2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2取整与数列的碰撞(高三备考)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2取整与数列的碰撞(高三备考)(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了典型例题，思路导引，详细解析，举一反三等内容，欢迎下载使用。

【2024年联赛模拟一试】
在数列中，，，其中表示不超过实数的最大整数，则______．
本题一阶递推关系式给出数列，同时将取整函数符号融入，具有相当创新性.新高考对创新意识考察，主要体现在对问题进行归纳概括，得到猜想和规律，并加以验证.
【方法一】列举猜测通项
在求与高斯函数有关的值时，要充分利用高斯函数的意义，确定自变量的取值范围后再求解，问题解决没有固定套路，故罗列观察，题目目标可以认为求出数列通项即可确定.如果整体的规律不容易发现，也可以分奇数项和偶数项观察.比如，，，我们可以猜测奇数项乘等差数列.
根据已知条件罗列有：
．
;
;
;
……
猜想：，所以．故本题答案为2023．
如果问题以解答题呈现，我们需要严格证明，现在附以数学归纳证明如下
由题，
若，，则，．
所以．同理，
若，，则，，
所以．
．
【方法二】目标导引+相邻项关系
目标求，题目暗示我们关注相邻两项的和.于是我们研究的性质.
根据已知条件罗列有：
．
;
;
;
；
……
猜想：，所以．故本题答案为2023
本题是一道取整数列有关的问题，主要考查一阶递推数列．题目中涉及取整数列，解题的关键是在确定的表达式，我们可由前面几项猜出数列的通项，再用数学归纳法进行证明．但对于我们陌生，或者递推关系比较抽象的数列问题，列举，观察，归纳，证明是解决问题的一种行之有效的方式. 研究数列的根本方法是罗列，观察、归纳、猜想、证明.
【典型例题】已知，记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【思路导引】通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详细解析】由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
【举一反三】
1．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若（其中表示不超过的最大整数），求数列的前100项的和.
【典型例题】设数列满足，．计算a2，a3，猜想的通项公式并加以证明.
【思路导引】通过罗列猜测为等差数列，故为常数列.
【详细解析】由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明：因为，所以，
即，故
所以
故.
【举一反三】
2．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.

(1)求；
(2)求数列的前1000项和.
3．定义表示不超过x的最大整数，例如，，．函数，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则 ， ．
4．用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则 .
5．设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ．
6．在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为.表示不超过x的最大整数，令，则 .
7．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个B．16个
C．14个D．12个