2026高考数学一轮复习8.6双曲线【课件】

第6节　双曲线[课程标准要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.双曲线的定义一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,00}.定点若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和几何性质y≤-a或y≥a,x∈R坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)a2+b23.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 .y=±x1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b.2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .4.与双曲线 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为(λ≠0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)(2)方程 (mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)(3)双曲线 (a>0,b>0)的渐近线相同.(　　)(4)双曲线 (a>0,b>0)的形状相同,离心率相同.(　　)×√××2.若方程 表示双曲线,则实数m的取值范围为(　　)A.(5,+∞) B.(4,+∞)C.(4,5) D.(-∞,4)∪(5,+∞)√解析:方程 表示双曲线,则(m-5)(2m-8)>0,解得m>5或m0,b>0)过点 ,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为　　　　　　.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一　双曲线的定义及应用角度一　根据定义判断曲线的形状[例1] 已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)A.椭圆 B.双曲线　C.抛物线 D.圆√解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2|ON|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=20,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|≥a+c,则点P可在双曲线的两支上,若|PF1|0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　.(1,2)解析:在△PF1F2中,sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以又e>1,所以10)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上, ,则C的离心率为　　 　.解析:(2)依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,(3)(角度三)若坐标原点O和点F(-2,0)分别为双曲线 (a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,求 的最小值.(3)解:因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为1.焦点三角形的面积及离心率公式微点提能10　椭圆、双曲线中的二级结论2.中心弦的性质设A,B为圆锥曲线关于原点对称的两点,点P是曲线上与A,B不重合的任意一点,则kAP·kBP=e2-1.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.4.焦半径公式(1)当点M(x0,y0)在椭圆 (a>b>0)上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=-ex0+a.(2)当点M(x0,y0)在双曲线 (a>0,b>0)的右支上时,有|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线(a>0,b>0)的左支上时,有|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.5.焦点弦定理B.-4 D.-2知识或方法的应用方法一　利用中点弦的性质求离心率[典例1] 已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆 交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1·k2等于(　　)√(1)若AB是不过椭圆 (a>b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM= .(2)若AB是不过双曲线 (a>0,b>0)中心的弦,M是弦AB的中点,且AB,OM都存在非零斜率kAB,kOM,则有kAB·kOM= .[拓展演练] 已知倾斜角为 的直线与双曲线 (a>0,b>0)相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,则双曲线的离心率为(　　)√方法二　利用焦点三角形求离心率[典例2] (1)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)√(2)已知F1,F2是双曲线 的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直, ,则双曲线E的离心率为(　　)√(1)设椭圆 (a>b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于长轴端点)为椭圆C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有 .(2)设双曲线 (a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,P(异于实轴端点)为双曲线C上任意一点,在△PF1F2中,记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ,则有 .[拓展演练] 已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆E上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率的取值范围为(　　)√方法三　利用焦点弦定理求离心率[典例3] 已知经过椭圆 (a>b>0)右焦点F且斜率为 的直线交椭圆于A,B两点,且 ,则该椭圆的离心率e等于(　　)√利用焦点弦定理求离心率的一般步骤:第一步,求过圆锥曲线右焦点的直线的倾斜角α的余弦值;第二步,求λ的值;第三步,代入公式 求离心率e的值.[拓展演练] 过双曲线 的右焦点F,作直线l交C的右支于A,B两点,且满足 ,O为坐标原点,若∠OFA=120°,则双曲线C的离心率为　　　　.点击进入 课时作业