2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.7抛物线方程(七类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题8.7抛物线方程(七类重难点题型精练)(学生版+解析)，共72页。试卷主要包含了抛物线有一条重要性质等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 抛物线的定义与标准方程
1．（2025·重庆·三模）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p=（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过作抛物线C的切线，切点为B，，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，在C上，则 ．
6．（2025·山西吕梁·三模）已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为 ．
7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ．
8．（2025·云南红河·三模）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ．
重难点题型2 抛物线的轨迹方程
1．（2024·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
4．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．
5．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
6．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
重难点题型3 与抛物线有关的最值与范围问题
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
2．（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．14D．
4．（2024·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 .
6．已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .
8．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ．
重难点题型4 抛物线中的三角形、四边形的面积问题
1．（2025·海南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（ ）
A．24B．18C．16D．12
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为 ；若，则的最小值为 .
6．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 .
8．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线的顶点为，斜率为的直线过点，且与抛物线交于，，两点，若的面积为，则该抛物线的焦点坐标为 ．
重难点题型5 直线与抛物线的位置关系
1．（2025·广东广州·一模）已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点．
（i）证明：直线；
（ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，点到点距离与点到直线距离的差为-1，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点的横坐标为．
（i）求在点处的切线的斜率（用表示）；
（ii）直线与分别交于点．若，且时，求直线的斜率的取值范围（用表示）．
3．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线PQ过定点；
(3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；
(2)求的最小值；
(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
6．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线：，点A在上，点，其中.
(1)若，求的最小值；
(2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C；
（ⅰ）若A是B，Q中点，证明：；
（ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围.
7．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线的焦点为F，且为E上三个不同的点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率之和为0，且，求面积的最大值．
8．（2025·山西·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当时，证明：直线BC过定点．
(3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值．
重难点题型6 焦半径问题
1．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ）
A．B．
C．轴D．若，则
3．（2025·青海海南·模拟预测）已知曲线与直线有3个公共点，直线与曲线交于两点（点在右侧），若，则（ ）
A．12B．24C．－12D．－24
4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．

5．（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 .
6．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为 ；的值为 .
重难点题型7 抛物线的性质
1．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．13D．15
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，点，，向量，且，若Q为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（多选题）已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当为正三角形时，直线与圆相离
C．的最小值为D．有且仅有一个点，使得
5．（2024·浙江·一模）（多选题）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有2个
6．（2024·湖南·一模）（多选题）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于，两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M．则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若点，则的最小值为6
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B、O、D三点共线
7．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．点P纵坐标的取值范围是
C．点N到圆心C距离的最小值为1
D．若l不经过原点，则周长的取值范围是
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，为原点，且，于点，点的坐标为，则 ．
9．（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为 ．
10．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 .
序号
题型
重难点题型1
抛物线的定义与标准方程
重难点题型2
抛物线的轨迹方程
重难点题型3
与抛物线有关的最值与范围问题
重难点题型4
抛物线中三角形、四边形的面积问题
重难点题型5
直线与抛物线的位置关系
重难点题型6
焦半径问题
重难点题型7
抛物线的性质
专题8.7 抛物线方程
目录●重难点题型分布
重难点题型1 抛物线的定义与标准方程
1．（2025·重庆·三模）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p=（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方程，再结合点到焦点和轴的距离建立等式，进而求出的值.
【详解】对于抛物线，其准线方程为.
已知点到的焦点的距离为，由抛物线的定义可知，点到准线的距离也为.
又因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为点到轴的距离加上，即.
对进行求解，移项可得，解得.
故选：C.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、二倍角的余弦公式
【分析】利用抛物线的性质得到，进一步证明，利用勾股定理求出，解三角形求出，再利用倍角公式求出，进一步求出，再建立的等式即可求解.
【详解】如图，过作于，
由抛物线的定义知，又，则，
设，则，因为，
则，
所以，由于轴，
所以，则，
则，所以，则.
故选：D.
3．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的性质，结合条件可得是等边三角形，利用抛物线的性质即可求解.
【详解】因点A在C上，则，又，为正三角形，
如图，准线与轴交于点，在中，，所以，
即.
故选：B
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过作抛物线C的切线，切点为B，，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的切线方程、抛物线定义的理解
【分析】不妨设，由抛物线定义得，即解得，利用导数得在点处的斜率，由两点的斜率公式即可求解.
【详解】不妨设，由抛物线定义知，，
，，
当时，，
，解得，
抛物线C的方程为．
故选：C．
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，在C上，则 ．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式
【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】抛物线为，，
在C上，.
故答案为：5.
6．（2025·山西吕梁·三模）已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【难度】0.94
【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解
【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标与准线方程，设，结合抛物线的定义与已知即可得点P的坐标.
【详解】抛物线的标准方程为，
则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设抛物线上一点，
由抛物线的定义可得，解得，所以点P的坐标为或.
故答案为：或.
7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ．
【答案】2
【难度】0.94
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解
【分析】利用抛物线的定义进行距离转化即可求得.
【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离，
因，代入，解得，
故.
故答案为：2.
8．（2025·云南红河·三模）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得.
【详解】如图，在中，，所以，
所以，
又因为轴，所以，因此，
故直线的方程为，联立，得，
设，，则，由抛物线的定义知，
而，所以，在中，，，
由余弦定理，得，
解得．
故答案为：.
重难点题型2 抛物线的轨迹方程
1．（2024·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
2．（2024·陕西宝鸡·三模）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】由抛物线的定义可转化等于A,B到准线距离的和，再由圆与准线相切及O是AB的中点，可得，再结合椭圆的定义即可得解.
【详解】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故选：A
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程
【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程．
【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：．
故答案为：.
4．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用抛物线定义求动点轨迹、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意得，直线l：，且圆N：，
设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为．
故答案为：
5．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)，曲线是抛物线
(2)①32；②存在，
【难度】0.4
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据抛物线的定义得，然后根据焦点坐标求出抛物线方程即可；
（2）①设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，求出弦长，进一步求出面积表达式，根据二次函数的性质求得最值即可；
②过点作，垂足为，设圆与直线的一个交点为，连接，根据垂径定理得，则当时，，求得弦长为定值.
【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ，
所以抛物线的标准方程为.
（2）①设.
由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为.
由消去，化简得 .
，则，
所以 .
因为，
当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32.
②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 .
如图，过点作，垂足为.
设圆与直线的一个交点为，连接，则.
又，所以
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.
因此存在直线满足题意
6．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案.
【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是.
（2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为，
联立可得：，，
则，
.
故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴.
（ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以，
，
则，
令，则，
令，则，解得；
令，解得.
则在上单调递增，在上单调递减，
，所以的取值范围为.
重难点题型3 与抛物线有关的最值与范围问题
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值.
【详解】方法一：设点，直线，
动点到点的距离比到直线的距离小2，
，化简得，
即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线．
方法二：设点，直线，
动点到点的距离比到直线的距离小
动点到点的距离等于到直线的距离，
点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
即抛物线方程为．
如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得，
则，当三点共线时，
取得最小值，最小值为．
故选：C．
2．（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】根据题干的条件即可求得满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即四点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为，动点满足，
设，则，两边同时平方整理得：，
即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；
因为点在直线上的投影为，又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故,
故
当且仅当四点共线时，取得最小值，
最小值为,
故，
故选：C
3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．14D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案.
【详解】由l：得，
由，得，，所以直线，过定点．
所以点的中点坐标为，连接AM，
则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，
所以点B的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，
过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H，
则，
当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，
所以的最小值为．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合.
4．（2024·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、二倍角的余弦公式
【分析】根据，根据，设，求出的最小值，进而利用倍角公式求的最小值.
【详解】因为，，
设，则
当时，，此时最大，最小，
且.
故选：D.
5．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解.
【详解】设抛物线上的点坐标为，
圆的圆心为，半径.
点到圆心的距离.
令，则，对其求最小值，
根据二次函数性质，当时，最小为.
则与两点间最短距离为.

故答案为：.
6．已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解
【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案.
【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线，
点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当，即时取等号.则的最大值为.
故答案为：.
7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、抛物线上的点到定点的距离及最值
【分析】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解．
【详解】由题意知，焦点，
设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，
设，则，
由，知，
联立两式，消去可得，
令，则，满足上式，
所以，
所以，
当且仅当，三点共线时，等号成立，
设，则，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题的难点在于在轴上找到点，使得，从而，利用三点共线即可完成，属于难题.
8．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求二次函数的值域或最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可.
【详解】
根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.
因为，圆下方与轴交点坐标为，
取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.
因为、分别为和的中点，
所以，，所以，
又因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点，设，，
因为，
则，
当时，，
即的最小值为.
故答案为：.
重难点题型4 抛物线中的三角形、四边形的面积问题
1．（2025·海南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由抛物线的性质可得，可求抛物线方程，设直线．与抛物线方程联立，可得，由题意可得，可求，进而利用向量的数量积的坐标运算可求.
【详解】因为抛物线一点到其焦点和准线的距离之和为4，
所以，解得，所以抛物线C的标准方程为．
由抛物线C的方程可知，焦点，根据题意可知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线．
由，消去x整理得，
所以，又，
所以，
解得，则，，
则．
故选：A．
2．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（ ）
A．24B．18C．16D．12
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】由题设得，设点，，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求面积最小值.
【详解】由题知，，解得，所以抛物线，，
设点，，直线的方程为，代入，
消去并整理得，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，即面积的最小值为18.
故选：B
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积.
【详解】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.
则，（为抛物线准线与轴交点）.
因为为的重心，所以为的三等分点且.
又因为，所以与相似，且，即.
不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离.
已知，则，解得.
因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.
因为为的三等分点且，所以.
已知.
根据三角形面积公式，对于，则.
故选：B.
4．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程
【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，带入求得参数的值.
【详解】
如图所示，设抛物线的另一个顶点为，
依题意，可知，，可知，，
不妨设A在第一象限，则在双曲线上，
所以，解得，
故选：A．
5．（2025·山东·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为 ；若，则的最小值为 .
【答案】 /
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、基本不等式求和的最小值
【分析】根据抛物线的对称性，结合等边的面积，可确定点的坐标，从而确定的值，得到抛物线的准线方程；结合焦半径公式和两点间的距离公式，用余弦定理表示，再利用导数分析函数的单调性，可求的最小值.
【详解】依题意，则，
由对称性，点必定关于轴对称，如图：
不妨设点在第一象限，则，，即.
代入中，解得，则的方程为.
因为，所以，.
根据抛物线的对称性，不妨设，则，且，.
所以
.
设，，则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
且，，当时，.
所以.
所以，所以的最小值为.
故答案为：；.
6．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据抛物线过点可得抛物线的方程，根据导数的几何意义可得，，故，利用导数求最大值即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得，
所以抛物线方程为，
由题意知直线MN为抛物线的切线，
因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为，
由，得，所以直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为，即，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
则，
因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最大值平方千米．
故答案为:.
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则 ；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为 .
【答案】 2 4
【难度】0.65
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】第一空：依据抛物线定义，点到准线距离与到焦点距离相等.已知抛物线方程能得准线方程，结合点到准线距离表达式求出.
第二空：设直线横截式与抛物线方程联立，用韦达定理得和，算出弦长，进而得圆半径、圆心，写出圆方程.发现直线与圆相切，求出切点到直线距离，得出三角形面积表达式，求最小值.
二级结论法：利用直线倾斜角与弦长关系得，因圆与准线相切得半径，算出三角形面积表达式求最小值.
【详解】第一空：根据抛物线定义：到一个点和一条直线的距离相等的动点组成的图形，
给出抛物线方程，可知准线方程为，
故到的距离为，所以，求出；
第二空：已知方程：，设横截式，与交于，，
将两个方程联立，得到：，，
由韦达定理，，
故，所以为直径的圆半径，
设中点为，，故，
写出圆的标准方程：，
令，可以得到有唯一解，，说明直线与圆相切于点，
所以到的距离，
故三角形，，
当时，有最小值1，此时最小，.
【二级结论速解】设直线的倾斜角为，则，
又因为直线过焦点，所以以为直径的圆与准线相切，则，
所以，
当时，有最小值，最小值为4.
故答案为：2；4.
8．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线的顶点为，斜率为的直线过点，且与抛物线交于，，两点，若的面积为，则该抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】直线的方程为，，联立直线与抛物方程，得到，从而有，再结合题设条件可求得，即可求解.
【详解】设直线的方程为，，
由，消得到，则，
又，
解得，所以焦点坐标为，
故答案为：.
重难点题型5 直线与抛物线的位置关系
1．（2025·广东广州·一模）已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点．
（i）证明：直线；
（ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）有2条，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】根据韦达定理求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、抛物线中的三角形或四边形面积问题、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】（1）由抛物线得定义即可求解；
（2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可．
【详解】（1）由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以，即．
（2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为，
设直线与相交于两点，不妨设，
由得，，则，
由得，，则点处的斜率为，
则点处的切线方程为，
令，得，即点，
直线的方程为，令，得，即，
所以直线的斜率，
所以，即直线．
（ii）连接，
由（i）得，，所以，
又因为，所以轴，即四边形为平行四边形，
由得，
，
若四边形的面积为12，则，
整理得，
令，则，
设，则，
所以在单调递增，又，
所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以有2个零点，即有2个根，
其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于；
由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，点到点距离与点到直线距离的差为-1，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点的横坐标为．
（i）求在点处的切线的斜率（用表示）；
（ii）直线与分别交于点．若，且时，求直线的斜率的取值范围（用表示）．
【答案】(1)
(2)（i），（ii）
【难度】0.4
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的参数范围问题、求曲线切线的斜率（倾斜角）
【分析】（1）设点P的坐标为，利用距离公式列式化简求解即可；
（2）（i）利用导数的几何意义求得切线斜率；
（ii）分析直线l斜率存在设为，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB中点M的坐标，利用斜率关系得，从而，根据，得，分类讨论解不等式即可.
【详解】（1）设点P的坐标为，由题意得，
即，整理得或 故W的方程为.

（2）（i）因为W为，所以．
所以W在点P处的切线的斜率为：；
（ii）设直线l为，点M为线段AB的中点，
当时，不合题意，所以；
因为点A，B满足所以满足，
从而因为直线PM的方程为，
所以，即，
从而.
因为，所以，
即，
等价于(其中).
①当时，有，此时，
②当时，有，此时，
综上，当时，；
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于分析直线l斜率存在设为，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB中点M的坐标，利用斜率关系得，从而，根据，得，分类讨论解不等式即可.
3．（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】（1）结合弦长，利用焦半径公式列方程求出，即可求解抛物线方程；
（2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而求出直线的方程，即可求出定点；
（3）设点则，设的内切圆半径为，则，进而得，构造函数，利用导数法求解值域即可得解.
【详解】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即，
由抛物线的弦过其焦点，得，解得，
所以抛物线的方程是.
（2）设，则，设直线的方程为，
由得，
则，，
.
将替换，得.当时，，
则直线的方程为，即，
当时，，当时，.过定点，
故直线过定点.
（3）设点，已知点，所以的面积，
设的内切圆半径为，则有
所以，
所以.
因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点），所以，
所以，
整理得：.
构造函数，得，
显然单调递增，令，解得，
所以当时，单调递减；
当时，单调递増；
所以，所以.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm时，水面宽度为4cm，如图2所示．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q是抛物线C上异于点O的两点，且满足．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线PQ过定点；
(3)过点O作PQ的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在点到点H的距离是定值．
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）利用待定系数法，将点代入方程，求抛物线方程；
（2）首先设直线PQ的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；
（3）根据（2）的结果，以及垂直关系，求出点的轨迹方程，即可求解定点.
【详解】（1）设抛物线的方程为，
由题知，代入抛物线方程，可得，
解得，所以，抛物线C的标准方程为．
（2）设直线PQ的方程为，，
联立，得．，
，因为，所以．
．
因为，所以，解得，或．
因为不经过点，所以舍去．
所以直线的方程为，所以直线过定点．
（3）存在定点，理由如下：
由（2）得直线过定点，过点作的垂线，垂足为．
所以，定点在上，即，
故点在以为直径的圆周上，圆心为的中点．
因为，所以中点坐标为，即为圆心的坐标，
因为圆心到圆周上的点H的距离等于半径1，
故存在点到点H的距离是定值．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；
(2)求的最小值；
(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)N在定直线上，直线方程为：.
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、抛物线中的定直线、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程；
（2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值；
（3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程.
【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义，
可得准线方程为：，则焦点为，则；
（2）由题可得点F的直线的斜率存在，
设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，
可得，判别式为.
设，由韦达定理，可得，则.
又由抛物线定义可得，
当且仅当，即时取等号；
（3）设，，
则在处的切线方程为：.
令，得，设，则.
又注意到，，
则.因，
则，从而，即N在定直线上，
直线方程为：.
6．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线：，点A在上，点，其中.
(1)若，求的最小值；
(2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C；
（ⅰ）若A是B，Q中点，证明：；
（ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.65
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）设，根据两点间距离公式得即可求解；
（2）（ⅰ）设直线：，，，，直线与抛物线联立，由韦达定理得，即求得点坐标，利用向量数量积即可求证；
（ii）设B，C的中点为，利用韦达定理得的坐标，求在点处的切线方程，得，由得，最后求出点的纵坐标，利用函数求导即可求解.
【详解】（1）当时，，设，
所以，
当，等号成立，即，
所以最小值为；
（2）（ⅰ）设直线：，，，，
不妨设，因为A是B，Q中点，所以，得，即，
由，所以，即，
所以，由，所以，即；
（ii）由（ⅰ）有，所以，
设B，C的中点为，所以，由有，所以，即，
所以，即在点处的切线为，
由在切线上，所以，
又因为，所以，即，
由，解得：，
记为，由对称性不妨设，
所以，令，得，即，
时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，所以，由对称性有
.
7．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线的焦点为F，且为E上三个不同的点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率之和为0，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、根据定义求抛物线的标准方程
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线线方程，由韦达定理及斜率公式得到，进而可求解；
（3）由得到，结合（2）得到，再结合弦长公式及三角形面积公式得到，再通过换元求导，确定单调性即可求解.
【详解】（1）由，可得，
由焦半径公式，，
解得：，
所以抛物线E的方程.
（2）由（1）知
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得：，
，，，
，
所以，
所以直线的方程为，
当时，，故恒过.
（3），
得，，
由（2）知：，
所以斜率为，
如图：
由（2），得：，
得，又，
所以，所以
所以.
又点到直线的距离为：.
所以，（）.
设，则，所以，（）.
设，（）
则，
由，
由，或，
因为，所以函数在上单调递增.在单调递减，
所以.
所以.
即面积的最大值为.
8．（2025·山西·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当时，证明：直线BC过定点．
(3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)BC过定点，证明见解析
(3)，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程.
（2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点
（3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值.
【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且，
设（），因为，不妨设.
由斜率公式，即，解得，所以，.
面积，解得，抛物线方程为.
（2）设，，，
则，.
因为，则，所以,则.
，所以直线BC方程，整理得.
把代入直线BC方程,得，所以直线过定点.
（3）设，中点坐标是,
因为与垂直，则,
已知斜率是，所以斜率为.
根据直线点斜式，得出方程，展开整理成.
同理可得直线方程，与方程联立.
变形两式为和，
相减得，化简得.
已知，则.
又，代入得.
重难点题型6 焦半径问题
1．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由向量共线（平行）求参数、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值.
【详解】抛物线的焦点，准线，，
由对称性，不妨令点在第一象限，设，
则，由B在线段AD上，
得，整理得，而，
则，由P，B，F共线，
得，整理得，解得，
于是，过作于，所以.
故选：B
2．（2025·浙江金华·二模）过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ）
A．B．
C．轴D．若，则
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】设，,的直线方程，求出,进而求出，判断选项A,B,求出直线方程，表达出,判断选项C,再根据,求出的值，判断选项D.
【详解】设，,的直线方程，
因为线段的中点分别为,
所以，
根据中位线性质，则，，
由抛物线的定义可得，，，故A,B错误；
设直线方程：，
联立可得，，则，
故，
同理可得
又,则
故，故
则，故轴,故C正确；

由,则，
则，再由，故
则或（舍去），故
故，则，故D错误.
故选：C.
3．（2025·青海海南·模拟预测）已知曲线与直线有3个公共点，直线与曲线交于两点（点在右侧），若，则（ ）
A．12B．24C．－12D．－24
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由已知，设，则则直线与抛物线相切，联立消元，由，解得，则分别为抛物线与的焦点，则为抛物线上一点到轴距离与到焦点距离的差的2倍，由抛物线定义可得的值.
【详解】由题意可知曲线关于轴对称，不妨设，
则该曲线表示抛物线与，
由得．
因为，所以，
可得抛物线与直线有2个交点．
又曲线与直线有3个公共点，
则直线与抛物线相切，
把代入，得，
则，解得，
则分别为抛物线与的焦点，如图，

此时为抛物线上一点到轴距离与到焦点距离的差的2倍，即．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：由已知，得到直线与曲线的位置关系，求出，得到为抛物线上一点到轴距离与到焦点距离的差的2倍.
4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．

【答案】9
【难度】0.65
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的应用
【分析】设，利用焦半径公式计算可得的表达式，再由三角函数值域计算可得结果.
【详解】根据题意可知，直线过抛物线的焦点，作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，如下图所示：

设，易知，可得，即，
可得，
同理可得，
因此，
由因为，所以，
因此,
即的最小值为9.
故答案为：9
5．（2025·河南·二模）已知抛物线的焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于两点，过的中点作轴的平行线交于点，则 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解
【分析】根据题意作示意图，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，从而求得点的坐标，再根据抛物线的定义求解.
【详解】如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0，
因为抛物线的焦点为，设直线的方程为，
联立方程可得，
设，则，
设，则代入抛物线方程可得，
由抛物线的定义可知，
.
所以.
故答案为：4.
6．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为 ；的值为 .
【答案】 2 5
【难度】0.65
【知识点】根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】设，与抛物线联立，由韦达定理得，，从而得到的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，得到的值.
【详解】令，，，线段的中点为
联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即，
由于在抛物线中，，所以
.
故答案为：2 ；5.
重难点题型7 抛物线的性质
1．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．13D．15
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、斜率公式的应用、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得，
由抛物线的光学性质，得点共线，设，则，
解得，点，于是，，，
所以的周长为.
故选：D
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系Oxy中，点，，向量，且，若Q为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】首先求得点在直线上运动，进一步分析得当与、与重合时，取得最小值，其中垂直直线，点是抛物线上一点，且抛物线在点处的切线方程与直线平行，从而即可求解.
【详解】因为点，，向量，设，则，
解得，因为，所以，
即点在直线上运动，

由图可知，，其中垂直直线，
点是抛物线上一点，且抛物线在点处的切线方程与直线平行，
显然点在第二象限，故当时，由，可得，求导得，
令，解得，即点的坐标为，
故所求为点到直线的距离，
即，当且仅当与、与重合时，
取得最小值.
故选：D.
3．（2023·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、由直线与圆的位置关系求参数、抛物线中的参数范围问题、数量积的坐标表示
【分析】根据抛物线的准线与圆相切可求得的值，可得出抛物线的方程，求出点的坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，设点的坐标为，利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换可求得的取值范围.
【详解】抛物线的准线方程为，

圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，
因为，解得，所以，抛物线的方程为，
故抛物线的准线与圆相切于点，
若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，解得，
不妨设点在第一象限，则，则有，解得，
此时，即点，所以，，
因为点在圆上，设点，则，
所以，.
故选：C.
4．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（多选题）已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当为正三角形时，直线与圆相离
C．的最小值为D．有且仅有一个点，使得
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离即可求解；B选项，由正三角形求得直线方程即可判断；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，可求最小值即可；D选项，直接设点坐标进行求解即可得.
【详解】A选项，抛物线的准线为，设准线与x轴交点为D，
圆的圆心到直线的距离显然是，
因为准线和圆相切，所以，A选项正确；
B选项，因为为正三角形时，
所以，
又,在直角三角形中，，
所以,
所以此时直线方程为：，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B错误；
C选项，，
当且仅当（P在F，M之间）三点共线时，等号成立， C选项正确；
D选项， 设，由可得，又，
又，根据两点间的距离公式，，
整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项错误.
故选：AC.
5．（2024·浙江·一模）（多选题）设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有2个
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定点的最值、抛物线中存在定点满足某条件问题、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式
【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确；
对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确；
对于C，取，则，
因为，所以，即，
所以，即，故C错误；
对于D，直线的斜率为，所以它的方程为，
点到它的距离为，
注意到，若面积为，
则，又，
所以或，解得或，
所以满足面积为的点有3个，故D错误.
故选：AB.
6．（2024·湖南·一模）（多选题）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于，两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M．则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若点，则的最小值为6
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B、O、D三点共线
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求抛物线上一点到定点的最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据抛物线的性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意，可得，设，且点在轴上方.
对A：过点作轴交轴与点，如下图所示：
容易知：，且
则，当且仅当，即时取得等号.
故可得的最大值为，当且仅当垂直于轴时取得最大值，故A正确；
对B：根据题意，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：
因为，数形结合可知，当且仅当与重合，与重合时，
取得最小值，此时，故B错误；
对C：根据题意，作图如下：
设过点的直线方程为，联立抛物线方程，可得：
，故可得，
故可得，
故可得，故C正确；
对D：根据题意，作图如下：
因为，故可得，又，
，
故共线，且有公共点，故B,O,D三点共线，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查直线与抛物线相交，利用韦达定理以及抛物线定义处理最值、共线等问题，处理问题的关键是充分利用抛物线定义和韦达定理，进行合理的转化，属综合中档题.
7．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．点P纵坐标的取值范围是
C．点N到圆心C距离的最小值为1
D．若l不经过原点，则周长的取值范围是
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B的坐标，求得可判断A；由A，B的纵坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N到圆心C距离的最小值判断C；利用转化思想可知结合的范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
圆的圆心为，半径，与轴正半轴交于点，
抛物线的焦点与重合，准线为，
对于选项A：联立 可得，
解得或，即， ，
所以，故选项A不正确；
对于选项B：点为圆的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是，故选项B正确；
对于选项C：抛物线的焦点与圆心重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确；
对于选项D：直线l不经过原点，
则周长为
的取值范围是，故选项D正确；
故选：BCD.
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，为原点，且，于点，点的坐标为，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由，可得，进而求得直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理可得，代入，可解出，利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】因为于点，点的坐标为，
所以，即，
所以直线方程为，即，
设，
由得，
则，，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：
9．（2025·上海黄浦·三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值、抛物线定义的理解
【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值.
【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，
设､，如图所示，根据抛物线的定义，
可知、，
在梯形中，有，
在中，，
又∵，∴，
∴，
故的最大值是.
故答案为：.
10．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 .
【答案】 （除去点） /
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的参数范围问题
【分析】根据即可求出直线过定点，再数形结合可知点的轨迹为圆即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即可求出.
【详解】由题可设，，则，
解得或者（不符合题意，舍），
设直线的方程为，与抛物线方程联立得，
所以，，故，故直线的方程为，
所以直线过定点，
又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆，
因为，，中点坐标为，
所以点的轨迹方程为（除去点），
过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大，
所以直线斜率的最大值为.
故答案为：（除去点）；.
序号
题型
重难点题型1
抛物线的定义与标准方程
重难点题型2
抛物线的轨迹方程
重难点题型3
与抛物线有关的最值与范围问题
重难点题型4
抛物线中三角形、四边形的面积问题
重难点题型5
直线与抛物线的位置关系
重难点题型6
焦半径问题
重难点题型7
抛物线的性质