2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题8.7抛物线(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题8.7抛物线(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18903" 【题型1 抛物线的定义及其应用】 PAGEREF _Tc18903 \h 3
\l "_Tc23988" 【题型2 抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc23988 \h 4
\l "_Tc13297" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc13297 \h 4
\l "_Tc10028" 【题型4 抛物线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc10028 \h 5
\l "_Tc10577" 【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 PAGEREF _Tc10577 \h 5
\l "_Tc5715" 【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 PAGEREF _Tc5715 \h 6
\l "_Tc8235" 【题型7 抛物线的焦半径公式】 PAGEREF _Tc8235 \h 6
\l "_Tc20091" 【题型8 抛物线的几何性质】 PAGEREF _Tc20091 \h 7
\l "_Tc25775" 【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 PAGEREF _Tc25775 \h 7
\l "_Tc28825" 【题型10 抛物线的实际应用】 PAGEREF _Tc28825 \h 8
1、抛物线
知识点1 抛物线的方程及其性质
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2BF,AE=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=3x2B．y2=9x
C．y2=9x2D．y2=3x
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2025·北京朝阳·二模）若抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,−1)，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．x=2B．x=1C．y=2D．y=1
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）抛物线y=18x2的焦点坐标是（ ）
A．(0,2)B．(0,−2)C．(−2,0)D．(2,0)
【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线C:2x2+my=0恰好经过圆M:x−12+y+22=1的圆心，则C的准线方程为（ ）
A．x=12B．x=−12C．y=18D．y=−18
【变式3-3】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，第一象限的点Px1,y1,Qx2,y2在抛物线上，且PF=QF+3,PQ=32．若x1+x2=6，则抛物线C的准线方程为（ ）
A．y=−32B．y=−3C．y=−1D．y=−2
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2025·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=8xD．y2=12x
【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B(x,0),C(0,y)，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为x,y，则M点的轨迹方程为（ ）
A．x2=5y(y≠0)B．y2=5x(x≠0)
C．y2=−5x(x≠0)D．x2=−5y(y≠0)
【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点2,0的距离比到定直线x=−1的距离大1的动点M的轨迹方程是 ．
【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点M1,0,P为动点，以线段MP为直径的圆与y轴相切．动点P的轨迹Γ的方程为 .
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2025·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则AN的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．23
【变式5-1】（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）设O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，点A在抛物线C上.若AF=5，则OA=（ ）
A．66B．9C．3D．33
【变式5-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线l:x=−5，点P(3,0)，点A(4,1)，动点Q到点P的距离比到直线l的距离小2，则|QA|+|QP|的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【变式5-3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线x2=2pyp>0，点A4,4在抛物线上，点B0,3，若P点是抛物线上的动点，则PB的最小值为( )
A．8B．22C．9D．3
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2025·海南儋州·模拟预测）已知A(1,54)，B(0,4)，P为抛物线y=x2−2x+2上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．94B．114C．134D．5
【变式6-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，M为C上的动点，N为直线l:x+3y+3=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点0,2的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．22B．3C．5D．92
【变式6-3】（2025·江西萍乡·一模）设抛物线C:x2=16y的焦点为F，斜率不为0的直线l过点A(3,4)，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则|FQ|+|PQ|的最小值为（ ）
A．112B．6C．132D．7
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2025·广东佛山·三模）已知抛物线Γ：y2＝2pxp>0上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点为F．若AF=5，则p的值为（ ）
A．18B．9C．4D．2
【变式7-1】（2025·北京海淀·一模）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点M32,y0在C上，MF=2，则y0=（ ）
A．1B．2
C．3D．2
【变式7-2】（2025·安徽蚌埠·三模）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cs∠BAF=35,|AF|=10，则p=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若PO=52，则（ ）
A．p=2B．PF=2
C．准线为y=−14D．PF=1716
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2025·安徽·模拟预测）已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点4,0的距离的最小值为（ ）
A．2B．22C．23D．4
【变式8-1】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AM≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,p2B．0,pC．0,3p2D．0,2p
【变式8-2】（24-25高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点，若∠OAP=120°，则四边形OAPB的周长为（ ）
A．643B．64C．803D．80
【变式8-3】（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线C:y2=8x，其中AC，BD是过拋物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：x−22+y2=5与抛物线C：y2=2pxp>0交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当△MFK为等腰三角形时，△MFK面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．5D．23
【变式9-1】（2025·浙江嘉兴·三模）已知抛物线C:y2=4x，其准线为l，焦点为F，过M(3,0)的直线PQ与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且|FQ|=10，则△FAP和△FAQ的面积之比为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式9-2】（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线x=−1于点P，若PA=AB，则△OAF与△OBF的面积之比为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【变式9-3】（2025·湖北武汉·二模）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M,N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（ ）
A．32B．16C．82D．8
【题型10 抛物线的实际应用】
【例10】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．2
【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
【变式10-2】（2025·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶O离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是 m．
【变式10-3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm．
一、单选题
1．（2025·四川·三模）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A2,−4是抛物线C上一点，则AF=（ ）
A．10B．8C．6D．4
2．（2025·北京海淀·三模）点M5,3到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=12yB．x2=112y或x2=−136y
C．x2=−136yD．x2=12y或x2=−36y
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线C的方程为x2=my，则“抛物线C经过点4,1”是“抛物线C的焦点为0,2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知点N1,1，抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是C上的动点，则PN+PF的最小值为（ ）
A．32B．2C．52D．3
5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为A1．若∣AF∣=∣A1F∣，则∣AF∣=（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点M到F(0,−2)的距离与点M到x轴的距离的差为2，则M的轨迹方程是（ ）
A．x2=8y(y≥0)或x=0(y0)
7．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线y2=8x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若|FA|=9，|FB|=4，则|AB||BC|=（ ）
A．52B．3C．72D．4
8．（2025·甘肃白银·三模）如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N，则四边形CMNF的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
二、多选题
9．（2025·湖北·模拟预测）已知点P在抛物线y2=12x上运动，F为抛物线的焦点，点M4,1，则PM+PF的值可能是（ ）
A．9B．8C．7D．6
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P(x0,y0)在C上，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为x=2B．F的坐标为1,0
C．若y0=2，则PF=2D．PF≥2
11．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，P(2,3)是平面内一定点，则（ ）
A．p=2
B．若|AF|+|BF|=8，则M到x轴距离为4
C．若AF=2FB，则AB=92
D．|AP|+|AF|的最小值为4
三、填空题
12．（2025·广西·模拟预测）若抛物线y2=2px(p>0)经过点C1,−2，则该抛物线的焦点坐标为 .
13．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线y2=−4x上，点Am,−4在此抛物线上，F为抛物线的焦点，则AF= ．
14．（2025·辽宁大连·一模）在抛物线 C:y2=2pxp>0)上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为B，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 52， 则p的值为 .
四、解答题
15．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上点M2,y0满足MF=3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点D−1,0，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x=1是∠AFB的角平分线.
16．（2025·山东泰安·模拟预测）抛物线C:y2=2px p>0，点F为焦点，点M、N是抛物线C上任意不重合的两点.当直线MN过点F且垂直x轴时，MN=4.
(1)求抛物线C及其准线的方程；
(2)若以线段MN为直径的圆过点F，求△MFN面积的最小值.
17．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线T:y2=2px(p>0)上的点Ax0,y0的直线l1，l2分别交抛物线T于点B，C．设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=−1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为16．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当y0=2时，证明：直线BC过定点．
18．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足OP⋅OQ=0．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线PQ过定点；
(3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知F为抛物线C:y2=2px的焦点，点P在拋物线C上，且点P的纵坐标为3，以线段PF为直径的圆与直线x=3相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l交抛物线C于A、B两点，作PD⊥l于点D，若直线PA、PB的斜率之和为3，是否存在定点R，使得DR为定值？若存在，求出定点R的坐标；若不存在，请说明理由．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程
(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率)
(3)了解抛物线的简单应用
2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分
2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分
2023年北京卷：第6题，4分
2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分
2024年北京卷：第11题，5分
2025年全国一卷：第10题，6分
2025年全国二卷：第6题，5分
2025年北京卷：第11题，5分
2025年天津卷：第9题，5分
抛物线的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0