专题8.4 双曲线（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析15
【课程标准】15
【考情分析】15
【2026考向预测】15
三、知识点•逐点夯实16
知识点1、双曲线的定义16
知识点2、双曲线的方程、图形与性质16
知识点3、与双曲线有关的常用结论17
四、重点难点•分类突破18
考点1 双曲线的定义及其应用18
考点2 双曲线的标准方程21
考点3 双曲线的几何性质-渐近线23
考点4 双曲线的几何性质-离心率25
考点5 直线与双曲线的位置关系29
考点6 双曲线中最值（范围）问题34
考点7 与双曲线有关的轨迹问题42
考点8 定点与定值问题48
考点9 开放性问题57
五、必考题型•分层训练63
A、基础保分63
B、综合提升74
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一、5年高考•真题感悟
1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：

3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
4．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确；
故选：D.
6．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
8．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、双曲线的对称性、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
11．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)当时，；
(3)的最大值为.
【难度】0.4
【知识点】求平面两点间的距离、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可；
（2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解.
【详解】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系.
12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．
（3）了解双曲线的简单应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率．
三、知识点•逐点夯实
考点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
考点二：双曲线的方程、图形及性质
考点三、与双曲线有关的常用结论
1、点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
2、双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
3、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
4、双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
四、重点难点•分类突破
考点1 双曲线的定义及应用
例1、（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（ ）
A．10或4B．13或1C．10D．13
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
【分析】先利用双曲线的定义得出或，再结合双曲线的性质得出即可.
【详解】根据双曲线的定义，知，
因为，所以或，
又，所以.
故选：D.
例2、（2025·四川南充·模拟预测）已知双曲线：的左右焦点分别为 ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长.
【详解】设，因为，所以，.
根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线.
对于点在双曲线右支上，有，即，可得 ①.
对于点在双曲线右支上，有，则 .
已知的周长为，的周长，
而.
所以，即 ②.
将①代入②中，得到，即，解得.
根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为.
把代入，可得实轴长为.
故答案为：.
【变式训练1】、（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线中的最值问题
【分析】利用双曲线定义将转化为，可知当，，三点共线时，最小，又点的轨迹方程为圆心在，半径为2的圆，再利用两边之和大于第三边即可求得结果.
【详解】由双曲线的方程可得，焦点，
可得，
所以，
当，，三点共线时，最小，
因为直线和相互垂直，
且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，
所以，
当三点共线且在和之间时最小，所以的最小值为6，
故选：A
【变式训练2】、（2025·山西朔州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为，圆与在第一象限的交点为，且，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、由双曲线的离心率求参数的取值范围
【分析】结合双曲线的定义及离心率，根据勾股定理列式求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，
因为圆与在第一象限的交点为，所以，
由双曲线的定义得，
由得，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
考点2 双曲线的标准方程
例3、（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断.
【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件.
故选：B
例4、（2025·陕西·二模）若双曲线的焦距为6，则（ ）
A．5或B．3C．5D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距
【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得.
【详解】若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得；
若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得.
综上可得：.
故选：D.
【变式训练3】、（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【难度】0.94
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】 是焦点在x轴的双曲线，
，即 ；
故答案为： .
【变式训练4】、（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】圆的弦长与中点弦、判断方程是否表示双曲线
【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解.
【详解】设动圆的圆心坐标为，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，
所以，即，
化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线，
故选：
考点3 双曲线的几何性质-渐近线
例5、（2025·山东泰安·模拟预测）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据离心率及双曲线的参数关系得，即可得渐近线方程.
【详解】由题设，所以渐近线为.
故选：A
例6、（2025·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 .
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由双曲线的方程可知其右焦点为，
其中一条渐近线方程为，即，
故右焦点到这条渐近线的距离为.
故答案为：2.
【变式训练5】、（2025·山东泰安·模拟预测）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据离心率及双曲线的参数关系得，即可得渐近线方程.
【详解】由题设，所以渐近线为.
故选：A
【变式训练6】、已知双曲线的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先根据题意求，进而可得渐近线方程.
【详解】由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上，则，
故双曲线C的渐近线方程为，即.
故答案为：.
考点4 双曲线的几何性质-离心率
例7、（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算离心率即可.
【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得，
记坐标原点为，则，即．
因为，所以，故双曲线的离心率为．
故答案为：.
例8、（2025·浙江丽水·一模）已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题可得，即，再根据求解即可．
【详解】为等边三角形，为的中点，
，则，
，
．
故选：C．
【变式训练7】、（2025·广东·模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】结合题意与三角形的面积公式建立方程，求解离心率即可.
【详解】如图，记内切圆的半径为，因为，
所以，
即，得到，
得到，即，故双曲线的离心率为2．
故答案为：2
【变式训练8】、（2025·河北邯郸·一模）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论.
【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线，
所以，
圆的圆心的坐标为，半径，
所以点到直线的距离，
因为与圆交于两点（为坐标原点），所以，
因为的面积为，所以，
所以，又，
所以或，
若，则点到直线的距离，
所以，所以，所以，
所以，
此时双曲线的离心率，
若，则点到直线的距离，
所以，所以，
所以，与矛盾，舍去，
所以双曲线的离心率，
故选：C

考点5 直线与双曲线的位置关系
例9、（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，．
①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，；
②求证：是定值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【难度】0.15
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线与反光镜的设计问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）设，联立直线和双曲线方程，得到韦达定理，结合，的坐标关系得到结果；
（2）①由双曲线的光学性质可得，利用平面几何的知识和双曲线的定义可得结果；
②法一：由双曲线的对称性及圆中的性质可证；法二：联立直线和双曲线的方程，由可得，从而得到，利用点到直线的距离公式，化简即可证明.
【详解】（1），，，
设，，，
，
设，，则，
，
所以直线与双曲线交点位于两支上，即点在轴左侧，
又，，
解得：，
又，
即，又，解得，
，
.
（2）（2）①设，，
由双曲线光学性质，，
，，
，均为等腰三角形，
，，，
又，分别为，的中位线，
，，
又，
，同理，，
，在以原点为圆心的单位圆上.

②法一：设关于的对称点为点，设处双曲线的切线交于，
由对称性：，
由于的左右顶点为，
故，，，，均在单位圆上，如图，
由圆的性质得；
法二、设，过的直线
，
即，故，
又，故，
所以，即，解得，
，
又，
，
，
∴.
【变式训练9】、（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知双曲线，将双曲线E的横、纵坐标分别缩短为原来的倍得到曲线C，直线l与曲线E相切于点P，交于曲线C于点A，B．
(1)求曲线C的方程；
(2)若点P的坐标是，求的面积；
(3)求证：切点P是线段AB的中点，并求的面积
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，答案见解析
【难度】0.65
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】（1）设为曲线上任意一点，为点在曲线上的对应点，则，结合点在曲线上，可得结论；
（2）设直线的方程为，联立直线与曲线的方程，由条件可求，再联立直线与曲线的方程，求的坐标，由此可得结论；
（3）由（2）可得，并求出的坐标，再联立直线与曲线的方程，求的坐标，由此证明结论，再求和点到直线的距离，由此可得结论；
【详解】（1）设为曲线上任意一点，为点在曲线上的对应点，
则，且，
所以，即，
所以曲线C的方程为；
（2）由条件直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，可得，
由已知，
且方程的判别式，
所以，
因为直线过点，所以，
所以，，
所以直线的方程为，令，可得，
联立，可得，即，
设，，不妨设，
则，，，，
所以的面积，
（3）当直线的斜率存在时，由（2）可得，
设点的坐标为，则，
联立，可得，
由已知，且方程的判别式，
所以，所以或，
设，，则，，
所以，，
所以点P是线段AB的中点，
所以，
点到直线的距离，又，
所以的面积.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，
当直线的方程为时，不妨设在轴上方，
则，，所以切点P是线段AB的中点，的面积，
当直线的方程为时，不妨设在轴上方，
则，，所以切点P是线段AB的中点，的面积，
所以切点P是线段AB的中点，的面积.
考点6 双曲线中最值（范围）问题
例10、（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
【答案】(1)，且
(2)（i）；（ii）.
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆、双曲线中的参数及范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）根据已知条件求得方程，由椭圆的方程形式可列出不等式；
（2）先求出曲线C的方程，（i）利用点差法列方程，化简求得正确答案；（ii）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案．
【详解】（1）设，则到轴的距离力，，，
，，即
若曲线为椭圆，则，解得，且.
（2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即，
设，
因为两点在双曲线上，所以
两式相减得，得，即，
所以，
因为是的垂直平分线，有，所以，
即，化简得，
因为的中点M的横坐标为x，所以
故．
（ii）

由于，故可知直线斜率存在，
设直线的方程为：，由，
消去并整理得,
则，，即，
所以，
所以，
于是点的坐标为，．
易知，所以，解得：，
代入得，得或，
由在双曲线的右支上得：，得，即，
且，
综上得，，
又
所以
因为，所以，故,所以，
所以，所以
例11、（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案；
（2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案；
（3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案.
【详解】（1）由双曲线的左顶点，则，
由双曲线的渐近线，则，即，
所以双曲线.
（2）设，由，已知直线斜率存在，
则直线方程可设为，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，消去可得，
由，则，，
又因为，，所以
，代入，，
可得，
所以直线的斜率之和为.
（3）设，，，
联立，解得，同理可得，
联立，解得，同理可得，
所以，，
因为，所以为外接圆的切线，且，
所以，由，，
则化简可得，当时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
【变式训练10】、（24-25高三下·河南·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2).
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的参数及范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）设，代入双曲线方程得，再利用二倍角正切公式有，结合即可得到方程，解出即可.
（2）代入得到双曲线具体方程，再设，根据正弦定理得，再作差结合三角恒等变换和三角函数值域即可求出其范围.
【详解】（1）设，由对称性不妨设，由，
有，可得，
又由，
有
又由，有，
有，
又由，有，
又由，有，可得，
故双曲线的离心率为2.
（2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标，
有，可得，
设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质，
可得，
又由，在中，由正弦定理，有，
有，
有
，
由，有，有，
可得的取值范围为．
【变式训练11】、（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）．
（ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.4
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题、双曲线中的定值问题
【分析】（1）由，求得，再由题意，得到，求得的值，即可求得的方程；
（2）（ⅰ）设直线，联立方程组求得，，结合直线的斜率公式，进行化简，即可求解；
（ⅱ）设直线，得到，联立方程组，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意知，可得，解得，
因为点到直线的距离为2，可得，
又因为，可得，所以的方程为．
（2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为，
设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线，
联立方程组，整理得，
所以，且，，
所以
，故直线的斜率之积为定值．
（ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中，
则直线PE的方程为，
联立方程组，解得，
用替换上式中的得点Q的纵坐标，
则，
因为，当且仅当时取等号，所以，
所以的最大值为．

考点7 与双曲线有关的轨迹问题
例12、（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程
【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
例13、（2025·江苏·一模）已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且．
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题
【分析】（1）根据题意表示斜率并化简即可得到答案；
（2）若直线的斜率存在，设，，，直线方程与曲线方程联立，运用韦达定理结合得进而化简得到，若直线的斜率不存在，得到进而得到.
【详解】（1）设点的坐标为，则，，
由题意可得，，化简得，
进而曲线的方程为．
（2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设，
由，得，
则，即，
设，，则，，
因为以为直径的圆经过原点，所以，则，
即，整理得，
，
设为点到直线的距离，则，所以，
又，所以．
（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，代入方程，得，
所以，则，
综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，且．
【变式训练12】、动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求双曲线的轨迹方程
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
【变式训练13】、（2025·内蒙古赤峰·一模）已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.
（i）证明：点为线段的中点；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的轨迹方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；
（2）（i）设，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线的方程联立，求得，的坐标证明即可；
（ii）由（i）知，求得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）
为的垂直平分线上一点，则.
.
点的轨迹为以为焦点的双曲线，且
故点的轨迹方程为.
（2）
（i）设，
双曲线的渐近线方程为①，②
当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，
与双曲线联立
由，且，故可得.
由；
.
.
点为线段的中点.
当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，
此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点.
综上，点为线段的中点.
（ii）由（i）知，.
.
当且仅当，即时取等号.
又，
的取值范围为.
考点8 定点与定值问题
例14、（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程；
(3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设，，将点代入，即可求解；
（2）设，，直线，与抛物线方程联立，结合及中点的纵坐标为，即可求解；
（3）设过点的切线方程为，与联立，由得出，进而得出过点的切线方程，进而得出，同理得出，写出的方程，设，切线，交于点，得出的坐标，点在直线上得出，同理设直线与直线交于点，则可证明，两点重合，进而证明结论．
【详解】（1）由题意，设，，
将代入得，，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，直线，
联立直线与抛物线的方程，得方程组，
消去，得，判别式，即．
，，，，
由，，得，
所以，中点的纵坐标为，则，
所以，代入，解得或，
当时，点在直线上，不合题意，舍去，
故直线的方程为．
（3）证明：设过点的切线方程为，
与联立，整理得，
，
得，即（或，，过点的切线的斜率），
即过点的切线方程为，即，
令，得，
同理可得过点的切线方程为，令，得，
直线的方程为，直线的方程为．
设，切线，交于点，得，，
解得，，点在直线上，则，
设直线与直线交于点，，
同理，设直线与直线交于点，，
由，得，则，两点重合，
即直线与直线的交点在定直线上．
例15、（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；
(2)若上存在点，使得，证明：为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】数量积的坐标表示、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，最后通过坐标关系判断中点.
（2）方法1通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到的值；方法2则是利用向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解的值.
【详解】（1）设.
设，与抛物线联立，得，
则，即，同理可得.
又因为，令，得，同理，
将代入得，所以为的中点.
（2）方法1：设，因为，得①，
由，得，
①②，
得，
即，
即.
因为，所以，
则，即为定值-4.
方法2：设，因为，所以，
即，同理得，
所以，
由，得①，
同理②，③，
由①-②，得④，
由①+②+③，得，
即，
而
故结合④可得，
则
，
所以为定值-4.
【变式训练14】、（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）根据题意建立方程，化简即可得出曲线方程；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，表示出，，根据得出的关系，即可得证.
【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心.
由得，化简得，
又不重合，因此，所以轨迹的方程为.
法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即，
又，所以，
又不重合，因此，所以轨迹的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立得，
则，
由题意得，，同理，
因为，
所以，即，
所以直线的方程为，因此直线过定点.
【变式训练15】、（2025·江西九江·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，在上，．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于另一点（异于），与轴交于点，直线与交于点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）结合题设可得，，求出即可求解；
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为，联立方程组可得，，进而得到，可得直线的方程，进而求证即可；
解法二：同解法一得到，设直线过定点，通过求证即可；
解法三：分直线斜率存在与直线斜率不存在两种情况，求出的坐标，得到直线的方程，进而求证即可.
【详解】（1）∵在上，∴．①
∵，∴，
∴，②
由①②解得，故的方程为．
（2）解法一：设直线的方程为，直线的方程为．
联立得．
联立消去，整理得，
∴，即．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为．
令，得，即．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，
即．
由解得，
故直线过定点．
解法二：同法一，得，
设直线过定点，则．
又∵，
∴，
整理得．
由解得．故直线过定点．
解法三：①当直线斜率存在时，设的方程为，则．
由直线的斜率为得.
联立消去，整理得，
∴，∴，
∴直线的斜率为，∴直线的方程为．
联立得．
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，
即．由得．
②当直线斜率不存在时，，直线的方程为，显然过点．
综上所述，直线过定点．

考点9 开放性问题
例16、（2025·湖北武汉·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题
【分析】（1）依据抛物线定义可知，然后求得线段的中点为的坐标，最后计算即可；
（2）设直线方程，与抛物线方程联立结合韦达定理，然后计算可得，可知直线过定点，然后求得线段的中点坐标，最后计算即可.
【详解】（1）由题意得点的坐标为，焦点的坐标为，
根据抛物线的定义得，即以线段为直径的圆的直径为．
记线段的中点为，则点的坐标为，
因为以线段为直径的圆与直线相切，
所以有，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，易验证必存在且不为0．
与抛物线方程联立得，
不妨设，则可得，
由（1）得点的坐标为，
，
化简得所以直线的方程为，
所以直线恒过定点．
因为于点所以在直角三角形中，
令为线段的中点，坐标为，
此时．
例17、（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线PQ过定点；
(3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在点到点H的距离是定值．
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）利用待定系数法，将点代入方程，求抛物线方程；
（2）首先设直线PQ的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；
（3）根据（2）的结果，以及垂直关系，求出点的轨迹方程，即可求解定点.
【详解】（1）设抛物线的方程为，
由题知，代入抛物线方程，可得，
解得，所以，抛物线C的标准方程为．
（2）设直线PQ的方程为，，
联立，得．，
，因为，所以．
．
因为，所以，解得，或．
因为不经过点，所以舍去．
所以直线的方程为，所以直线过定点．
（3）存在定点，理由如下：
由（2）得直线过定点，过点作的垂线，垂足为．
所以，定点在上，即，
故点在以为直径的圆周上，圆心为的中点．
因为，所以中点坐标为，即为圆心的坐标，
因为圆心到圆周上的点H的距离等于半径1，
故存在点到点H的距离是定值．
【变式训练16】、（2025·湖南·三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)是，
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数.
（2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积.
（3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点.
【详解】（1）（1）已知点在上，
所以，即，解得，
所以的方程为.
（2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率，
由点斜式可得过点的切线方程为，即，
令，可得，所以.
由，可得，所以.
如图（1），设直线的方程为，
联立得得，
所以.
因为，
所以，
所以.
（3）易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线，
联立得消去得，所以.
直线的方程为，将代入，得，
由，所以，
同理可得.
所以直线的斜率，
由直线的点斜式方程可得直线，
将代入，
得，
所以直线过定点.
【变式训练17】、（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，定点为原点
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可；
（2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明.
【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以，
则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.
当时，，
因为，所以以为直径的圆过原点.
以下证明当时，以为直径的圆过原点.
由，消去，得，
由根与系数的关系，得，
，
所以，所以以为直径的圆过原点.
综上，以为直径的圆过原点.
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求.
【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且，
因为，故在右支上且，
而，故，
由余弦定理可得：，
故选：C.
2．（2025·山东泰安·模拟预测）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据离心率及双曲线的参数关系得，即可得渐近线方程.
【详解】由题设，所以渐近线为.
故选：A
3．（2025·浙江宁波·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可.
【详解】如图，设点在轴右侧，则，

因为，
所以，
因为点在以为直径的圆上，
所以是直角三角形，，
即，化简得，
所以离心率.
故选：D
4．（2025·广东·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
故，即为坐标原点O到直线的距离，则，
所以，
由双曲线定义可得，所以，
又，由勾股定理得，
故，解得，故离心率为.
故选：C
5．（2025·河北保定·一模）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断两曲线交点的个数、求双曲线的轨迹方程
【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围.
【详解】设，由题意得，所以，即，
所以点的轨迹为两个双曲线.
双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3，
由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆，
若曲线与半圆有四个交点，则3，即.
故选：B.

二、填空题
6．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值；
【详解】设双曲线的右焦点为.
对于双曲线，可得，则.
因为点在双曲线的右支上，所以，即.
则.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号.
已知，，根据两点间距离公式，可得.
所以，即的最小值为.
故答案为：
7．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】判断方程是否表示双曲线、计算古典概型问题的概率
【分析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可.
【详解】因为方程表示双曲线,所以.因此可以分成两类：
第一类：从集合中取一个正数,从集合取一个负数,有种不同的取法；
第二类：从集合中取一个负数,从集合取一个正数,有种不同的取法.
所以一共有种不同的方法.
所以
故答案为：
8．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为，过点作倾斜角为的直线，与双曲线交于，两点，记为坐标原点，则的余弦值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、向量夹角的坐标表示
【分析】根据题意求解双曲线与直线方程，联立方程求出，两点坐标，用向量法求解的余弦值.
【详解】由题知，，解得，
所以双曲线，所以，
所以过点作倾斜角为的直线方程为，
联立方程组，消去并整理得，
解得，，所以，，
所以直线与双曲线交点的坐标为，，
所以，，
所以.
故答案为：.
9．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意求得 的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为，
当且仅当共线，取得最小值，且为，
由题意可得，即，，
则.
故答案为：.

10．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，则，，，在等腰中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得，在、中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得.
【详解】设，则，，故，

在等腰中，，则，
又，可得，
所以，则，，
在中，可得，
所以.
故答案为：
三、解答题
11．（2025·湖北·三模）已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ．
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 .
（i）求直线PQ的斜率k（用表示）；
（ii）若，求的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【难度】0.4
【知识点】两条直线的到（夹）角公式、斜率公式的应用、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设双曲线的方程为，根据双曲线过点，代入求得，即可得到双曲线的标准方程；
（2）（i）设点，直线和，联立方程组，分别求得，，设直线与轴交于点，求得，结合斜率公式，得到；
（ii）设，根据，求得，进而求得的坐标.
【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线互相垂直，可得，可设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，可得，解得，即，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：（i）设点，直线的方程为，的方程为，
联立方程组，解得，则，即，
同理可得：，
直线过和，与轴交于点，则的方程为，
令，可得，
又由，，
则，
又由直线的斜率为，其中，
则；
（ii）由是直线与的夹角，设，则，
因为，代入可得 ，，
则，即，解得，
又因为点在第一象限，所以，可得，即的直线方程为，
又由，所以点.
12．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）求出基本量后可得双曲线的方程；
（2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，的斜率为，联立直线方程和双曲线方程后可得的坐标，根据结合在双曲线上可得，从而可用表示的面积，利用换元法结合导数可求面积的最小值.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，因为，，所以，
将点代入方程，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，
当的斜率为0时，
因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点；
设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为，
联立，
整理可得，
故，
故即即故，
又，即，
则，
同理可得，
因为为等腰直角三角形，所以，
所以，平方可得，
因为，所以.
，
令，，则，
令，，则，，
当时，，当时，,
所以在上单调递增，上单调递减，所以，
所以，当且仅当时取等号，
当时，由可得，无解，
同理可得时无解，
故时，，所以面积的最小值为.
13．（2025·云南·模拟预测）已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）列出平均数的等式计算出的值就是的值，从而得到的标准方程；
（2）将点代入的方程得到，即点.设，，其中，，且.由得到，利用斜率公式，整理，得.求出直线的方程，即可得到直线恒过定点.
【详解】（1）由题意，得，，
则①，②，
②-①，得，即，
所以的标准方程为.
（2）将点代入的方程，得，所以，即点.
设，，其中，，且.
因为，所以，
即，
整理，得，所以.
直线的方程为，
即，
所以当时，，所以直线恒过定点.
14．（2025·河北唐山·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点．
(1)证明：
①直线轴；
②四边形的面积为定值；
(2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)过定点，
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中存在定点满足某条件问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论；
（2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论.
【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得，
解得或4，所以，则.
由得，所以直线的斜率为，
则的方程为，同理可得的方程为，
联立，从而可得，而，因此轴.
②设，可得直线的方程为，
即，
联立，可得，
同理联立，，可得，
而，
故四边形的面积为，为定值.
（2）由（1）得，
线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即；
同理可得线段的垂直平分线的方程为，
联立，消去，得，
所以点在直线上.
设关于直线的对称点为，则，
解得，即关于直线的对称点为，
由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点.
15．（22-23高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、由弦长求参数
【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解；
（2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由.
【详解】（1）物线的焦点为，
直线的方程，
由，得，
设，
所以，
所以，
所以，且
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）存在，使得为定值，
由题意可得直线的方程，直线的方程为，
联立，得，
设，
所以，
，
所以，
设，
同理可得，
所以，
由，得，
即，而，
所以，
所以存在，使得为定值0．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解.
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，5分
求离心率及离心率取值范围
简单
2025年北京卷，5分
求离心率
简单
2024年天津卷，5分
求双曲线与抛物线的综合应用
较难
2024年天津卷，5分
求双曲线的标准方程
一般
2023年新I卷，5分
求离心率
一般
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
顶点坐标
，
，
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是