2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第12题隐藏的对称性：三次函数两平行切线间距(解透一题)(学生版+解析)

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【浙江省强基联盟2024－2025学年高三上学期期末联考数学试卷】
设函数．若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【方法一】 读译化法
本题给出函数，条件是函数y=f(x) 在和的切线互相平行，要求两平行线之间距离的最大值．关键在于通过函数导数求出切线斜率，利用切线平行建立等式，进而得到两平行线间距离表达式，再求其最大值．
对函数求导，依据求导公式可得：
已知函数在和的切线互相平行，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点处切线的斜率，所以．
即，即
将代入，可得，即两切线的斜率均为．
将代入，可得，所以切点为．
将代入，可得，所以切点为．
根据点斜式方程（其中为直线上一点，\\(k\\)为直线斜率），
根据两平行直线与（A、B不同时为0）间的距离公式，在x=−1处的切线方程为，即；
在x=0处的切线方程为y=ax，即ax−y=0，
则两平行线间的距离． 因为，所以当a=0时， d取得最大值．
利用导数求切线斜率：通过对函数求导，得到函数在某点处的切线斜率表达式，这是解决函数切线问题的基础．
根据切线关系建立等式：若切线平行，则斜率相等；若切线垂直，则斜率之积为−1等，以此建立关于切点横坐标等未知量的等式求解．
求切线方程：利用点斜式（其中为切点）求出切线方程．
求平行直线间距离：使用平行直线间距离公式​求两条平行切线间的距离，并结合函数性质求最值．
【方法二】构造处理方程f(a)=f(b)
在高考中处理函数满足 的问题，采用代数变形方法，设 ，将其转化为代数方程，则是，可以利用韦达定理求根之和或积，可以思考运用对称性分析，若 f(x) 是二次函数，其对称轴为 ，则 必然成立．
对函数求导，可得 ．
已知函数在和的切线互相平行，所以．
令
则和为二次方程的两根，
，解得，
切点为和，切线方程为和，
由两线距离公式得，最大值在时取得．
构造方程，借助韦达定理求根之和或积，极大优化了化简处理过程．
【方法三】对称法
若函数图象关于点对称，则对称中心两侧的任意一对对称点和具有切线斜率对称性：
1．导数关系：点P和Q处的切线斜率相等；
2．几何意义：两切线关于对称中心呈中心对称．若点P处切线方程为，则点Q处切线方程为，且两条切线关于点 对称．
【解析】
【详解】
是中心对称图形且关于，
函数在和的切线互相平行，
故，关于对称，所以，
，，所以在x=0处的切线方程为y=ax，即
两平行线之间距离等于中心到一切线距离的2倍，​． 因为，所以当a=0时， d取得最大值．
若函数图象上某两点的切线斜率相等且满足坐标对称关系，可推断图象关于某点对称．已知对称性时，可利用对称点性质减少题目运算量．
三次函数的对称性为解决极值点、切线、零点等问题提供了结构化思路，通过对称中心坐标、极值点对称分布、切线斜率关系等性质，可大幅减少计算量．
当对称中心为原点(0，0)(0，0)时，函数为奇函数f(−x)=−f(x)）：对称点对为和．
导数满足，即切线斜率相同，但切线方程分别为和，两者关于原点对称．关注训练题1的处理方法．
【类题，题目命制关键是奇函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离为原点O到点A处切线的距离的2倍】
1．若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
【强化两平行线之间的距离】
2．若直线和互相平行，则两平行线之间的距离为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行求得再其中一条直线上取一点，利用点线距公式求解即可.
【详解】因为直线和互相平行，所以
在直线上取点则点到直线的距离为.
故选：D．
【平行线问题距离最值问题】
3．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时.
【详解】由极限思想可得，两直线的距离，
而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即，
所以，．
故答案为：
【三次函数对称性与平行线问题拓展】
4．设函数．
（1）当时，的最小值为5，求的值：
（2）当时，设是函数图象上的两个动点，且在A，B处的两切线互相平行，求证：直线AB必过定点，并求出此定点的坐标．
【答案】（1）2；（2）证明见解析，.
【分析】（1）求函数的导数，利用最值和单调性之间的关系，讨论，利用的最小值为5，建立方程关系，求解即可得到结果.（2）当时，化简方程，利用导数的几何意义，建立斜率的等式关系，可知，代入求解过A、B两点的直线斜率，点斜式求直线AB的方程，可求出定点.
【详解】（1）解：，
①当时，在区间上是单调增函数，最小值为，由于，即，解得（舍去）；
②当时，在区间上是减函数，区间上是增函数，故为最小值，，即，即，
∴（舍去）或；
③当时，在区间上是减函数，最小值为，由得，解得（舍去）．
综上所述，．
（2）证明：当时，，，则，的斜率，．
∵，∴，即，又∵，∴．
∴
，
∴的方程为，即．
由题意是任意的，
∴直线过定点．
【三次函数切线平行拓展到两函数切线平行】
5．设函数,,其中,且．
(1)若直线（为自然对数的底数）与曲线和分别交于、两点,且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相平行,求的值；求的值；
(2)设（,且）有两个极值点,,且,证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由可得.
（2）由，.可得有两个极值点，，则，是方程的两个实数根，而，所以.结合，可得，进而构造函数求导利用单调性即可证明.
【详解】（1）因为，，
所以，.
由，得.
（2），.
因为有两个极值点，，所以，是方程的两个实数根，
而，所以.
因为，所以.
令，.
则，
所以在内是增函数.
于是， 即.