2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题9.2用样本估计总体(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题9.2用样本估计总体(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，方法技巧与总结，解题思路，解答过程，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11278" 【题型1 百分位数的求解】 PAGEREF _Tc11278 \h 3
\l "_Tc3484" 【题型2 样本的数字特征】 PAGEREF _Tc3484 \h 5
\l "_Tc19314" 【题型3 总体集中趋势的估计】 PAGEREF _Tc19314 \h 6
\l "_Tc27234" 【题型4 总体离散程度的估计】 PAGEREF _Tc27234 \h 10
\l "_Tc17514" 【题型5 分层抽样中的方差问题】 PAGEREF _Tc17514 \h 12
\l "_Tc4406" 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 PAGEREF _Tc4406 \h 14
1、用样本估计总体
知识点 用样本估计总体
1．总体百分位数的估计
(1)概念
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)求解步骤
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
3．总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：
4．总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是，用x表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的
方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式.
我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差.
(2)总体（样本）方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为Y，则总体方差
.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中Yi出
现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为.
总体标准差：.
(3)标准差与方差的统计意义
①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.
5．频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
【方法技巧与总结】
1．若x1,x2,…,xn的平均数为x，那么的平均数为.
2．数据x1,x2,…,xn与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变.
3．若x1,x2,…,xn的方差为s2，那么的方差为a2s2.
【题型1 百分位数的求解】
【例1】（2025·河北秦皇岛·三模）数据16，22，13，14，25，17，18，19，21，10的第70百分位数是（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】C
【解题思路】将给定数据由小到大排列，再利用第70百分位数的定义求解.
【解答过程】将给定数据由小到大排列为：10，13，14，16，17，18，19，21，22，25，
由10×70%=7，得第70百分位数是19+212=20.
故选：C.
【变式1-1】（2025·广西·模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【解题思路】将已知数据按从小到大的顺序排列，求10×30%，结合百分位数定义求结论即可.
【解答过程】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，
又10×30%=10×0.3=3，
所以该组数据的30%分位数是5+72=6．
故选：A.
【变式1-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图，则样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数为（ ）
A．62B．64C．66D．68
【答案】C
【解题思路】先判断出40%分位数所在的区间，并设为x，再利用概率之和也就是小长方形的面积之和等于0.40，求出x即可.
【解答过程】因为0.005+0.020×10=0.250.40，
所以样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数位于60,70内，
设样本中车主使用辅助驾驶功能次数的40%分位数为x，
则0.005×10+0.020×10+x−60×0.025=0.40，
解得x=66.
故选：C.
【变式1-3】（2025·四川巴中·二模）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）82,75,76,88,90,83,85,86,96,87,60,100,89,92,93，则这15人成绩的第80百分位数是（ ）
A．92B．92.5C．93D．91.5
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解.
【解答过程】将15人的成绩从小到大排列为：60,75,76,82,83,85,86,87,88,89,90,92,93,96,100，
由15×80%=12，所以第80百分位数为第12个数与第13个数的平均数，即92+932=92.5.
故选：B.
【题型2 样本的数字特征】
【例2】（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ）
A．8B．9C．12D．18
【答案】C
【解题思路】由平均数的计算公式即可求解.
【解答过程】样本数据2,8,14,16,20的平均数为2+8+14+16+205=605=12.
故选：C.
【变式2-1】（2025·山东聊城·三模）已知数据x，9，7，9的中位数和平均数相等，那么x的值为（ ）
A．5B．7C．5或9D．7或11
【答案】D
【解题思路】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解．
【解答过程】平均数为x+7+9×24=x+254，
将这组数据排序，若x，7，9，9，则中位数为7+92=8，
所以x+254=8⇒x=7，符合题意；
将这组数据排序，若7，x，9，9，则中位数为x+92，
所以x+92=8⇒x=7，符合题意；
若7，9，9，x，则中位数为9，
所以x+254=9⇒x=11，符合题意；
综上所述，x的值为7或11，
故选：D．
【变式2-2】（2025·辽宁·二模）某同学测得连续7天的最低气温（均为整数）分别为−6，1，−2，t，2，1，5（单位：∘C），若这组数据的平均数与中位数相等，则t=（ ）
A．5B．6C．10D．11
【答案】B
【解题思路】求出平均数，对t的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于t的等式，解之即可.
【解答过程】这组数据的平均数为−6+1−2+t+2+1+57=t+17，
除t外，将剩余的6个数据由小到大排列依次为−6，−2，1，1，2，5，
若t≤1，则这组数据的中位数为1，
若t>1，同理可知，这组数据的中位数也为1，
因为这组数据的中位数和平均数相等，故t+17=1，解得t=6.
故选：B.
【变式2-3】（2025·河北张家口·一模）数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（ ）
A．3.5和2B．3和4C．4和2D．3.5和4
【答案】D
【解题思路】利用中位数和平均数的计算公式即可求解.
【解答过程】将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8，
所以中位数为3+42=3.5；
平均数为2+2+3+4+5+86=4.
故选：D.
【题型3 总体集中趋势的估计】
【例3】（2025·山西·二模）AI正悄然改变着我们的生活.某在线平台利用AI技术为学生提供个性化学习路径，为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分数数据按照30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分组，画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为（ ）

A．85B．80C．77.5D．75
【答案】C
【解题思路】根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，然后解题即可.
【解答过程】由于0.005+0.005+0.010+0.015×10=0.35，0.005+0.005+0.010+0.015+0.02×10=0.55，
因此中位数落在区间70,80内，设中位数为x，
由0.35+0.02×x−70=0.5，得x=77.5，因此，中位数约为77.5.
故选：C.
【变式3-1】（2025·河南郑州·三模）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）
（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
A．阅读量的众数估值为8B．阅读量的中位数估值为6.5
C．阅读量的平均数估值为6.76D．阅读量的第70百分位数估值为8.86
【答案】D
【解题思路】利用频率分布直方图性质分别计算众数、中位数、平均数、第70百分位数，即可得到答案.
【解答过程】众数估值为4+82=6，A错误；
中位数x在4,8内，所以0.06×4+0.1×x−4=0.5，解得x=6.6，B错误；
平均数x=0.24×2+0.4×6+0.28×10+0.06×14+0.02×18=6.88，C错误；
第70百分位数y在8,12内，所以0.06×4+0.1×4+0.07×x−8=0.7，
解得y=627≈8.86，D正确.
故选：D.
【变式3-2】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了n名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示：
(1)分别求a，b，n的值，并在图中画出频率分布直方图；
(2)估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）．
【答案】(1)a=0.10，n=100，b=30，作图见解析
(2)众数为95分；平均数为83分；第75百分位数是93分．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合频数、频率的关系即可求得b，n的值，并作图；
（2）结合众数、中位数和第p百分位数的含义即可求得它们的值.
【解答过程】（1）由0.05+a+0.20+0.30+0.35=1，解得a=0.10，
n=50.05=100，b=100×0.30=30．
而每组的频率/组距分别为0.005、0.010、0.020、0.030、0.035，
所以频率分布直方图如下所示：
（2）由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点，
即众数为95分；
平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，
即55×0.05+65×0.10+75×0.20+85×0.30+95×0.35=83，
所以估计平均值为83分；
前四组频率和为0.05+0.10+0.20+0.30=0.6510.8，不符合题意，因此x1,x2,x3,x4均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件，
所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.
故选：C.
【题型5 分层抽样中的方差问题】
【例5】（2025·浙江·模拟预测）为调查中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生600人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ）
A．1.25B．1.35C．1.45D．1.55
【答案】C
【解题思路】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：抽取的总人数为400+600+1000=2000，
则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为4002000=0.2,6002000=0.3,10002000=0.5，
可得该校学生每天学习时间的平均数x=0.2×8+0.3×9+0.5×10=9.3，
方差S2=0.2×0.5+8−9.32+0.3×0.8+9−9.32+0.5×1+10−9.32=1.45.
故选：C.
【变式5-1】（2025·浙江·三模）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】A
【解题思路】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为x，女生的平均数为y，总体的平均数为w，方差为s2，结合方差的公式，分析选项，即可求解.
【解答过程】设男生体质健康状况的平均数为x，女生的平均数为y，总体的平均数为w，方差为s2，
则w=8080+120x+12080+120y=25x+35y，
s2=8080+120[15+(x−w)2]+12080+120[10+(y−w)2]
=25[15+925(x−y)2]+35[10+425(x−y)2]=12+625(x−y)2≥12，
结合选项，可得A项不符合.
故选：A.
【变式5-2】（2025·江西鹰潭·一模）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，则单位职工体重的方差为（ ）
A．166B．167C．168D．169
【答案】D
【解题思路】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.
【解答过程】依题意，单位职工平均体重为x=58×64+38×56=61，
则单位职工体重的方差为s2=58151+64−612+38159+56−612=169.
故选：D.
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为n1，n2，n3，样本平均数分别为x1，x2，x3，样本方差分别为s12，s22，s32，若n1:n2:n3=1:2:3，则（ ）
A．x1:x2:x3=1:2:3
B．s12:s22:s32=1:4:9
C．总体样本平均数x=x1+2x2+3x3
D．当x1=x2=x3时，总体方差s2=16s12+ 13s22+12s32
【答案】D
【解题思路】根据样本平均数以及方差的定义，即可判断A、B项；计算可判断C；根据分层抽样，总体方差的求解，计算即可得出D.
【解答过程】对于A、B项，由于样本容量与样本平均数、样本方差之间并不是成某种比例关系，所以选项A，B错误；
对于C项，设n1=k,n2=2k,n3=3k,k∈N+，
则总体样本平均数x=n1⋅x1+n2⋅x2+n3⋅x3n1+n2+n3=k⋅x1+2k⋅x2+3k⋅x36k =16x1+13x2+12x3，所以选项C错误；
对于D项，当x1=x2=x3时，总体样本平均数x=x1=x2=x3，
所以总体方差s2 =1n1+n2+n3n1s12+x1−x2+n2s22+x2−x2+n3s32+x3−x2 =k⋅s12+2k⋅s22+3k⋅s326k =16s12+13s22+12s32，所以选项D正确.
故选：D．
【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】
【例6】（2025·宁夏银川·模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从甲、乙两个班各抽取5位同学参加环保知识测试，得分(十分制)情况如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．两组数据的平均数都是6分
B．两组数据的中位数都是6分
C．两组数据的极差相等
D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差
【答案】B
【解题思路】分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数、极差和方差，然后逐一判断各选项的正确性.
【解答过程】甲组数据的平均数x1=15×(4+5+6+7+8)=305=6分.
乙组数据的平均数x2=15×(5+5+5+6+9)=305=6分.
所以两组数据的平均数均为6分，A选项正确.
将甲组数据4、5、6、7、8从小到大排列为4、5、6、7、8，数据个数5是奇数，最中间的数是6，所以甲组数据的中位数为6分.
将乙组数据5，5，5，6，9从小到大排列为5，5，5，6，9，数据个数5是奇数，最中间的数是5，所以乙组数据的中位数为5分.B选项错误.
甲组数据中最大值是8，最小值是4，则甲组数据的极差为8−4=4分.
乙组数据中最大值是9，最小值是5，则乙组数据的极差为9−5=4分.
所以两组数据的极差相等，C选项正确.
对于甲组数据，x1=6，n=5，则S12=15[(4−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(8−6)2]=15(4+1+0+1+4)=2.
对于乙组数据，x2=6，n=5，则S22=15[(5−6)2+(5−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(9−6)2]=15(1+1+1+0+9)=2.4.
因为2s22,p1