2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第4“数”与“形”突破平面向量问题(解透一题)(学生版+解析)

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【2025年3月广西柳州市联考数学试题T14】
在直角三角形中，其中， ，并且点 P 是三角形内一点，且AP = 1 ，，则 的最大值为.
这是一道基于平面向量的最值问题，以三角形为载体，给出直角三角形的两边长度以及向量的关系和模长条件，要求求解一个关于向量系数的线性组合的最大值，属于向量与代数运算相结合的综合性题目，题型具有较强的综合性和创新性.
而此类涉及平面向量的线性运算、模与数量积等 综合应用问题，通常是高考中该模块知识的一大基本考点．常见的思维方法或通过“数”的基本属性进行代 数运算，或通过“形”的几何结构进行直观化处理，或 通过“数形结合”的综合应用进行坐标法求解等，从不同思维视角切入与应用，合理发散数学思维，可以很好地考查数学的“四基”，以及学生的“四能”与关键能力等．
【方法一】转化为二元约束优化问题
根据条件得到 λ与 μ的关系，然后最大化.这是一个典型的约束优化问题.
先求λ与 μ的关系
【角度1】坐标法得λ与 μ的关系
鉴于，以A为坐标原点，AB所在直线为 x 轴， AC所在直线为 y 轴构建平面直角坐标系. (重点：借助垂直构建平面直角坐标系)
由此可得，设 ，则.
已知，将坐标代入可得即. （依据向量关系推导坐标关系）
因为AP=1，所以点P在以为圆心， 1为半径的圆上，即（x>0，y>0，因为P为△ABC内一点），此时也有
【角度2】模方得λ与 μ的关系
因为，所以，又∣AP∣=1，对两边平方得： ，即. 已知，则.因为P为△ABC内一点，所以
求解的最大值
角度一-----三角换元法
因为AP=1，所以点P在以A(0，0)为圆心， 1为半径的圆上，即（x>0，y>0，因为P为△ABC内一点），所以可设
故（时取等）
角度二-----线性规划法
设，则，.
令，则，表示直线在y轴上的截距. 根据直线与四分之一圆的位置关系，直线与圆相切时.
角度三------均值不等式
运用均值不等式（当且仅当时等号成立）.
对于.
因为，所以，则，当且仅当时等号成立.
角度四------柯西不等式
由柯西不等式有，
当时取等号.
因为，所以
故，
角度五------方程法
令，则.
把代入中，得到.即).
由于为实数，所以关于的一元二次方程的判别式.
解得. （本题是由范围限制的，方程法的局限性在于容易出错不好检查）
方法一点评与总结:
1.在直角三角形中，合理构建平面直角坐标系可将向量问题转化为坐标运算问题，降低问题难度，注意坐标原点、坐标轴的选取要结合已知条件.
2.准确运用向量基本定理：根据，准确得到坐标之间的关系，为后续的代数变形做准备.
3.灵活选择求最值方法：本题可以通过构造一元二次方程利用判别式求最值，也可以利用均值不等式求最值，要根据自己的熟练程度和题目的特点灵活选择.
【方法二】利用共线向量得得2λ+3μ的表达式+几何法
以A为圆心，AP为半径作圆分别交AB，AC于M，N，如图:
因为AP=1，则AM=AN=1，则①
设，由M，N，Q三点共线得：存在，使
由A，P，Q三点共线得: 存在 ，使②
这里
由①②得：.
当AQ⊥MN时，|AQ|最短为，此时取得最大值为，即的最大值为.
【方法三】利用向量的数量积得2λ+3 μ的表达式
，，
所以，
所以
故.
涉及平面向量的模或数量积的求值与最值(或取值范围)等综合应用问题时，往往借助平面向量“数”与“形”的双重属性.抓住平面向量的模与数量积自身“数”的属性应用，或“形”的几何特征，并结合不同的应用场景，选择行之有效的方法与解题策略 来处理对应的平面向量的模或数量积的综合应用问 题． 依托平面向量自身的“数”与“形”的双重属性，借 助“数”与“形”的不同视角，使得平面向量的模或数量 积的综合问题的求解与应用更加合理、有效、可行、快 捷，或借助“数”来代数运算，或借助“形”来直观想象， 也可以实现“数”与“形”的紧密结合，有效实现知识与 能力的有效融合
(回归教材研究平面向量基本定理表示向量)
1．将向量的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量，从的终点处分别作向量的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与共线的两个向量之和，即.
问题: 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若（），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，通过坐标运算即可求解.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个格子长度为1，
则，
由得，
解得，
所以.
故选：B.
(坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决)
2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
3．在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是
A．3B．C．D．4
【答案】A
【分析】以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值
【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，，
圆的方程为，
设点的坐标为，，
，
即，=，，，，，，，，故的最大值为3，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
(基底法)
4．如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则 ；点是线段上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】 ##
【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.
【详解】

设，
由题意可知，，
则，
因为不共线，所以有，
此时；
可设，
则，
当重合时取得等号.
故答案为：；.
5．如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M的方程，设，由，得出，再设（为参数），代入中，根据三角函数的值域，可求得最大值.
【详解】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，
所以，，，， ，圆M的方程为，
设，又，
所以，解得，
又点P是圆M上的点，所以（为参数），
所以，其中，
所以，当时，取得最大值，
故答案为：.