新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.6　双曲线（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( √ )
教材改编题
1．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
答案 C
解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.
2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±2x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \r(2)x
答案 C
解析 依题意知，双曲线eq \f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝eq \f(\r(2),2)，虚半轴长b＝1，
所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(2),2)x.
3．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案 17
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，
所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>2)
B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,5)＝1(x>3)
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(0D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1(0答案 A
解析 如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x>2)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案 2eq \r(3)
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2<6，
所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
答案 4
解析 如图所示，延长F2M交PF1于Q，
由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，
由于O是F1F2的中点，
所以MO是△QF1F2的中位线，
所以|MO|＝eq \f(1,2)|QF1|＝4.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·北京)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C．x2－eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)－y2＝1
答案 A
解析 由e＝eq \f(c,a)＝2，
得c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，
则双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
将点(eq \r(2)，eq \r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq \f(2,a2)－eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析 由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
不妨设A在直线y＝eq \f(b,a)x上，
由△OAF是边长为2的等边三角形，
可得c＝2，直线y＝eq \f(b,a)x的倾斜角为60°，
即eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\r(3)a，,a2＋b2＝c2＝4，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\r(3)，,a＝1，))
故双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
跟踪训练2 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2eq \r(3)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 易知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2eq \r(3)，可得eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝2eq \r(3)，则b2＝12，
由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝eq \f(c,a)＝2，又c2＝a2＋b2，
解得a＝2，c＝4，
则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))
故该双曲线的标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
答案 －3
解析 方法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－eq \f(x2,－m)＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，解得m＝－3.
方法二 依题意得m<0，令y2－eq \f(x2,－m)＝0，得y＝±eq \f(1,\r(－m))x，则±eq \f(1,\r(－m))＝±eq \f(\r(3),3)，解得m＝－3.
(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
答案 4x2－y2＝1
解析 方法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(1,a2)－eq \f(3,b2)＝1且eq \f(b,a)＝2，联立解得a＝eq \f(1,2)，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1，且eq \f(a,b)＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，eq \r(3))，
∴λ＝4×12－(eq \r(3))2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs 60°)
＝eq \r(7)m，
所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)
＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案 2((1，eq \r(5)]内的任意值均可)
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥eq \f(b,a)，∴eq \f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)≤5，
又e＞1，∴e∈(1，eq \r(5)]，
∴填写(1，eq \r(5)]内的任意值均可．
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(0A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于4eq \r(2)
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于eq \r(1－k)
D．双曲线C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(10),3)))
答案 ACD
解析 对于A，因为00，k－1<0，
所以双曲线C：eq \f(x2,9－k)－eq \f(y2,1－k)＝1(0对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝eq \r(10－2k)，
所以双曲线C的焦距等于2c＝2eq \r(10－2k)(0对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，
所以焦点到渐近线的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，
所以双曲线C：eq \f(x2,9－k)－eq \f(y2,1－k)＝1(0对于D，双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(1－k,9－k))＝eq \r(2－\f(8,9－k))，
因为0(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \f(4,3)x
解析 设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，
在双曲线C中，易知|FA|＝b，
又3|FA|＝|AB|，
则|DB|＝2b，
则D为线段FB的中点，
所以△F1BF为等腰三角形，
又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，
即c＋a＝2b，
又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，
将b＝eq \f(c＋a,2)代入得eq \f(c＋a2,4)＝(c＋a)(c－a)，
得c＋a＝4(c－a)，
则c＝eq \f(5,3)a，
又c2＝a2＋b2，
所以b＝eq \f(4,3)a，则渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.
课时精练
1．(2022·宜昌模拟)双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝λ(λ>0)的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \r(3) C.eq \r(3)或eq \f(\r(6),2) D.eq \r(2)
答案 B
解析 因为λ>0，所以eq \f(x2,2λ)－eq \f(y2,4λ)＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(6λ,2λ))＝eq \r(3).
2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1.
4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cs θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为( )
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 B
解析 因为θ∈(0，π)，所以cs θ∈(－1,1)，
所以当cs θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示双曲线；
当cs θ＝0时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
当cs θ∈(0,1)时，方程x2＋(cs θ)y2＝1可化为x2＋eq \f(y2,\f(1,cs θ))＝1，
因为eq \f(1,cs θ)>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．
5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A．|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．双曲线C的离心率为eq \f(2\r(3),3)
D．|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|≥2eq \r(3)
答案 CD
解析 双曲线C：eq \f(y2,3)－x2＝1焦点在y轴上，a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq \r(3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r(3)x，故B错误；
对于C选项，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x2＋3x2＋3)＝eq \r(3＋4x2)≥eq \r(3)(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2|eq \(PO,\s\up6(→))|≥2eq \r(3)，故D正确．
6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q.已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QF1,\s\up6(—→))，且|PQ|＝|PF2|，则( )
A．△PQF2为直角三角形
B．△PQF2为等边三角形
C．C的渐近线方程为y＝±eq \r(6)x
D．C的渐近线方程为y＝±eq \r(7)x
答案 BC
解析 因为|PQ|＝|PF2|，
所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，
所以|QF2|＝4a，
又eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(QF1,\s\up6(—→))，
所以|PQ|＝|PF2|＝4a，
故△PQF2是等边三角形．在△PF1F2中，
由余弦定理得，cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(36a2＋16a2－4c2,48a2)＝eq \f(1,2)，
则eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝7，
即eq \f(b,a)＝eq \r(6)，
故C的渐近线方程为y＝±eq \r(6)x.
7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
8．(2022·晋中模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
解析 设∠F1PF2＝θ，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝4|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝\f(8,3)a，,|PF2|＝\f(2,3)a，))
∵|PF2|≥c－a，
∴eq \f(2,3)a≥c－a，
即eq \f(5,3)a≥c，
即eq \f(c,a)≤eq \f(5,3)，
∴双曲线离心率的取值范围是19．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
解 (1)因为双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的eq \r(2)倍，双曲线过点(4，－eq \r(10))．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
(1)解 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2eq \r(2)a，即c＝eq \r(2)a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－eq \r(10))代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明 由(1)知，F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 由(2)知，点M坐标为(3，eq \r(3))或(3，－eq \r(3))，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，eq \r(3))，直线MF2的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(－\r(3),2\r(3)－3)(x－3)＝－(2＋eq \r(3))(x－3)，
即y＝(－2－eq \r(3))x＋(6＋4eq \r(3))，
代入双曲线方程整理可得(6－4eq \r(3))y2－4eq \r(3)(2－eq \r(3))y＋6＝0，
∵M的纵坐标为eq \r(3)，
∴N的纵坐标为eq \f(6,6－4\r(3)×\r(3))＝eq \f(1,\r(3)－2)＝－(eq \r(3)＋2)，
∴△F1MN的面积为S＝eq \f(1,2)|F1F2|·(eq \r(3)＋eq \r(3)＋2)＝2eq \r(3)×(2＋2eq \r(3))＝12＋4eq \r(3).
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
B．x2－eq \f(y2,3)＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
D．x2－eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
答案 A
解析 在椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1中，c＝eq \r(10－6)＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，
∴设C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq \f(x2,3λ)－eq \f(y2,λ)＝1.
当λ>0时，c＝eq \r(λ＋3λ)＝2，解得λ＝1，则C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1；
当λ<0时，c＝eq \r(－λ－3λ)＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－eq \f(x2,3)＝1.
综上，C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1.
12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0，e>\f(\r(6),2)))的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是eq \r(3)∶eq \r(2)，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \r(2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
由渐近线的方程y＝eq \f(b,a)x可知y2＝eq \f(b,a)x2，
在Rt△OBE中，xeq \\al(2,2)＋eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,2)＝c2，解得x2＝a(舍负)，
由已知得x1∶x2＝eq \r(3)∶eq \r(2)，即x1＝eq \f(\r(6),2)a，即|AF|2＝c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a))2＝c2－eq \f(3,2)a2，
因为离心率e>eq \f(\r(6),2)，
所以c2－eq \f(3,2)a2>0，
则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a，\r(c2－\f(3,2)a2)))，
代入双曲线方程可得eq \f(\f(3,2)a2,a2)－eq \f(c2－\f(3,2)a2,b2)＝1，化简得2a2＝c2，即e＝eq \r(2).
13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 如图，设B(m，n)，
则C(－m，－n)，
易知A(a,0)，F(c,0)，
由M为线段BF的中点得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)，\f(n,2)))，
又M在直线CA上，
故eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))共线，
又eq \(CA,\s\up6(→))＝(a＋m，n)，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a，\f(n,2)))，
故(a＋m)·eq \f(n,2)＝n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a))，
整理得c＝3a，
故离心率e＝eq \f(c,a)＝3.
14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是( )
A．若|PF1|·|PF2|＝2，则eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0
B．若eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2)＋1]
C．△F1PQ周长的最小值为8
D．△AOB(O为坐标原点)的面积为定值
答案 ACD
解析 由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而eq \(PF1,\s\up6(—→))⊥eq \(PF2,\s\up6(—→))，即eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0，故A正确；
在△PF1F2中，由正弦定理得eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)，则eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，解得|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|.
又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(2a2,c－a)>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得1当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为eq \f(2,a)，
|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋eq \f(4,a)≥8(当且仅当a＝1时取等号)，故C正确；
设P(x0，y0)，过点P的双曲线E的切线方程为eq \f(x0,a2)x－y0y＝1，E的渐近线方程为y＝±eq \f(1,a)x，不妨设切线eq \f(x0,a2)x－y0y＝1与渐近线y＝eq \f(1,a)x的交点为A，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,a)x，,\f(x0,a2)x－y0y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,x0－ay0)，,y＝\f(a,x0－ay0)，))
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0－ay0)，\f(a,x0－ay0)))，
同理可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0＋ay0)，－\f(a,x0＋ay0))).
又因为点P在双曲线E上，则有eq \f(x\\al(2,0),a2)－yeq \\al(2,0)＝1，xA＋xB＝eq \f(a2,x0－ay0)＋eq \f(a2,x0＋ay0)＝2x0，故点P是AB的中点．设切线eq \f(x0,a2)x－y0y＝1与x轴的交点为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x0)，0))，所以S△AOP＝eq \f(1,2)·eq \f(a2,x0)|yA－y0|＝eq \f(a,2)·eq \f(a,x0)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,x0－ay0)－y0))＝eq \f(a,2)，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确．标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)