|BC|=F1F2，则椭圆M的离心率为（ ）
A．34B．14C．13D．12
【变式7-2】（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上一点，若点F2关于∠PF1F2的角平分线l的对称点恰好是点P，且F1P⋅F1F2=−49a2，则C的离心率为（ ）
A．13B．23C．12D．37
【变式7-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈2π3,5π6，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,23B．0,232
C．0,32D．63,1
【题型8 与椭圆有关的最值问题】
【例8】（2025·山东威海·一模）已知F为椭圆C:y29+x25=1的上焦点，P为C上一点，Q为圆M:x2+y2−8x+15=0上一点，则PQ+PF的最大值为（ ）
A．1+25B．3+25C．5+25D．7+25
【变式8-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且过点P−32,214，Q为C上一动点，则PQ+QF的最大值为（ ）
A．112B．132C．194D．214
【变式8-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点为F1,F2,M是椭圆C上一动点，直线l:y=kx−1+2经过的定点为N，则MF1−MN的最大值为（ ）
A．2B．2C．22D．6
【变式8-3】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆C:x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M:x2+y−32=1上一点，则PQ+PF的最大值为（ ）
A．5B．5+23C．3+23D．6
【题型9 椭圆的实际应用】
【例9】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB=44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．13B．25C．23D．45
【变式9-1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）

A．a1−c1c2a2
【变式9-2】（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，坐标原点O到点P处切线的距离为a2，且PF1⋅PF2=ab，则C的离心率为（ ）
A．74B．34C．154D．78
【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第t+1天（0≤t≤29，t∈N）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为x2r2cs22π29t+y2r2=1，其中r为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
A．农历每月第d（1≤d≤30，d∈N*）天和第30−d天的月相外边缘形状相同
B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r
C．月相外边缘的离心率与t无关
D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间32,1内
一、单选题
1．（2025·湖南·三模）已知曲线C:x26−t+y2t−2=1，设p:20B．x28+y24=1y>0
C．y28+x22=1y>0D．y28+x24=1y>0
5．（2025·河南·三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且AD=BD=1，CD=2，当∠ADB在变化时，点(b,c)总在椭圆x2m+y2n=1(m>0,n>0)上，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．62C．32D．3
6．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆C:x24+y2m=100)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．x23+y2=1B．y23+x2=1C．x29+y25=1D．y29+x25=1
8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且过点P−32,214，Q为C上一动点，则PQ+QF的最大值为（ ）
A．112B．132C．194D．214
二、多选题
9．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上位于第二象限的一点，F1(−2,0),F2(2,0)为C的左、右焦点，O为坐标原点，|OP|=2，∠F1PF2的平分线与x轴交与点Q，点M在直线PQ上，PF1=λOM(λ>0)，且|OM|=1，则（ ）
A．点P在以F1F2为直径的圆上B．△PF1F2的周长为10
C．椭圆C的方程为x27+y23=1D．λ=3
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆E：x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2，点Px0,y0）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5B．椭圆E的离心率为45
C．1≤PF1≤9D．恰好存在两个点P使得PF1⋅PF2=0
11．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，F1，F2为C的左、右焦点，直线PF1和直线PF2分别交C于点A，B，若△PAF2的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为41，则（ ）
A．椭圆焦距为3
B．离心率e=35
C．△PF1F2面积最大值为12
D．PF1和PF2斜率乘积为定值
三、填空题
12．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆x22m+y2m=1的一个焦点的坐标是2,0，则实数m的值为 .
13．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线y=2b3与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A，B两点，AB=2b，则C的离心率为 .
14．（2025·江西新余·模拟预测）已知F1，F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，|CD|=10，|DF2|=13，则椭圆E的方程为 ．
四、解答题
15．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A2,0，离心率e=32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l:y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N，点Q4,0，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求实数m的值.
16．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(2,1)在C上，MF1⋅MF2=−1，过点M作两条斜率互为相反数的直线，分别交C于不同的两点A,B．
(1)求C的标准方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值，并求出该值．
17．（2025·河南·模拟预测）已知长为3的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，动点P满足AP=12PB，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若C与y轴非负半轴交于点Q，过点Q作与以点D−3,0为圆心，r(00的顶点．
(1)求E的方程及离心率；
(2)若P，Q，R三点在以AC为直径的圆上，且直线PQ，PR均与E有且只有一个公共点，证明：△PQR是直角三角形．
19．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=10．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AP⋅AR=3．
（i）设P(m,n)，求R的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解椭圆的定义、几何
图形、标准方程
(2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
(3)掌握椭圆的简单应用
2023年新高考I卷：第5题，5分
2023年全国甲卷（理数）：第12题，5分
2023年北京卷：第19题，15分
2024年新高考I卷：第16题，15分
2024年新高考Ⅱ卷：第5题，5分
2025年全国一卷：第18题，17分
2025年全国二卷：第16题，15分
2025年北京卷：第19题，15分
椭圆的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点内容.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；对于解答题中椭圆的考查，椭圆方程的求解往往在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练.
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系