新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.7　抛物线（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.7　抛物线（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第8章§87抛物线原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第8章§87抛物线含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( )
教材改编题
1．抛物线x2＝eq \f(1,4)y的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,16) B．x＝－eq \f(1,16)
C．y＝eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,16)
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq \f(11,4)，则m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)x B．y2＝9x C．y2＝eq \f(9,2)x D．y2＝3x
(2)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2eq \r(2)，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－eq \f(1,2) B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，则|FN|＝________.
课时精练
1．抛物线C：y2＝－eq \f(3,2)x的准线方程为( )
A．x＝eq \f(3,8) B．x＝－eq \f(3,8)
C．y＝eq \f(3,8) D．y＝－eq \f(3,8)
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
3．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
4．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
6．(多选在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝eq \f(\r(2),4)
B．b＝eq \r(2)
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2
D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(16\r(2),15)
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
8．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
11．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
13．在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4 B．2
C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则eq \f(|MN|,|AB|)的值是________．
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1